Theorem radcnvle 26463

Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvle.a	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvle	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvle

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 11305	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		radcnvle.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	abscld 15475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
4	1, 3	sselid 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13470	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7		radcnv.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8		radcnv.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
9	6, 7, 8	radcnvcl 26460	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
10	5, 9	sselid 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
12	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
13	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
14		0xr 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		pnfxr 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elicc1 13431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
18	9, 17	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
19	18	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
20		ge0gtmnf 13214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
21	10, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
23	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
24	12, 23, 11	xrltled 13192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
25		xrre 13211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	12, 13, 22, 24, 25	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
27		avglt1 12504	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
28	26, 13, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
29	11, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
30	26, 13	readdcld 11290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
31	30	rehalfcld 12513	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
32		ssrab2 4080	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
33	32, 1	sstri 3993	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
34	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
35	31	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
36	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
37		0red 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
38	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
39	37, 26, 31, 38, 29	lelttrd 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
40	37, 31, 39	ltled 11409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
41	31, 40	absidd 15461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
42		avglt2 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
43	26, 13, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
44	11, 43	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
45	41, 44	eqbrtrd 5165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
46		radcnvle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
48	6, 34, 35, 36, 45, 47	radcnvlem3 26458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
50	49	seqeq3d 14050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
51	50	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
53	52	seqeq3d 14050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑦)))
54	53	eleq1d 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
55	54	cbvrabv 3447	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
56	51, 55	elrab2 3695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
57	31, 48, 56	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })
58		supxrub 13366	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
59	33, 57, 58	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
60	59, 8	breqtrrdi 5185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
61	31, 26, 60	lensymd 11412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
62	29, 61	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
63	4, 10, 62	xrnltled 11329	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  abscabs 15273   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26472  abelthlem1  26475  logtayl  26702