MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvle 26463
Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvle.a (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvle (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11305 . . 3 ℝ ⊆ ℝ*
2 radcnvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
32abscld 15475 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
41, 3sselid 3981 . 2 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
5 iccssxr 13470 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 pser.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
7 radcnv.a . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
96, 7, 8radcnvcl 26460 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
105, 9sselid 3981 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
11 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
1210adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
133adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
14 0xr 11308 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elicc1 13431 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
1714, 15, 16mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
189, 17sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
1918simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
20 ge0gtmnf 13214 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
2110, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ < 𝑅)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
234adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
2412, 23, 11xrltled 13192 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
25 xrre 13211 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
2612, 13, 22, 24, 25syl22anc 839 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
27 avglt1 12504 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
2826, 13, 27syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
2911, 28mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
3026, 13readdcld 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
3130rehalfcld 12513 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
32 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
3332, 1sstri 3993 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
347adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3531recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
362adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
37 0red 11264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
3819adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
3937, 26, 31, 38, 29lelttrd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
4037, 31, 39ltled 11409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
4131, 40absidd 15461 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
42 avglt2 12505 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
4326, 13, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
4411, 43mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
4541, 44eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
46 radcnvle.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
4746adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
486, 34, 35, 36, 45, 47radcnvlem3 26458 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
5049seqeq3d 14050 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
5150eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑦))
5352seqeq3d 14050 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑦)))
5453eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
5554cbvrabv 3447 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ }
5651, 55elrab2 3695 . . . . . . 7 (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
5731, 48, 56sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
58 supxrub 13366 . . . . . 6 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
5933, 57, 58sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6059, 8breqtrrdi 5185 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
6131, 26, 60lensymd 11412 . . 3 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
6229, 61pm2.65da 817 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
634, 10, 62xrnltled 11329 1 (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26472  abelthlem1  26475  logtayl  26702
  Copyright terms: Public domain W3C validator