MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrub 12705
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3959 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 supxrcl 12696 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
32adantr 481 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 xrltso 12522 . . . . 5 < Or ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
6 xrsupss 12690 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
75, 6supub 8911 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
87imp 407 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
91, 3, 8xrnltled 10697 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057   Or wor 5466  supcsup 8892  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  supxrre  12708  supxrss  12713  ixxub  12747  prdsdsf  22904  prdsxmetlem  22905  xpsdsval  22918  prdsbl  23028  xrge0tsms  23369  bndth  23489  ovolmge0  24005  ovollb2lem  24016  ovolunlem1a  24024  ovoliunlem1  24030  ovoliun  24033  ovolicc2lem4  24048  ioombl1lem2  24087  ioombl1lem4  24089  uniioombllem2  24111  uniioombllem3  24113  uniioombllem6  24116  vitalilem4  24139  itg2ub  24261  itg2seq  24270  itg2monolem1  24278  itg2monolem2  24279  itg2monolem3  24280  aannenlem2  24845  radcnvcl  24932  radcnvle  24935  nmooge0  28471  nmoolb  28475  nmlno0lem  28497  nmoplb  29611  nmfnlb  29628  nmlnop0iALT  29699  xrofsup  30418  xrge0tsmsd  30619  itg2addnc  34827  rrnequiv  34994  supxrubd  41257  supxrgere  41477  supxrgelem  41481  suplesup2  41520  ressiocsup  41706  ressioosup  41707  liminfval2  41925  etransclem48  42444  fsumlesge0  42536  sge0cl  42540  sge0supre  42548  sge0xaddlem1  42592  sge0xaddlem2  42593
  Copyright terms: Public domain W3C validator