MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicclub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicclub2 13541
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
supicclub2.1 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
Assertion
Ref Expression
supicclub2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13467 . . 3 (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 supicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5 supicc.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
62, 3, 4, 5supicc 13538 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
71, 6sselid 3993 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
84, 1sstrdi 4008 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
9 supiccub.1 . . 3 (𝜑𝐷𝐴)
108, 9sseldd 3996 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
11 supicclub2.1 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
128sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1310adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
1412, 13xrlenltd 11325 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
1511, 14mpbid 232 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
1615nrexdv 3147 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧)
172, 3, 4, 5, 9supicclub 13540 . . 3 (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧))
1816, 17mtbird 325 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
197, 10, 18xrnltled 11327 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-icc 13391
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator