Theorem infxrge0lb 33402

Description: A member of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to the set's infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0lb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0lb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infxrge0lb	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem infxrge0lb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13564	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13273	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5578	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		infxrge0lb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 33398	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 9484	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3906	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		infxrge0lb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
12	6, 11	sseldd 3909	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	1, 12	sselid 3906	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	5, 8	inflb 9485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < )))
15	11, 14	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, (0[,]+∞), < ))
16	10, 13, 15	xrnltled 11381	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   Or wor 5557  (class class class)co 7420  infcinf 9436  0cc0 11203  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  [,]cicc 13482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-icc 13486

This theorem is used by: (None)