Theorem supxrub 13276

Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3916	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		supxrcl 13267	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4		xrltso 13092	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
6		xrsupss 13261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
7	5, 6	supub 9372	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
8	7	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9	1, 3, 8	xrnltled 11214	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   Or wor 5538  supcsup 9353  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  supxrre  13279  supxrss  13284  ixxub  13319  prdsdsf  24332  prdsxmetlem  24333  xpsdsval  24346  prdsbl  24456  xrge0tsms  24800  bndth  24925  ovolmge0  25444  ovollb2lem  25455  ovolunlem1a  25463  ovoliunlem1  25469  ovoliun  25472  ovolicc2lem4  25487  ioombl1lem2  25526  ioombl1lem4  25528  uniioombllem2  25550  uniioombllem3  25552  uniioombllem6  25555  vitalilem4  25578  itg2ub  25700  itg2seq  25709  itg2monolem1  25717  itg2monolem2  25718  itg2monolem3  25719  aannenlem2  26295  radcnvcl  26382  radcnvle  26385  nmooge0  30838  nmoolb  30842  nmlno0lem  30864  nmoplb  31978  nmfnlb  31995  nmlnop0iALT  32066  xrofsup  32840  xrge0tsmsd  33134  itg2addnc  37995  rrnequiv  38156  supxrubd  45543  supxrgere  45763  supxrgelem  45767  suplesup2  45805  ressiocsup  45984  ressioosup  45985  liminfval2  46196  etransclem48  46710  fsumlesge0  46805  sge0cl  46809  sge0supre  46817  sge0xaddlem1  46861  sge0xaddlem2  46862