Theorem radcnvle 25779

Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvle.a	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvle	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvle

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 11199	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		radcnvle.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	abscld 15321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
4	1, 3	sselid 3942	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13347	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7		radcnv.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8		radcnv.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
9	6, 7, 8	radcnvcl 25776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
10	5, 9	sselid 3942	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
11		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
12	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
13	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
14		0xr 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		pnfxr 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elicc1 13308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
18	9, 17	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
19	18	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
20		ge0gtmnf 13091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
21	10, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑅)
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
23	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
24	12, 23, 11	xrltled 13069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
25		xrre 13088	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	12, 13, 22, 24, 25	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
27		avglt1 12391	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
28	26, 13, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
29	11, 28	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
30	26, 13	readdcld 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
31	30	rehalfcld 12400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
32		ssrab2 4037	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
33	32, 1	sstri 3953	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
34	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
35	31	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
36	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
37		0red 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
38	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
39	37, 26, 31, 38, 29	lelttrd 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
40	37, 31, 39	ltled 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
41	31, 40	absidd 15307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
42		avglt2 12392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
43	26, 13, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
44	11, 43	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
45	41, 44	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
46		radcnvle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
48	6, 34, 35, 36, 45, 47	radcnvlem3 25774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
50	49	seqeq3d 13914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
51	50	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
53	52	seqeq3d 13914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑦)))
54	53	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
55	54	cbvrabv 3417	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
56	51, 55	elrab2 3648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
57	31, 48, 56	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })
58		supxrub 13243	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
59	33, 57, 58	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
60	59, 8	breqtrrdi 5147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
61	31, 26, 60	lensymd 11306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
62	29, 61	pm2.65da 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
63	4, 10, 62	xrnltled 11223	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  abscabs 15119   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25787  abelthlem1  25790  logtayl  26015