MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrub 13250
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3944 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 supxrcl 13241 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
32adantr 482 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 xrltso 13067 . . . . 5 < Or ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
6 xrsupss 13235 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
75, 6supub 9402 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
87imp 408 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
91, 3, 8xrnltled 11230 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3915   class class class wbr 5110   Or wor 5549  supcsup 9383  *cxr 11195   < clt 11196  cle 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395
This theorem is referenced by:  supxrre  13253  supxrss  13258  ixxub  13292  prdsdsf  23736  prdsxmetlem  23737  xpsdsval  23750  prdsbl  23863  xrge0tsms  24213  bndth  24337  ovolmge0  24857  ovollb2lem  24868  ovolunlem1a  24876  ovoliunlem1  24882  ovoliun  24885  ovolicc2lem4  24900  ioombl1lem2  24939  ioombl1lem4  24941  uniioombllem2  24963  uniioombllem3  24965  uniioombllem6  24968  vitalilem4  24991  itg2ub  25114  itg2seq  25123  itg2monolem1  25131  itg2monolem2  25132  itg2monolem3  25133  aannenlem2  25705  radcnvcl  25792  radcnvle  25795  nmooge0  29751  nmoolb  29755  nmlno0lem  29777  nmoplb  30891  nmfnlb  30908  nmlnop0iALT  30979  xrofsup  31714  xrge0tsmsd  31941  itg2addnc  36161  rrnequiv  36323  supxrubd  43397  supxrgere  43641  supxrgelem  43645  suplesup2  43684  ressiocsup  43866  ressioosup  43867  liminfval2  44083  etransclem48  44597  fsumlesge0  44692  sge0cl  44696  sge0supre  44704  sge0xaddlem1  44748  sge0xaddlem2  44749
  Copyright terms: Public domain W3C validator