Theorem supicclub2 13457

Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
supicclub2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
supicclub2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13383	. . 3 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2		supicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		supicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5		supicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6	2, 3, 4, 5	supicc 13454	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
7	1, 6	sselid 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8	4, 1	sstrdi 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9		supiccub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3922	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
11		supicclub2.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)
12	8	sselda 3921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
14	12, 13	xrlenltd 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
15	11, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
16	15	nrexdv 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧)
17	2, 3, 4, 5, 9	supicclub 13456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))
18	16, 17	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
19	7, 10, 18	xrnltled 11214	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  supcsup 9353  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-icc 13305

This theorem is referenced by: (None)