MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnvle 26168
Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
radcnv.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvle.a (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvle (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem radcnvle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11262 . . 3 ℝ βŠ† ℝ*
2 radcnvle.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
32abscld 15387 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
41, 3sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
5 iccssxr 13411 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
6 pser.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
7 radcnv.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
8 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
96, 7, 8radcnvcl 26165 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
105, 9sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹))
1210adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
133adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
14 0xr 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elicc1 13372 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
1714, 15, 16mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
189, 17sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
1918simp2d 1141 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
20 ge0gtmnf 13155 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ -∞ < 𝑅)
2110, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑅)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ -∞ < 𝑅)
234adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
2412, 23, 11xrltled 13133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))
25 xrre 13152 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2612, 13, 22, 24, 25syl22anc 835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
27 avglt1 12454 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
2826, 13, 27syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
2911, 28mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
3026, 13readdcld 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
3130rehalfcld 12463 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ ℝ)
32 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
3332, 1sstri 3990 . . . . . 6 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
347adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3531recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ β„‚)
362adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
37 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3819adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
3937, 26, 31, 38, 29lelttrd 11376 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
4037, 31, 39ltled 11366 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ≀ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
4131, 40absidd 15373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)) = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
42 avglt2 12455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹)))
4326, 13, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹)))
4411, 43mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹))
4541, 44eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)) < (absβ€˜π‘‹))
46 radcnvle.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
4746adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
486, 34, 35, 36, 45, 47radcnvlem3 26163 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
5049seqeq3d 13978 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) = seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))))
5150eleq1d 2816 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘¦))
5352seqeq3d 13978 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)))
5453eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ))
5554cbvrabv 3440 . . . . . . . 8 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ }
5651, 55elrab2 3685 . . . . . . 7 (((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
5731, 48, 56sylanbrc 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
58 supxrub 13307 . . . . . 6 (({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* ∧ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
5933, 57, 58sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6059, 8breqtrrdi 5189 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ 𝑅)
6131, 26, 60lensymd 11369 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
6229, 61pm2.65da 813 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹))
634, 10, 62xrnltled 11286 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„•0cn0 12476  [,]cicc 13331  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   ⇝ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26176  abelthlem1  26179  logtayl  26404
  Copyright terms: Public domain W3C validator