Theorem infxrge0lb 33243

Description: A member of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to the set's infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0lb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0lb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infxrge0lb	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem infxrge0lb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13487	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13196	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5587	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		infxrge0lb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 33239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 9463	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		infxrge0lb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
12	6, 11	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	1, 12	sselid 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	5, 8	inflb 9464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < )))
15	11, 14	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < ))
16	10, 13, 15	xrnltled 11306	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   Or wor 5566  (class class class)co 7417  infcinf 9415  0cc0 11128  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  [,]cicc 13405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-icc 13409

This theorem is used by: (None)