MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnvle 25932
Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
radcnv.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvle.a (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvle (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem radcnvle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11258 . . 3 ℝ βŠ† ℝ*
2 radcnvle.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
32abscld 15383 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
41, 3sselid 3981 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
5 iccssxr 13407 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
6 pser.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
7 radcnv.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
8 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
96, 7, 8radcnvcl 25929 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
105, 9sselid 3981 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹))
1210adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
133adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
14 0xr 11261 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elicc1 13368 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
189, 17sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
1918simp2d 1144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
20 ge0gtmnf 13151 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ -∞ < 𝑅)
2110, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑅)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ -∞ < 𝑅)
234adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
2412, 23, 11xrltled 13129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))
25 xrre 13148 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2612, 13, 22, 24, 25syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
27 avglt1 12450 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
2826, 13, 27syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
2911, 28mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
3026, 13readdcld 11243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
3130rehalfcld 12459 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ ℝ)
32 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
3332, 1sstri 3992 . . . . . 6 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
347adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3531recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ β„‚)
362adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
37 0red 11217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3819adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
3937, 26, 31, 38, 29lelttrd 11372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
4037, 31, 39ltled 11362 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ≀ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
4131, 40absidd 15369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)) = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
42 avglt2 12451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹)))
4326, 13, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹)))
4411, 43mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹))
4541, 44eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)) < (absβ€˜π‘‹))
46 radcnvle.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
486, 34, 35, 36, 45, 47radcnvlem3 25927 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
5049seqeq3d 13974 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) = seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))))
5150eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘¦))
5352seqeq3d 13974 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)))
5453eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ))
5554cbvrabv 3443 . . . . . . . 8 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ }
5651, 55elrab2 3687 . . . . . . 7 (((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
5731, 48, 56sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
58 supxrub 13303 . . . . . 6 (({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* ∧ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
5933, 57, 58sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6059, 8breqtrrdi 5191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ 𝑅)
6131, 26, 60lensymd 11365 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
6229, 61pm2.65da 816 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹))
634, 10, 62xrnltled 11282 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β„•0cn0 12472  [,]cicc 13327  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25940  abelthlem1  25943  logtayl  26168
  Copyright terms: Public domain W3C validator