MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvle 25795
Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
radcnv.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvle.a (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvle (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)

Proof of Theorem radcnvle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11206 . . 3 ℝ βŠ† ℝ*
2 radcnvle.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
32abscld 15328 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
41, 3sselid 3947 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
5 iccssxr 13354 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
6 pser.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
7 radcnv.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
8 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
96, 7, 8radcnvcl 25792 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
105, 9sselid 3947 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹))
1210adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
133adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
14 0xr 11209 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elicc1 13315 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
189, 17sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
1918simp2d 1144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
20 ge0gtmnf 13098 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ -∞ < 𝑅)
2110, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑅)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ -∞ < 𝑅)
234adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
2412, 23, 11xrltled 13076 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))
25 xrre 13095 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2612, 13, 22, 24, 25syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
27 avglt1 12398 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
2826, 13, 27syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
2911, 28mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
3026, 13readdcld 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
3130rehalfcld 12407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ ℝ)
32 ssrab2 4042 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
3332, 1sstri 3958 . . . . . 6 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
347adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3531recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ β„‚)
362adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
37 0red 11165 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3819adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
3937, 26, 31, 38, 29lelttrd 11320 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
4037, 31, 39ltled 11310 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ 0 ≀ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
4131, 40absidd 15314 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)) = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
42 avglt2 12399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹)))
4326, 13, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹)))
4411, 43mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) < (absβ€˜π‘‹))
4541, 44eqbrtrd 5132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ (absβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)) < (absβ€˜π‘‹))
46 radcnvle.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
486, 34, 35, 36, 45, 47radcnvlem3 25790 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2)))
5049seqeq3d 13921 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) = seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))))
5150eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘¦))
5352seqeq3d 13921 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)))
5453eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑦 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ))
5554cbvrabv 3420 . . . . . . . 8 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ }
5651, 55elrab2 3653 . . . . . . 7 (((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (πΊβ€˜((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
5731, 48, 56sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
58 supxrub 13250 . . . . . 6 (({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* ∧ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
5933, 57, 58sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6059, 8breqtrrdi 5152 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2) ≀ 𝑅)
6131, 26, 60lensymd 11313 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ 𝑅 < ((𝑅 + (absβ€˜π‘‹)) / 2))
6229, 61pm2.65da 816 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 < (absβ€˜π‘‹))
634, 10, 62xrnltled 11230 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  β„•0cn0 12420  [,]cicc 13274  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   ⇝ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25803  abelthlem1  25806  logtayl  26031
  Copyright terms: Public domain W3C validator