Theorem infxrge0lb 30108

Description: A member of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to the set's infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0lb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0lb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infxrge0lb	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem infxrge0lb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12573	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 12289	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5295	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		infxrge0lb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 30104	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 8684	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sseldi 3819	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		infxrge0lb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
12	6, 11	sseldd 3822	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	1, 12	sseldi 3819	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	5, 8	inflb 8685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < )))
15	11, 14	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < ))
16	10, 13, 15	xrnltled 10447	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4888   Or wor 5275  (class class class)co 6924  infcinf 8637  0cc0 10274  +∞cpnf 10410  ℝ^*cxr 10412   < clt 10413   ≤ cle 10414  [,]cicc 12495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-icc 12499

This theorem is referenced by: (None)