Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvle Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvle.a (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvle (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 10677 . . 3 ℝ ⊆ ℝ*
2 radcnvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
32abscld 14788 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
41, 3sseldi 3963 . 2 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
5 iccssxr 12811 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 pser.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
7 radcnv.a . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
96, 7, 8radcnvcl 24997 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
105, 9sseldi 3963 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
11 simpr 487 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
1210adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
133adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
14 0xr 10680 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 10687 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elicc1 12774 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
1714, 15, 16mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
189, 17sylib 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
1918simp2d 1137 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
20 ge0gtmnf 12557 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
2110, 19, 20syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ < 𝑅)
2221adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
234adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
2412, 23, 11xrltled 12535 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
25 xrre 12554 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
2612, 13, 22, 24, 25syl22anc 836 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
27 avglt1 11867 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
2826, 13, 27syl2anc 586 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
2911, 28mpbid 234 . . 3 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
3026, 13readdcld 10662 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
3130rehalfcld 11876 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
32 ssrab2 4054 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
3332, 1sstri 3974 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
347adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3531recnd 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
362adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
37 0red 10636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
3819adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
3937, 26, 31, 38, 29lelttrd 10790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
4037, 31, 39ltled 10780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
4131, 40absidd 14774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
42 avglt2 11868 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
4326, 13, 42syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
4411, 43mpbid 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
4541, 44eqbrtrd 5079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
46 radcnvle.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
4746adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
486, 34, 35, 36, 45, 47radcnvlem3 24995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
5049seqeq3d 13369 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
5150eleq1d 2895 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑦))
5352seqeq3d 13369 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑦)))
5453eleq1d 2895 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
5554cbvrabv 3490 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ }
5651, 55elrab2 3681 . . . . . . 7 (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
5731, 48, 56sylanbrc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
58 supxrub 12709 . . . . . 6 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
5933, 57, 58sylancr 589 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6059, 8breqtrrdi 5099 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
6131, 26, 60lensymd 10783 . . 3 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
6229, 61pm2.65da 815 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
634, 10, 62xrnltled 10701 1 (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {crab 3140   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  supcsup 8896  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   / cdiv 11289  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  [,]cicc 12733  seqcseq 13361  ↑cexp 13421  abscabs 14585   ⇝ cli 14833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25008  abelthlem1  25011  logtayl  25235
 Copyright terms: Public domain W3C validator