Theorem supxrub 12403

Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 12221	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 12388	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supub 8607	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
5	4	imp 396	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
6		ssel2 3793	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		supxrcl 12394	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		xrlenlt 10393	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
10	6, 8, 9	syl2anc 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
11	5, 10	mpbird 249	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3769   class class class wbr 4843   Or wor 5232  supcsup 8588  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363   ≤ cle 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559

This theorem is referenced by:  supxrre  12406  supxrss  12411  ixxub  12445  prdsdsf  22500  prdsxmetlem  22501  xpsdsval  22514  prdsbl  22624  xrge0tsms  22965  bndth  23085  ovolmge0  23585  ovollb2lem  23596  ovolunlem1a  23604  ovoliunlem1  23610  ovoliun  23613  ovolicc2lem4  23628  ioombl1lem2  23667  ioombl1lem4  23669  uniioombllem2  23691  uniioombllem3  23693  uniioombllem6  23696  vitalilem4  23719  itg2ub  23841  itg2seq  23850  itg2monolem1  23858  itg2monolem2  23859  itg2monolem3  23860  aannenlem2  24425  radcnvcl  24512  radcnvle  24515  nmooge0  28147  nmoolb  28151  nmlno0lem  28173  nmoplb  29291  nmfnlb  29308  nmlnop0iALT  29379  xrofsup  30051  xrge0tsmsd  30301  itg2addnc  33952  rrnequiv  34121  supxrubd  40055  supxrgere  40293  supxrgelem  40297  suplesup2  40336  ressiocsup  40525  ressioosup  40526  liminfval2  40744  etransclem48  41242  fsumlesge0  41337  sge0cl  41341  sge0supre  41349  sge0xaddlem1  41393  sge0xaddlem2  41394