Theorem radcnvle 26481

Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvle.a	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvle	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvle

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 11334	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		radcnvle.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	abscld 15485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
4	1, 3	sselid 4006	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13490	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7		radcnv.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8		radcnv.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
9	6, 7, 8	radcnvcl 26478	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
10	5, 9	sselid 4006	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
12	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
13	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
14		0xr 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elicc1 13451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
18	9, 17	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
19	18	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
20		ge0gtmnf 13234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
21	10, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
23	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
24	12, 23, 11	xrltled 13212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
25		xrre 13231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	12, 13, 22, 24, 25	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
27		avglt1 12531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
28	26, 13, 27	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
29	11, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
30	26, 13	readdcld 11319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
31	30	rehalfcld 12540	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
32		ssrab2 4103	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
33	32, 1	sstri 4018	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
34	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
35	31	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
36	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
37		0red 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
38	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
39	37, 26, 31, 38, 29	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
40	37, 31, 39	ltled 11438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
41	31, 40	absidd 15471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
42		avglt2 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
43	26, 13, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
44	11, 43	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
45	41, 44	eqbrtrd 5188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
46		radcnvle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
48	6, 34, 35, 36, 45, 47	radcnvlem3 26476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
50	49	seqeq3d 14060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
51	50	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
53	52	seqeq3d 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑦)))
54	53	eleq1d 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
55	54	cbvrabv 3454	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
56	51, 55	elrab2 3711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
57	31, 48, 56	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })
58		supxrub 13386	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
59	33, 57, 58	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
60	59, 8	breqtrrdi 5208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
61	31, 26, 60	lensymd 11441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
62	29, 61	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
63	4, 10, 62	xrnltled 11358	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  [,]cicc 13410  seqcseq 14052  ↑cexp 14112  abscabs 15283   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26490  abelthlem1  26493  logtayl  26720