icccncfext - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem icccncfext 44590

Description: A continuous function on a closed interval can be extended to a continuous function on the whole real line. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
icccncfext.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
icccncfext.2	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccncfext.3	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
icccncfext.4	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
icccncfext.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccncfext.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccncfext.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccncfext.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
icccncfext.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))

**Assertion**
Ref	Expression
icccncfext	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝐽(𝑥) 𝐾(𝑥) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem icccncfext Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccncfext.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 24272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4		icccncfext.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		icccncfext.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		resttopon 22657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
8	3, 6, 7	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
9		icccncfext.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
10		icccncfext.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
11	9, 10	jctir 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = ∪ 𝐾))
12		istopon 22406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = ∪ 𝐾))
13	11, 12	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
14		icccncfext.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
15		cnf2 22745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
16	8, 13, 14, 15	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
17	16	ffnd 6716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
18		dffn3 6728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
19	17, 18	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
20	19	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
21		fnfun 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → Fun 𝐹)
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
23	4	rexrd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
24	5	rexrd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		icccncfext.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
26		lbicc2 13438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28	17	fndmd 6652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
29	28	eqcomd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
30	27, 29	eleqtrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
31		fvelrn 7076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
32	22, 30, 31	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
33		ubicc2 13439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34	23, 24, 25, 33	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35	34, 29	eleqtrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
36		fvelrn 7076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐵) ∈ ran 𝐹)
37	22, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ran 𝐹)
38	32, 37	ifcld 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ ran 𝐹)
39	38	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ ran 𝐹)
40	20, 39	ifclda 4563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ ran 𝐹)
41	40	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ ran 𝐹)
42		icccncfext.4	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
43		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)
44		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥)
45		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))
46	43, 44, 45	nfif 4558	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
47		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)
48		icccncfext.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
49		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
50	48, 49	nffv 6899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
51		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 < 𝐴
52		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
53	48, 52	nffv 6899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐴)
54		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
55	48, 54	nffv 6899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐵)
56	51, 53, 55	nfif 4558	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))
57	47, 50, 56	nfif 4558	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
58		eleq1 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
59		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
60		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑦 < 𝐴))
61	60	ifbid 4551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
62	58, 59, 61	ifbieq12d 4556	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
63	46, 57, 62	cbvmpt 5259	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
64	42, 63	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
65	41, 64	fmptd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
66	65	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
67		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → 𝜑)
68		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹))
69	67, 68	jca 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)))
70		ssidd 4005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
71	16	frnd 6723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
72		cnrest2 22782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹))))
73	13, 70, 71, 72	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹))))
74	14, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)))
75	74	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)))
76		cnima 22761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ ((𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) → (^◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)))
77	69, 75, 76	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → (^◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)))
78		retop 24270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
79	1, 78	eqeltri 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 ∈ Top
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
81		reex 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
83	82, 6	ssexd 5324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ∈ V)
84	80, 83	jca 513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
85	67, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
86		elrest 17370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((^◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐽 (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → ((^◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐽 (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
88	77, 87	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 𝐽 (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
89	67	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
90		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
91	90	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
92		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
93	89, 91, 92	jca31 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
94		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
95		iooretop 24274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
96	95, 1	eleqtrri 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽
97		iooretop 24274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
98	97, 1	eleqtrri 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽
99		unopn 22397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
100	79, 96, 98, 99	mp3an 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽
101		unopn 22397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
102	79, 100, 101	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
103	94, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
104		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
105	104	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
106		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
107	106	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
108		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
109		difreicc 13458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
110	4, 5, 109	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
111	110	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) = (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
112	111	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
113	112	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
114	113	biimpa 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
115		eldif 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
116	114, 115	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
117		imnan 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
118	116, 117	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
119	118	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120	119	notnotrd 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
121	120	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
122	121	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝜑)
124	6	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
125	16	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
126	125	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
127	16, 27	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑌)
128	127	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑌)
129	16, 34	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
130	129	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
131	128, 130	ifclda 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑌)
132	126, 131	ifclda 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
133	64	fvmpt2 7007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
134	124, 132, 133	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
135		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
136	135	iftrued 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝑦))
137	134, 136	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
138	137	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
139	123, 122, 138	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
140		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
141	139, 140	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
142	123, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
143		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
145	122, 141, 144	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
146	145	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
147		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
148	146, 147	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
149		elin 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
150	148, 149	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
151	150	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝑤)
152	151	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑤))
153	152	orrd 862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ 𝑤))
154	153	orcomd 870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∨ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
155		elun 4148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∨ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
156	154, 155	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
157	105, 107, 108, 156	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
158		imaundi 6147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) = ((𝐺 “ 𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
159	105	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
160		toponss 22421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽) → 𝑤 ⊆ ℝ)
161	3, 94, 160	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
162	159, 161, 108	jca31 516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
163		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
164		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
165	42	funmpt2 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Fun 𝐺
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
167	166	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → Fun 𝐺)
168		fvelima 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
169	167, 168	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
170		eqcom 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
171	170	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
172	171	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
173		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢))
174		simp1lr 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
175		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑤)
176		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ))
177		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
178		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
179	176, 177, 178	jca31 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤))
180		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
181	180	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
182		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
183		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
184	182, 183	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧)))
185	181, 184	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))))
186	185, 137	chvarvv 2003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
187	186	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
188	187	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
189		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
190		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
191		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
192		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
193	191, 192	elind 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
194		eqcom 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (^◡𝐹 “ 𝑢))
195	194	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (^◡𝐹 “ 𝑢))
196	195	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (^◡𝐹 “ 𝑢))
197	193, 196	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
198	197	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
199		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢)) → 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
200	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
201		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)))
202	200, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)))
203	199, 202	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢))
204	203	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
205	189, 190, 198, 204	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
206	188, 205	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
207	179, 206	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
208		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
209		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
210	208, 209	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢))
211		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
212		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
213		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
214	212, 213	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
215	210, 211, 214	jca31 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
216	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))))
217		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 < 𝐴 ↔ 𝑧 < 𝐴))
218	217	ifbid 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
219	180, 183, 218	ifbieq12d 4556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
220	219	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
221		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
222		iffalse 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
223	222	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
224		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
225		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
226	224, 225	ifclda 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑢)
227	223, 226	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑢)
228	216, 220, 221, 227	fvmptd 7003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
229	228, 223	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
230	229, 226	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
231	215, 230	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
232	231	adantl4r 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
233	207, 232	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
234	173, 174, 175, 233	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
235	172, 234	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑢)
236	235	rexlimdv3a 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → (∃𝑧 ∈ 𝑤 (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑢))
237	169, 236	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → 𝑦 ∈ 𝑢)
238	237	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
239	238	alrimiv 1931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
240	162, 163, 164, 239	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
241		dfss2 3968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
242	240, 241	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ 𝑤) ⊆ 𝑢)
243		imaundi 6147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)))
244	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → Fun 𝐺)
245		fvelima 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
246	244, 245	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
247		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
248		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
249		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
250	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))))
251	219	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
252		elioore 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
253	252	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
254		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
255	254	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
256	255	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 < 𝐴)
257	256	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 < 𝐴)
258		ltnle 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑧))
259	252, 4, 258	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑧))
260	257, 259	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑧)
261	260	intn3an2d 1481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
262	4, 5	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
263	262	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
264		elicc2 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
265	263, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
266	261, 265	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
267	266	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
268	256	iftrued 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐴))
269	268	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐴))
270	267, 269	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐴))
271	127	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑌)
272	270, 271	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
273	250, 251, 253, 272	fvmptd 7003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
274	273	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
275		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
276	270	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐴))
277	274, 275, 276	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
278	247, 248, 249, 277	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
279	278	rexlimdv3a 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → (∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺‘𝑧) = 𝑡 → 𝑡 = (𝐹‘𝐴)))
280	246, 279	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
281		velsn 4644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
282	280, 281	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐴)})
283	282	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐴)}))
284	283	ssrdv 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹‘𝐴)})
285	284	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹‘𝐴)})
286		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
287	286	snssd 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝑢)
288	285, 287	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
289	288	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
290		fvelima 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
291	166, 290	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
292		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
293		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
294		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
295	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))))
296	219	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
297		elioore 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑧 ∈ ℝ)
298	297	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
299	16	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
300	299	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
301	4	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
302	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
303	25	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
304		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞)))
305	304	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞)))
306	305	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑧)
307	306	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑧)
308	301, 302, 298, 303, 307	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑧)
309	301, 298, 308	ltnsymd 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
310	309	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
311	129	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
312	310, 311	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑌)
313	312	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑌)
314	300, 313	ifclda 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
315	295, 296, 298, 314	fvmptd 7003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
316	315	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
317		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
318	302, 298	ltnled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝐵))
319	307, 318	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ≤ 𝐵)
320	319	intn3an3d 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
321	262	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
322	321, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
323	320, 322	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
324	323	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
325	324, 310	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐵))
326	325	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐵))
327	316, 317, 326	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
328	292, 293, 294, 327	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
329	328	rexlimdv3a 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → (∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺‘𝑧) = 𝑡 → 𝑡 = (𝐹‘𝐵)))
330	291, 329	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
331		velsn 4644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐵)} ↔ 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
332	330, 331	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐵)})
333	332	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐵)}))
334	333	ssrdv 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹‘𝐵)})
335	334	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹‘𝐵)})
336		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
337	336	snssd 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → {(𝐹‘𝐵)} ⊆ 𝑢)
338	335, 337	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
339	338	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
340	289, 339	unssd 4186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
341	243, 340	eqsstrid 4030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
342	159, 163, 164, 341	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
343	242, 342	unssd 4186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ 𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
344	158, 343	eqsstrid 4030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
345		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
346		imaeq2 6054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺 “ 𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
347	346	sseq1d 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢))
348	345, 347	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)))
349	348	rspcev 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
350	103, 157, 344, 349	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
351	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → 𝐽 ∈ Top)
352		iooretop 24274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
353	352, 1	eleqtrri 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽
354		inopn 22393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
355	79, 353, 354	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
356	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽)
357		unopn 22397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
358	351, 355, 356, 357	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
359	358	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
360	359	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
361		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
362		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
363		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
364		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
365	262	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
366		eqimss 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
367	109, 366	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
368		difcom 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
369	367, 368	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
370	365, 369	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
371	370	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
372		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
373		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
374		elioore 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
375	374	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
376		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
377	376	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
378	377	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑦)
379	378	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑦)
380	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
381	380, 375	ltnled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝐵))
382	379, 381	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ≤ 𝐵)
383	382	intn3an3d 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
384	262	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
385		elicc2 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
386	384, 385	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
387	383, 386	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
388	387	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
389	4	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
390	25	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
391	389, 380, 375, 390, 379	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
392	389, 375, 391	ltnsymd 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
393	392	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
394	388, 393	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐵))
395	129	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
396	394, 395	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
397	375, 396, 133	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
398	397, 394	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
399	398	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
400	399	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
401		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
402	400, 401	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
403	402	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
404	403	stoic1a 1775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
405	404	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
406		ioran 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
407	373, 405, 406	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
408		elun 4148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
409	407, 408	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
410	372, 409	eldifd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
411	371, 410	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
412	411	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
413		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
414		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
415		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
416		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
417	138	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
418		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
419	417, 418	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
420	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
421	420, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
422	416, 419, 421	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
423	413, 414, 415, 422	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
424		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
425	423, 424	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
426		elinel1 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
427	425, 426	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
428	364, 412, 427	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
429		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
430		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
431		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
432		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
433		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
434	34	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
435	433, 434	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
436	432, 435, 137	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
437	433	fveq2d 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
438	436, 437	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
439	438	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
440		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
441	24	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
442		pnfxr 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
443	442	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
444		rexr 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ^*)
445	444	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
446	441, 443, 445	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
447	446	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
448		mnflt 13100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
449	448	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ < 𝑦)
450		mnfxr 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
451	450	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ^*)
452	451, 441, 445	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
453		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
454	453	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ¬ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
455	454	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
456	455	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
457		nan 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
458	456, 457	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
459	452, 458	mpidan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
460		nan 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵))
461	459, 460	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
462	449, 461	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
463	462	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵))
464		pm4.56 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵))
465	463, 464	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵))
466		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
467	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
468	466, 467	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
469	468	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
470		leloe 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵)))
471	469, 470	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵)))
472	465, 471	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 ≤ 𝐵)
473	5	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
474	473	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
475		ltnle 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝐵))
476	474, 475	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝐵))
477	472, 476	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑦)
478		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
479	478	ltpnfd 13098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 < +∞)
480	477, 479	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
481	447, 480, 376	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
482	440, 481, 398	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
483	439, 482	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
484	483	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
485	484	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
486		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
487	485, 486	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
488	487	stoic1a 1775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
489	488	notnotrd 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
490	429, 430, 431, 489	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
491	428, 490	elind 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
492	491	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
493	492	orrd 862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
494	493	orcomd 870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
495		elun 4148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
496	494, 495	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
497	361, 362, 363, 496	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
498	104	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝜑)
499	498	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
500		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
501	3, 500, 160	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
502	499, 501	jca 513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ))
503		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
504	65	ffnd 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
505	504	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
506		ssinss1 4237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ⊆ ℝ → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
507	506	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
508		ioossre 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
509	508	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ)
510		unima 6964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ ∧ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
511	505, 507, 509, 510	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
512	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
513		fvelima 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺‘𝑧) = 𝑦)
514	512, 513	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺‘𝑧) = 𝑦)
515	171	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
516		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
517		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
518		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
519	273, 267, 269	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
520	519	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
521		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
522	520, 521	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
523	516, 517, 518, 522	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
524		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
525		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
526		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
527		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
528		elinel1 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
529	528	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
530		elinel2 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
531		elioore 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
532	530, 531	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
533	532	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
534	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
535	533	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
536		mnflt 13100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
537	533, 536	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ < 𝑧)
538	450	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ ∈ ℝ^*)
539	538, 534, 535	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
540		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
541	540, 254	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
542		nan 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
543	541, 542	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴))
544	539, 543	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴))
545		nan 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴))
546	544, 545	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
547	537, 546	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
548	534, 535, 547	xrnltled 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝑧)
549		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
550	530	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
551	531	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
552	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
553		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
554	553	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
555	554	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
556	555	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
557	551, 552, 556	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
558	549, 550, 557	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
559	262	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
560	559, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
561	533, 548, 558, 560	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
562	529, 561	elind 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
563	525, 526, 527, 562	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
564		elinel2 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565	564	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
566	565	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
567	566, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
568	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
569		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
570	195	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (^◡𝐹 “ 𝑢))
571	569, 570	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
572	571	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
573	201	simplbda 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
574	568, 572, 573	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
575	567, 574	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
576	575	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
577	524, 563, 576	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
578	523, 577	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
579	578	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
580	515, 579	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑢)
581	580	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑢)
582	581	rexlimdv3a 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑢))
583	514, 582	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → 𝑦 ∈ 𝑢)
584	583	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝑢))
585	584	ssrdv 3988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
586	288	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
587	585, 586	unssd 4186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
588	511, 587	eqsstrd 4020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
589	502, 362, 503, 588	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
590		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
591		imaeq2 6054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺 “ 𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
592	591	sseq1d 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢))
593	590, 592	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)))
594	593	rspcev 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
595	360, 497, 589, 594	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
596	350, 595	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
597		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
598		iooretop 24274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
599	598, 1	eleqtrri 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽
600		inopn 22393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
601	79, 599, 600	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
602	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽)
603		unopn 22397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
604	351, 601, 602, 603	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
605	597, 604	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
606		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
607	606	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
608	607	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝜑)
609		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
610		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
611		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
612		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝜑)
613	23	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
614	451, 613, 445	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
615	614	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
616	448	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
617	616	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
618		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
619	615, 617, 618	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
620		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
621	620	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))))
622		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑦))
623	622	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴)))
624	621, 623	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))))
625	624, 519	chvarvv 2003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
626	612, 619, 625	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
627	626	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
628	627	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
629		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
630	628, 629	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
631		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
632	630, 631	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
633	4	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
634	633	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
635		lenlt 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
636	634, 635	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
637	632, 636	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐴 ≤ 𝑦)
638	606, 611, 637	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
639		ltpnf 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
640	639	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
641	446	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
642	376	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
643	642	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
644	643	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
645		imnan 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → ¬ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ^ ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
646	644, 645	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → ¬ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
647	641, 646	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
648		ancom 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
649	647, 648	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
650		imnan 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
651	649, 650	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦))
652	640, 651	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
653	468	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
654		lenlt 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
655	653, 654	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
656	652, 655	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
657	607, 656	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
658	262	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
659	658, 385	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
660	610, 638, 657, 659	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
661	608, 609, 660, 422	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
662		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
663	661, 662	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
664	663, 426	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
665		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
666	27	ancli 550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
667		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
668	667	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
669		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
670	665, 669	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)))
671	668, 670	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))))
672	671, 137	vtoclg 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)))
673	4, 666, 672	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
674	665, 673	sylan9eqr 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
675	674	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
676		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝜑)
677	614	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
678	448	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → -∞ < 𝑦)
679		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
680	676, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
681	445	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
682	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
683	639	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
684		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
685	442	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ^*)
686	682, 685, 681	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
687		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
688	687	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
689	688	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
690		nan 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))) ↔ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
691	689, 690	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
692	684, 686, 691	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
693		ancom 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
694	692, 693	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
695		nan 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦))
696	694, 695	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
697	683, 696	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
698	681, 682, 697	xrnltled 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ≤ 𝐴)
699	698	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝐴)
700		neqne 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (¬ 𝑦 = 𝐴 → 𝑦 ≠ 𝐴)
701	700	necomd 2997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (¬ 𝑦 = 𝐴 → 𝐴 ≠ 𝑦)
702	701	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑦)
703	679, 680, 699, 702	leneltd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 < 𝐴)
704	678, 703	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
705	677, 704, 618	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
706	676, 705, 625	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
707	675, 706	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
708	707	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
709	708	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
710		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
711	709, 710	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
712		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
713	711, 712	condan 817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
714	606, 611, 713	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
715	664, 714	elind 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
716	715	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
717		pm5.6 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))))
718	716, 717	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))))
719	718	orcomd 870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
720		elun 4148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
721	719, 720	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
722	721	3adantll2 43711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
723		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
724	723	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
725		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
726		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
727	504	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
728		ioossre 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ
729	728	olci 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ)
730		inss 4238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
731	729, 730	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ
732	731	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
733		ioossre 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
734	733	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ)
735		unima 6964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
736	727, 732, 734, 735	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
737		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
738	731	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
739	738	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
740	737, 739, 446	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
741		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝐵 < 𝑦)
742	738	ltpnfd 13098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
743	742	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 < +∞)
744	741, 743	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
745	744	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
746	740, 745, 376	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
747	737, 746, 398	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
748	747	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
749		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
750	748, 749	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
751	750	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
752		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
753		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
754		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
755		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
756	738	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
757	756	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
758	4	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
759		elinel2 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
760	687	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
761	760	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝐴 < 𝑦)
762	759, 761	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
763	762	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 < 𝑦)
764	758, 756, 763	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
765	764	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐴 ≤ 𝑦)
766		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
767	755, 757, 468	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
768	767, 654	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
769	766, 768	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝐵)
770	262	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
771	770, 385	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
772	757, 765, 769, 771	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
773	755, 772, 137	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
774	752, 753, 754, 773	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
775		elinel1 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
776	775	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑤)
777	776, 772	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
778	777	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
779	778, 149	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
780	195	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (^◡𝐹 “ 𝑢))
781	779, 780	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
782	17	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
783	782, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
784	781, 783	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢))
785	784	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
786	785	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
787	774, 786	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
788	751, 787	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
789	788	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
790	504	fndmd 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ℝ)
791	731, 790	sseqtrrid 4035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺)
792	166, 791	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
793	792	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
794		funimass4 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
795	793, 794	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
796	789, 795	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
797	338	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
798	796, 797	unssd 4186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
799	736, 798	eqsstrd 4020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
800	724, 725, 726, 799	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
801		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
802		imaeq2 6054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺 “ 𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
803	802	sseq1d 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢))
804	801, 803	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)))
805	804	rspcev 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
806	605, 722, 800, 805	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
807		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
808		iooretop 24274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
809	808, 1	eleqtrri 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
810		inopn 22393	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
811	79, 809, 810	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
812	807, 811	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
813		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
814	637	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐴 ≤ 𝑦)
815		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
816	815, 404, 656	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ 𝐵)
817	816	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ 𝐵)
818		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
819	818, 262	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
820	819, 385	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
821	813, 814, 817, 820	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
822	821	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
823	818, 821, 137	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
824	823	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
825		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
826	824, 825	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
827		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
828	827, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
829	828, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
830	822, 826, 829	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
831		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
832	830, 831	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
833	832, 426	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ 𝑤)
834		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
835	827, 834, 822	jca31 516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
836		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
837	826, 836	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢))
838		nelneq 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
839	669	necon3bi 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴) → 𝑦 ≠ 𝐴)
840	837, 838, 839	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≠ 𝐴)
841		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
842	826, 841	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢))
843		nelneq 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
844		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
845	844	necon3bi 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵) → 𝑦 ≠ 𝐵)
846	842, 843, 845	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≠ 𝐵)
847	613	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
848	441	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
849	444	ad4antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
850	847, 848, 849	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*))
851		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝐴)
852	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
853		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
854	262	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
855	854, 385	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
856	135, 855	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
857	856	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
858	857	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
859	852, 853, 858	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦))
860	859	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦))
861		leltne 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
862	860, 861	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → (𝐴 < 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
863	851, 862	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝐴 < 𝑦)
864	863	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
865		necom 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑦)
866	865	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ≠ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑦)
867	866	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑦)
868	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
869	856	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
870	869	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
871	853, 868, 870	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
872	871	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
873		leltne 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝑦 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑦))
874	872, 873	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝑦 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑦))
875	867, 874	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
876	875	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
877	864, 876	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
878		elioo3g 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
879	850, 877, 878	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
880	835, 840, 846, 879	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
881	833, 880	elind 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
882	881	3adantll2 43711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
883	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
884		fvelima 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺‘𝑦) = 𝑡)
885	883, 884	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺‘𝑦) = 𝑡)
886		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐺‘𝑦) = 𝑡)
887		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → 𝜑)
888		inss2 4229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
889		ioossicc 13407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
890	888, 889	sstri 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
891	890	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
892	891	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
893	887, 892, 137	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
894		sslin 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
895	889, 894	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))
896	895	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
897	896	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
898	195	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (^◡𝐹 “ 𝑢))
899	897, 898	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
900	899	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢))
901	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
902	901, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (^◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
903	900, 902	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢))
904	903	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
905	904	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
906	893, 905	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
907	886, 906	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑢)
908	907	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑦) = 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝑢)))
909	908	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑦) = 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝑢)))
910	909	rexlimdv 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺‘𝑦) = 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝑢))
911	885, 910	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → 𝑡 ∈ 𝑢)
912	911	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡 ∈ 𝑢)
913		dfss3 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡 ∈ 𝑢)
914	912, 913	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
915	914	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
916	915	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
917	916	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
918		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
919		imaeq2 6054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺 “ 𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
920	919	sseq1d 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢))
921	918, 920	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)))
922	921	rspcev 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
923	812, 882, 917, 922	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
924	806, 923	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
925	596, 924	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
926	93, 925	syld3an1 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
927	926	rexlimdv3a 3160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → (∃𝑤 ∈ 𝐽 (^◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
928	88, 927	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
929	928	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) → ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
930	929	ralrimiva 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
931	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
932		resttopon 22657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ↾_t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
933	13, 71, 932	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾_t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
934	933	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐾 ↾_t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
935		iscnp 22733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾 ↾_t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾_t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
936	931, 934, 466, 935	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾_t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾 ↾_t ran 𝐹)((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
937	66, 930, 936	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾_t ran 𝐹))‘𝑦))
938	937	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾_t ran 𝐹))‘𝑦))
939		cncnp 22776	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾 ↾_t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹)) → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾_t ran 𝐹))‘𝑦))))
940	3, 933, 939	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾_t ran 𝐹))‘𝑦))))
941	65, 938, 940	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)))
942		fnssres 6671	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
943	504, 6, 942	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
944		fvres 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
945	944	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
946	945, 137	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
947	943, 17, 946	eqfnfvd 7033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹)
948	941, 947	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾_t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∨ wo 846 ∧ w3a 1088 ∀wal 1540 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 Ⅎwnfc 2884 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 Vcvv 3475 ∖ cdif 3945 ∪ cun 3946 ∩ cin 3947 ⊆ wss 3948 ifcif 4528 {csn 4628 ∪ cuni 4908 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ^◡ccnv 5675 dom cdm 5676 ran crn 5677 ↾ cres 5678 “ cima 5679 Fun wfun 6535 Fn wfn 6536 ⟶wf 6537 ‘cfv 6541 (class class class)co 7406 ℝcr 11106 +∞cpnf 11242 -∞cmnf 11243 ℝ^*cxr 11244 < clt 11245 ≤ cle 11246 (,)cioo 13321 [,]cicc 13324 ↾_t crest 17363 topGenctg 17380 Topctop 22387 TopOnctopon 22404 Cn ccn 22720 CnP ccnp 22721

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-om 7853 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-er 8700 df-map 8819 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-q 12930 df-ioo 13325 df-icc 13328 df-rest 17365 df-topgen 17386 df-top 22388 df-topon 22405 df-bases 22441 df-cn 22723 df-cnp 22724

This theorem is referenced by: itgsubsticclem 44678

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