Theorem supxrub 13341

Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3934	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		supxrcl 13332	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4		xrltso 13157	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
6		xrsupss 13326	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
7	5, 6	supub 9407	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
8	7	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9	1, 3, 8	xrnltled 11266	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   Or wor 5559  supcsup 9388  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  supxrre  13344  supxrss  13349  ixxub  13384  prdsdsf  24485  prdsxmetlem  24486  xpsdsval  24499  prdsbl  24609  xrge0tsms  24953  bndth  25078  ovolmge0  25597  ovollb2lem  25608  ovolunlem1a  25616  ovoliunlem1  25622  ovoliun  25625  ovolicc2lem4  25640  ioombl1lem2  25679  ioombl1lem4  25681  uniioombllem2  25703  uniioombllem3  25705  uniioombllem6  25708  vitalilem4  25731  itg2ub  25853  itg2seq  25862  itg2monolem1  25870  itg2monolem2  25871  itg2monolem3  25872  aannenlem2  26451  radcnvcl  26538  radcnvle  26541  nmooge0  31028  nmoolb  31032  nmlno0lem  31054  nmoplb  32168  nmfnlb  32185  nmlnop0iALT  32256  xrofsup  33024  xrge0tsmsd  33306  itg2addnc  38185  rrnequiv  38346  supxrubd  45689  supxrgere  45907  supxrgelem  45911  suplesup2  45949  ressiocsup  46128  ressioosup  46129  liminfval2  46340  etransclem48  46854  fsumlesge0  46949  sge0cl  46953  sge0supre  46961  sge0xaddlem1  47005  sge0xaddlem2  47006