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Theorem icccncfext 42468
Description: A continuous function on a closed interval can be extended to a continuous function on the whole real line. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icccncfext.1 𝑥𝐹
icccncfext.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccncfext.3 𝑌 = 𝐾
icccncfext.4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
icccncfext.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccncfext.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccncfext.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccncfext.8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
icccncfext.9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
icccncfext (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem icccncfext
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccncfext.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 23367 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2910 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 icccncfext.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccncfext.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 12812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 resttopon 21764 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
83, 6, 7sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
9 icccncfext.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 icccncfext.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = 𝐾
119, 10jctir 524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
12 istopon 21515 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
1311, 12sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
14 icccncfext.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
15 cnf2 21852 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
168, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
1716ffnd 6495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
18 dffn3 6506 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
1917, 18sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
2019ffvelrnda 6833 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
21 fnfun 6432 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → Fun 𝐹)
2217, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
234rexrd 10680 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
245rexrd 10680 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
25 icccncfext.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
26 lbicc2 12842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2817fndmd 6436 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
2928eqcomd 2828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
3027, 29eleqtrd 2916 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
31 fvelrn 6826 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
3222, 30, 31syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
33 ubicc2 12843 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3423, 24, 25, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3534, 29eleqtrd 2916 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝐹)
36 fvelrn 6826 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3722, 35, 36syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3832, 37ifcld 4484 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
3938adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4020, 39ifclda 4473 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
4140adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
42 icccncfext.4 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
43 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)
44 nfcv 2979 . . . . . . 7 𝑦(𝐹𝑥)
45 nfcv 2979 . . . . . . 7 𝑦if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
4643, 44, 45nfif 4468 . . . . . 6 𝑦if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
47 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑥 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)
48 icccncfext.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
49 nfcv 2979 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
5048, 49nffv 6662 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
51 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 < 𝐴
52 nfcv 2979 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴
5348, 52nffv 6662 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐴)
54 nfcv 2979 . . . . . . . . 9 𝑥𝐵
5548, 54nffv 6662 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐵)
5651, 53, 55nfif 4468 . . . . . . 7 𝑥if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
5747, 50, 56nfif 4468 . . . . . 6 𝑥if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
58 eleq1 2901 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
59 fveq2 6652 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
60 breq1 5045 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝐴𝑦 < 𝐴))
6160ifbid 4461 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
6258, 59, 61ifbieq12d 4466 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6346, 57, 62cbvmpt 5143 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6442, 63eqtri 2845 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6541, 64fmptd 6860 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
6665adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
67 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝜑)
68 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹))
6967, 68jca 515 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
70 ssidd 3965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7116frnd 6501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹𝑌)
72 cnrest2 21889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7313, 70, 71, 72syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7414, 73mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)))
7574anim1i 617 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
76 cnima 21868 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
7769, 75, 763syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
78 retop 23365 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
791, 78eqeltri 2910 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
81 reex 10617 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8382, 6ssexd 5204 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ∈ V)
8480, 83jca 515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
8567, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
86 elrest 16692 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8877, 87mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
89673ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
90 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
91903ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
92 simp1r 1195 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
9389, 91, 92jca31 518 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
94 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
95 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
9695, 1eleqtrri 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽
97 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9897, 1eleqtrri 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽
99 unopn 21506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
10079, 96, 98, 99mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽
101 unopn 21506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10279, 100, 101mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
104 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
105104adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
106 simpl1r 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
107106adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
108 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
109 difreicc 12862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
1104, 5, 109syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
111110eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) = (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
112111eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
113112notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
114113biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
115 eldif 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
116114, 115sylnib 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
117 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
118116, 117sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
119118imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120119notnotrd 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
121120an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
122121adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝜑)
1246sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12516adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
126125ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
12716, 27ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
128127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
12916, 34ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
130129ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
131128, 130ifclda 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
132126, 131ifclda 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
13364fvmpt2 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
134124, 132, 133syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
135 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
136135iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝑦))
137134, 136eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
138137eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
139123, 122, 138syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
140 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
141139, 140eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
142123, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
143 elpreima 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
145122, 141, 144mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
146145adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
147 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
148146, 147eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
149 elin 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
150148, 149sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
151150simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦𝑤)
152151ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤))
153152orrd 860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∨ 𝑦𝑤))
154153orcomd 868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
155 elun 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
156154, 155sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
157105, 107, 108, 156syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
158 imaundi 5986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) = ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
159105simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
160 toponss 21530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑤𝐽) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1613, 94, 160sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
162159, 161, 108jca31 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
163 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
164 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
16542funmpt2 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun 𝐺
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
167166ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → Fun 𝐺)
168 fvelima 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
169167, 168sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
170 eqcom 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
171170biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
1721713ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
173 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
174 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
175 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
176 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
177 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
178 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
179176, 177, 178jca31 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤))
180 eleq1 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
181180anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
182 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
183 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
184182, 183eqeq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧)))
185181, 184imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝑧 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))))
186185, 137chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
187186ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
188187adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
189 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
190 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
191 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
192 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
193191, 192elind 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
194 eqcom 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
195194biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
196195ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
197193, 196eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
198197adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
199 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
20017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
201 elpreima 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
203199, 202mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢))
204203simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
205189, 190, 198, 204syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
206188, 205eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
207179, 206sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
208 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
209 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
210208, 209jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
211 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
212 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
213 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
214212, 213sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
215210, 211, 214jca31 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
21664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
217 breq1 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 < 𝐴𝑧 < 𝐴))
218217ifbid 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
219180, 183, 218ifbieq12d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
220219adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
221 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
222 iffalse 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
223222adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
224 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
225 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
226224, 225ifclda 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑢)
227223, 226eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑢)
228216, 220, 221, 227fvmptd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
229228, 223eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
230229, 226eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
231215, 230sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
232231adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
233207, 232pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
234173, 174, 175, 233syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
235172, 234eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
236235rexlimdv3a 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → (∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
237169, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → 𝑦𝑢)
238237ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
239238alrimiv 1928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
240162, 163, 164, 239syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
241 dfss2 3928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
242240, 241sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑤) ⊆ 𝑢)
243 imaundi 5986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)))
244165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → Fun 𝐺)
245 fvelima 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
246244, 245sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
247 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
248 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
249 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
251219adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
252 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
253252adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
254 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
255254biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
256255simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 < 𝐴)
257256adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 < 𝐴)
258 ltnle 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
259252, 4, 258syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
260257, 259mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝐴𝑧)
261260intn3an2d 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
2624, 5jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
263262adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
264 elicc2 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
266261, 265mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
267266iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
268256iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
269268adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
270267, 269eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
271127adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
272270, 271eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
273250, 251, 253, 272fvmptd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
274273adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
275 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
276270adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
277274, 275, 2763eqtr3d 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
278247, 248, 249, 277syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
279278rexlimdv3a 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → (∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐴)))
280246, 279mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
281 velsn 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐴))
282280, 281sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)})
283282ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)}))
284283ssrdv 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
285284adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
286 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
287286snssd 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑢)
288285, 287sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
289288adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
290 fvelima 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
291166, 290sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
292 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
293 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
294 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
29564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
296219adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
297 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑧 ∈ ℝ)
298297adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29916ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
300299adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
3014adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3025adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30325adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
304 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
305304biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
306305simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑧)
307306adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑧)
308301, 302, 298, 303, 307lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑧)
309301, 298, 308ltnsymd 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
310309iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
311129adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
312310, 311eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
313312adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
314300, 313ifclda 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
315295, 296, 298, 314fvmptd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
316315adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
317 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
318302, 298ltnled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝐵))
319307, 318mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧𝐵)
320319intn3an3d 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
321262adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
322321, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
323320, 322mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
324323iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
325324, 310eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
326325adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
327316, 317, 3263eqtr3d 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
328292, 293, 294, 327syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
329328rexlimdv3a 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → (∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐵)))
330291, 329mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
331 velsn 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐵))
332330, 331sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)})
333332ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)}))
334333ssrdv 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
335334adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
336 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
337336snssd 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐵)} ⊆ 𝑢)
338335, 337sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
339338adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
340289, 339unssd 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
341243, 340eqsstrid 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
342159, 163, 164, 341syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
343242, 342unssd 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
344158, 343eqsstrid 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
345 eleq2 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
346 imaeq2 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
347346sseq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢))
348345, 347anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)))
349348rspcev 3598 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
350103, 157, 344, 349syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
35179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽𝐽 ∈ Top)
352 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
353352, 1eleqtrri 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽
354 inopn 21502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35579, 353, 354mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽)
357 unopn 21506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
358351, 355, 356, 357syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
3593583ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
360359ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
361 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
362 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
363 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
364 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
365262ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
366 eqimss 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
367109, 366syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
368 difcom 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
369367, 368sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
370365, 369syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
371370adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
372 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
373 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
374 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
375374adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
376 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
377376biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
378377simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑦)
379378adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑦)
3805adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
381380, 375ltnled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
382379, 381mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦𝐵)
383382intn3an3d 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
384262adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
385 elicc2 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
386384, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
387383, 386mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
388387iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
3894adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39025adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
391389, 380, 375, 390, 379lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
392389, 375, 391ltnsymd 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
393392iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
394388, 393eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
395129adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
396394, 395eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
397375, 396, 133syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
398397, 394eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
399398eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
400399adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
401 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
402400, 401eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
403402adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
404403stoic1a 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
405404adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
406 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
407373, 405, 406sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
408 elun 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
409407, 408sylnibr 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
410372, 409eldifd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
411371, 410sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
412411adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
413 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
414 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
415 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
416 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
417138adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
418 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
419417, 418eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
42017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
421420, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
422416, 419, 421mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
423413, 414, 415, 422syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
424 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
425423, 424eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
426 elinel1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
427425, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
428364, 412, 427syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦𝑤)
429 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
430 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
431 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
432 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
433 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43434adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
435433, 434eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
436432, 435, 137syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
437433fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
438436, 437eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
439438ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
440 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
44124adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
442 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 +∞ ∈ ℝ*
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
444 rexr 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
445444adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
446441, 443, 4453jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
447446ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
448 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
449448ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ < 𝑦)
450 mnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 -∞ ∈ ℝ*
451450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
452451, 441, 4453jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
453 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
454453notbii 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
455454biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
456455adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
457 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
458456, 457mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
459452, 458mpidan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
460 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵))
461459, 460mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
462449, 461mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
463462anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵))
464 pm4.56 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
465463, 464sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
466 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
4675adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
468466, 467jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
469468ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
470 leloe 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
472465, 471mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦𝐵)
4735anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
474473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
475 ltnle 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
476474, 475syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
477472, 476mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑦)
478 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
479478ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 < +∞)
480477, 479jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
481447, 480, 376sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
482440, 481, 398syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
483439, 482pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
484483eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
485484adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
486 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
487485, 486eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
488487stoic1a 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
489488notnotrd 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
490429, 430, 431, 489syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
491428, 490elind 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
492491ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
493492orrd 860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
494493orcomd 868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
495 elun 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
496494, 495sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
497361, 362, 363, 496syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
498104simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝜑)
499498adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
500 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
5013, 500, 160sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
502499, 501jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
503 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
50465ffnd 6495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
505504ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
506 ssinss1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ ℝ → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
507506ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
508 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
509508a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ)
510 unima 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ ∧ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
511505, 507, 509, 510syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
512165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
513 fvelima 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
514512, 513sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
5151713ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
516 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
517 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
518 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
519273, 267, 2693eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
5205193adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
521 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
522520, 521eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
523516, 517, 518, 522syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
524 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
525 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
526 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
527 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
528 elinel1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝑤)
5295283ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝑤)
530 elinel2 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
531 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
532530, 531syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5335323ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
534233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
535533rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
536 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
537533, 536syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ < 𝑧)
538450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
539538, 534, 5353jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
540 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
541540, 254sylnib 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
542 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
543541, 542mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
544539, 543mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
545 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴))
546544, 545mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
547537, 546mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
548534, 535, 547xrnltled 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴𝑧)
549 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
5505303ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
551531adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5525adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
553 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
554553biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
555554simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
556555adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
557551, 552, 556ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝐵)
558549, 550, 557syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝐵)
5592623ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
560559, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
561533, 548, 558, 560mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
562529, 561elind 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
563525, 526, 527, 562syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
564 elinel2 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565564anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
566565adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
567566, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
56817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
569 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
570195adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
571569, 570eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
572571adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
573201simplbda 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
574568, 572, 573syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
575567, 574eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
576575adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
577524, 563, 576syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
578523, 577pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
5795783adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
580515, 579eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
5815803adant1r 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
582581rexlimdv3a 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
583514, 582mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → 𝑦𝑢)
584583ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → 𝑦𝑢))
585584ssrdv 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
586288ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
587585, 586unssd 4137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
588511, 587eqsstrd 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
589502, 362, 503, 588syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
590 eleq2 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
591 imaeq2 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
592591sseq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢))
593590, 592anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)))
594593rspcev 3598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
595360, 497, 589, 594syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
596350, 595pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
597 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
598 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
599598, 1eleqtrri 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽
600 inopn 21502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60179, 599, 600mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽)
603 unopn 21506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
604351, 601, 602, 603syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
605597, 604syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
606 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
607606simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
608607simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝜑)
609 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
610 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
611 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
612 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝜑)
61323adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
614451, 613, 4453jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
615614adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
616448anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
617616adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
618 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
619615, 617, 618sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
620 eleq1 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
621620anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))))
622 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
623622eqeq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝑧) = (𝐹𝐴) ↔ (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴)))
624621, 623imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))))
625624, 519chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
626612, 619, 625syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
627626eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
628627ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
629 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
630628, 629eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
631 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
632630, 631pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
6334anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
634633ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
635 lenlt 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
636634, 635syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
637632, 636mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
638606, 611, 637syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝑦)
639 ltpnf 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
640639ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
641446adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
642376notbii 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
643642biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
644643adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
645 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
646644, 645sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
647641, 646mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
648 ancom 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
649647, 648sylnib 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
650 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
651649, 650sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦))
652640, 651mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
653468adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
654 lenlt 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
655653, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
656652, 655mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
657607, 656sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
658262ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
659658, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
660610, 638, 657, 659mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
661608, 609, 660, 422syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
662 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
663661, 662eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
664663, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
665 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐴))
66627ancli 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
667 eleq1 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
668667anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
669 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
670665, 669eqeq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
671668, 670imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝐴 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))))
672671, 137vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
6734, 666, 672sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))
674665, 673sylan9eqr 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
675674ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
676 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝜑)
677614ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
678448ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → -∞ < 𝑦)
679 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
680676, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
681445adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68223ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
683639ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
684 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
685442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
686682, 685, 6813jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
687 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
688687notbii 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
689688biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
690 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))) ↔ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
691689, 690mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
692684, 686, 691syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
693 ancom 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
694692, 693sylnib 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
695 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦))
696694, 695mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
697683, 696mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
698681, 682, 697xrnltled 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝐴)
699698adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦𝐴)
700 neqne 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 = 𝐴𝑦𝐴)
701700necomd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑦 = 𝐴𝐴𝑦)
702701adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴𝑦)
703679, 680, 699, 702leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 < 𝐴)
704678, 703jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
705677, 704, 618sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
706676, 705, 625syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
707675, 706pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
708707eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
709708ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
710 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
711709, 710eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
712 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
713711, 712condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
714606, 611, 713syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
715664, 714elind 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
716715adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
717 pm5.6 999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ↔ ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))))
718716, 717mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))))
719718orcomd 868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
720 elun 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
721719, 720sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
7227213adantll2 41606 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
723 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
724723ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
725 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
726 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
727504ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
728 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ
729728olci 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ)
730 inss 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
731729, 730ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ
732731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
733 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
734733a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ)
735 unima 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
736727, 732, 734, 735syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
737 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
738731sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
739738ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
740737, 739, 446syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
741 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝐵 < 𝑦)
742738ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
743742adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 < +∞)
744741, 743jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
745744adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
746740, 745, 376sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
747737, 746, 398syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
748747adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
749 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
750748, 749eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
751750adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
752 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
753 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
754 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
755 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
756738adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
757756adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7584adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
759 elinel2 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
760687biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
761760simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝐴 < 𝑦)
762759, 761syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
763762adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 < 𝑦)
764758, 756, 763ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴𝑦)
765764adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐴𝑦)
766 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
767755, 757, 468syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
768767, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
769766, 768mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝐵)
770262ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
771770, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
772757, 765, 769, 771mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
773755, 772, 137syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
774752, 753, 754, 773syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
775 elinel1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
776775ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝑤)
777776, 772jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
778777adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
779778, 149sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
780195ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
781779, 780eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
78217ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
783782, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
784781, 783mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
785784simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
786785adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
787774, 786eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
788751, 787pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
789788ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
790504fndmd 6436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐺 = ℝ)
791731, 790sseqtrrid 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺)
792166, 791jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
793792ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
794 funimass4 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
795793, 794syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
796789, 795mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
797338adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
798796, 797unssd 4137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
799736, 798eqsstrd 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
800724, 725, 726, 799syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
801 eleq2 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
802 imaeq2 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
803802sseq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢))
804801, 803anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)))
805804rspcev 3598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
806605, 722, 800, 805syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
807 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
808 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
809808, 1eleqtrri 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
810 inopn 21502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
81179, 809, 810mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
812807, 811syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
813 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
814637adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
815 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
816815, 404, 656syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
817816adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
818 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
819818, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
820819, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
821813, 814, 817, 820mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
822821adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
823818, 821, 137syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
824823adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
825 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
826824, 825eqeltrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
827 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
828827, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
829828, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
830822, 826, 829mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
831 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
832830, 831eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
833832, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝑤)
834 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
835827, 834, 822jca31 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
836 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
837826, 836jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
838 nelneq 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
839669necon3bi 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴) → 𝑦𝐴)
840837, 838, 8393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐴)
841 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
842826, 841jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢))
843 nelneq 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
844 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
845844necon3bi 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵) → 𝑦𝐵)
846842, 843, 8453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
847613ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
848441ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
849444ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
850847, 848, 8493jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
851 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
8524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
853 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
854262adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
855854, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
856135, 855mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
857856simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
858857adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
859852, 853, 8583jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
860859adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
861 leltne 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
862860, 861syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
863851, 862mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 < 𝑦)
864863adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
865 necom 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
866865biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
867866adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵𝑦)
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
869856simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
870869adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
871853, 868, 8703jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
872871adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
873 leltne 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
874872, 873syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
875867, 874mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
876875adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
877864, 876jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
878 elioo3g 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
879850, 877, 878sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
880835, 840, 846, 879syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
881833, 880elind 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
8828813adantll2 41606 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
883165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
884 fvelima 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
885883, 884sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
886 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = 𝑡)
887 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝜑)
888 inss2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
889 ioossicc 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
890888, 889sstri 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
891890sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8928913ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
893887, 892, 137syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
894 sslin 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
895889, 894ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))
896895sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
897896adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
898195adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
899897, 898eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
900899adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
90117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
902901, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
903900, 902mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
904903simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
9059043adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
906893, 905eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
907886, 906eqeltrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑡𝑢)
9089073exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
909908adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
910909rexlimdv 3269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢))
911885, 910mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → 𝑡𝑢)
912911ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
913 dfss3 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
914912, 913sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
915914ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
9169153adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
917916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (