Theorem infxrge0lb 32668

Description: A member of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to the set's infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0lb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0lb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infxrge0lb	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem infxrge0lb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13461	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13174	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5614	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		infxrge0lb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 32664	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 9531	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		infxrge0lb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
12	6, 11	sseldd 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	1, 12	sselid 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	5, 8	inflb 9532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < )))
15	11, 14	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < ))
16	10, 13, 15	xrnltled 11332	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153   Or wor 5593  (class class class)co 7424  infcinf 9484  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298   ≤ cle 11299  [,]cicc 13381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-icc 13385

This theorem is referenced by: (None)