Theorem infxrge0lb 33087

Description: A member of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to the set's infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0lb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0lb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infxrge0lb	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem infxrge0lb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13458	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13167	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5591	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		infxrge0lb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 33083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 9450	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		infxrge0lb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
12	6, 11	sseldd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	1, 12	sselid 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	5, 8	inflb 9451	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < )))
15	11, 14	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < ))
16	10, 13, 15	xrnltled 11279	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110   Or wor 5570  (class class class)co 7412  infcinf 9402  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-icc 13380

This theorem is referenced by: (None)