Theorem supicclub2 13544

Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
supicclub2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
supicclub2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13470	. . 3 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2		supicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		supicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5		supicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6	2, 3, 4, 5	supicc 13541	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
7	1, 6	sselid 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8	4, 1	sstrdi 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9		supiccub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3984	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
11		supicclub2.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)
12	8	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
14	12, 13	xrlenltd 11327	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
15	11, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
16	15	nrexdv 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧)
17	2, 3, 4, 5, 9	supicclub 13543	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))
18	16, 17	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
19	7, 10, 18	xrnltled 11329	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-icc 13394

This theorem is referenced by: (None)