Theorem supicclub2 13582

Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
supicclub2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
supicclub2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13508	. . 3 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2		supicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		supicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5		supicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6	2, 3, 4, 5	supicc 13579	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
7	1, 6	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8	4, 1	sstrdi 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9		supiccub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
11		supicclub2.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)
12	8	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
14	12, 13	xrlenltd 11324	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
15	11, 14	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
16	15	nrexdv 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧)
17	2, 3, 4, 5, 9	supicclub 13581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))
18	16, 17	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
19	7, 10, 18	xrnltled 11327	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7416  supcsup 9417  ℝcr 11148  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293  [,]cicc 13426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-icc 13430

This theorem is used by: (None)