MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrub 12712
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3966 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 supxrcl 12703 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
32adantr 481 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 xrltso 12529 . . . . 5 < Or ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
6 xrsupss 12697 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
75, 6supub 8917 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
87imp 407 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
91, 3, 8xrnltled 10703 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2107  wss 3940   class class class wbr 5063   Or wor 5472  supcsup 8898  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867
This theorem is referenced by:  supxrre  12715  supxrss  12720  ixxub  12754  prdsdsf  22911  prdsxmetlem  22912  xpsdsval  22925  prdsbl  23035  xrge0tsms  23376  bndth  23496  ovolmge0  24012  ovollb2lem  24023  ovolunlem1a  24031  ovoliunlem1  24037  ovoliun  24040  ovolicc2lem4  24055  ioombl1lem2  24094  ioombl1lem4  24096  uniioombllem2  24118  uniioombllem3  24120  uniioombllem6  24123  vitalilem4  24146  itg2ub  24268  itg2seq  24277  itg2monolem1  24285  itg2monolem2  24286  itg2monolem3  24287  aannenlem2  24852  radcnvcl  24939  radcnvle  24942  nmooge0  28477  nmoolb  28481  nmlno0lem  28503  nmoplb  29617  nmfnlb  29634  nmlnop0iALT  29705  xrofsup  30424  xrge0tsmsd  30625  itg2addnc  34832  rrnequiv  35000  supxrubd  41265  supxrgere  41485  supxrgelem  41489  suplesup2  41528  ressiocsup  41714  ressioosup  41715  liminfval2  41933  etransclem48  42452  fsumlesge0  42544  sge0cl  42548  sge0supre  42556  sge0xaddlem1  42600  sge0xaddlem2  42601
  Copyright terms: Public domain W3C validator