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Theorem icccncfext 45902
Description: A continuous function on a closed interval can be extended to a continuous function on the whole real line. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icccncfext.1 𝑥𝐹
icccncfext.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccncfext.3 𝑌 = 𝐾
icccncfext.4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
icccncfext.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccncfext.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccncfext.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccncfext.8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
icccncfext.9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
icccncfext (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem icccncfext
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccncfext.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 24784 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 icccncfext.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccncfext.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 resttopon 23169 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
83, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
9 icccncfext.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 icccncfext.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = 𝐾
119, 10jctir 520 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
12 istopon 22918 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
1311, 12sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
14 icccncfext.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
15 cnf2 23257 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
168, 13, 14, 15syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
1716ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
18 dffn3 6748 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
1917, 18sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
2019ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
21 fnfun 6668 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → Fun 𝐹)
2217, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
234rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
245rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
25 icccncfext.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
26 lbicc2 13504 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2817fndmd 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
2928eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
3027, 29eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
31 fvelrn 7096 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
3222, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
33 ubicc2 13505 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3423, 24, 25, 33syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3534, 29eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝐹)
36 fvelrn 7096 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3722, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3832, 37ifcld 4572 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4020, 39ifclda 4561 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
4140adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
42 icccncfext.4 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
43 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)
44 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑦(𝐹𝑥)
45 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑦if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
4643, 44, 45nfif 4556 . . . . . 6 𝑦if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
47 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑥 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)
48 icccncfext.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
49 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
5048, 49nffv 6916 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
51 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 < 𝐴
52 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴
5348, 52nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐴)
54 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑥𝐵
5548, 54nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐵)
5651, 53, 55nfif 4556 . . . . . . 7 𝑥if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
5747, 50, 56nfif 4556 . . . . . 6 𝑥if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
58 eleq1 2829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
59 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
60 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝐴𝑦 < 𝐴))
6160ifbid 4549 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
6258, 59, 61ifbieq12d 4554 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6346, 57, 62cbvmpt 5253 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6442, 63eqtri 2765 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6541, 64fmptd 7134 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
6665adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
67 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝜑)
68 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹))
6967, 68jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
70 ssidd 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7116frnd 6744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹𝑌)
72 cnrest2 23294 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7313, 70, 71, 72syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7414, 73mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)))
7574anim1i 615 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
76 cnima 23273 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
7769, 75, 763syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
78 retop 24782 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
791, 78eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
81 reex 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8382, 6ssexd 5324 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ∈ V)
8480, 83jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
8567, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
86 elrest 17472 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8877, 87mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
89673ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
90 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
91903ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
92 simp1r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
9389, 91, 92jca31 514 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
94 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
95 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
9695, 1eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽
97 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9897, 1eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽
99 unopn 22909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
10079, 96, 98, 99mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽
101 unopn 22909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10279, 100, 101mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
104 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
106 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
108 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
109 difreicc 13524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
1104, 5, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
111110eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) = (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
112111eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
113112notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
114113biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
115 eldif 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
116114, 115sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
117 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
118116, 117sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
119118imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120119notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
121120an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
122121adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝜑)
1246sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12516adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
126125ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
12716, 27ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
128127ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
12916, 34ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
130129ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
131128, 130ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
132126, 131ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
13364fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
134124, 132, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
135 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
136135iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝑦))
137134, 136eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
138137eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
139123, 122, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
140 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
141139, 140eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
142123, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
143 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
145122, 141, 144mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
146145adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
147 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
148146, 147eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
149 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
150148, 149sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
151150simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦𝑤)
152151ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤))
153152orrd 864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∨ 𝑦𝑤))
154153orcomd 872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
155 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
156154, 155sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
157105, 107, 108, 156syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
158 imaundi 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) = ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
159105simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
160 toponss 22933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑤𝐽) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1613, 94, 160sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
162159, 161, 108jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
163 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
164 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
16542funmpt2 6605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun 𝐺
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
167166ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → Fun 𝐺)
168 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
169167, 168sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
170 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
171170biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
1721713ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
173 simp1ll 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
174 simp1lr 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
175 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
176 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
177 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
178 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
179176, 177, 178jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤))
180 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
181180anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
182 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
183 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
184182, 183eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧)))
185181, 184imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝑧 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))))
186185, 137chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
187186ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
188187adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
189 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
190 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
191 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
192 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
193191, 192elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
194 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
195194biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
196195ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
197193, 196eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
198197adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
199 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
20017ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
201 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
203199, 202mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢))
204203simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
205189, 190, 198, 204syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
206188, 205eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
207179, 206sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
208 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
209 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
210208, 209jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
211 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
212 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
213 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
214212, 213sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
215210, 211, 214jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
21664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
217 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 < 𝐴𝑧 < 𝐴))
218217ifbid 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
219180, 183, 218ifbieq12d 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
220219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
221 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
222 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
223222adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
224 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
225 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
226224, 225ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑢)
227223, 226eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑢)
228216, 220, 221, 227fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
229228, 223eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
230229, 226eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
231215, 230sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
232231adantl4r 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
233207, 232pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
234173, 174, 175, 233syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
235172, 234eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
236235rexlimdv3a 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → (∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
237169, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → 𝑦𝑢)
238237ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
239238alrimiv 1927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
240162, 163, 164, 239syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
241 df-ss 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
242240, 241sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑤) ⊆ 𝑢)
243 imaundi 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)))
244165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → Fun 𝐺)
245 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
246244, 245sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
247 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
248 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
249 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
251219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
252 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
253252adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
254 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
255254biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
256255simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 < 𝐴)
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 < 𝐴)
258 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
259252, 4, 258syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
260257, 259mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝐴𝑧)
261260intn3an2d 1482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
2624, 5jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
263262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
264 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
266261, 265mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
267266iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
268256iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
269268adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
270267, 269eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
271127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
272270, 271eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
273250, 251, 253, 272fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
274273adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
275 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
276270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
277274, 275, 2763eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
278247, 248, 249, 277syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
279278rexlimdv3a 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → (∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐴)))
280246, 279mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
281 velsn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐴))
282280, 281sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)})
283282ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)}))
284283ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
285284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
286 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
287286snssd 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑢)
288285, 287sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
289288adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
290 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
291166, 290sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
292 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
293 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
294 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
29564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
296219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
297 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑧 ∈ ℝ)
298297adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29916ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
300299adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
3014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30325adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
304 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
305304biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
306305simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑧)
307306adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑧)
308301, 302, 298, 303, 307lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑧)
309301, 298, 308ltnsymd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
310309iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
311129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
312310, 311eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
313312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
314300, 313ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
315295, 296, 298, 314fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
316315adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
317 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
318302, 298ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝐵))
319307, 318mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧𝐵)
320319intn3an3d 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
321262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
322321, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
323320, 322mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
324323iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
325324, 310eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
326325adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
327316, 317, 3263eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
328292, 293, 294, 327syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
329328rexlimdv3a 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → (∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐵)))
330291, 329mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
331 velsn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐵))
332330, 331sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)})
333332ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)}))
334333ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
335334adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
336 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
337336snssd 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐵)} ⊆ 𝑢)
338335, 337sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
339338adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
340289, 339unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
341243, 340eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
342159, 163, 164, 341syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
343242, 342unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
344158, 343eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
345 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
346 imaeq2 6074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
347346sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢))
348345, 347anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)))
349348rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
350103, 157, 344, 349syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
35179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽𝐽 ∈ Top)
352 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
353352, 1eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽
354 inopn 22905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35579, 353, 354mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽)
357 unopn 22909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
358351, 355, 356, 357syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
3593583ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
360359ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
361 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
362 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
363 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
364 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
365262ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
366 eqimss 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
367109, 366syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
368 difcom 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
369367, 368sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
370365, 369syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
371370adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
372 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
373 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
374 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
375374adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
376 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
377376biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
378377simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑦)
379378adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑦)
3805adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
381380, 375ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
382379, 381mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦𝐵)
383382intn3an3d 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
384262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
385 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
386384, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
387383, 386mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
388387iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
3894adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
391389, 380, 375, 390, 379lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
392389, 375, 391ltnsymd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
393392iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
394388, 393eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
395129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
396394, 395eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
397375, 396, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
398397, 394eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
399398eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
400399adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
401 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
402400, 401eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
403402adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
404403stoic1a 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
405404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
406 ioran 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
407373, 405, 406sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
408 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
409407, 408sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
410372, 409eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
411371, 410sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
412411adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
413 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
414 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
415 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
416 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
417138adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
418 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
419417, 418eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
42017ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
421420, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
422416, 419, 421mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
423413, 414, 415, 422syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
424 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
425423, 424eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
426 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
427425, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
428364, 412, 427syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦𝑤)
429 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
430 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
431 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
432 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
433 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43434adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
435433, 434eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
436432, 435, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
437433fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
438436, 437eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
439438ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
440 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
44124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
442 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 +∞ ∈ ℝ*
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
444 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
445444adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
446441, 443, 4453jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
447446ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
448 mnflt 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
449448ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ < 𝑦)
450 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 -∞ ∈ ℝ*
451450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
452451, 441, 4453jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
453 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
454453notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
455454biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
456455adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
457 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
458456, 457mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
459452, 458mpidan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
460 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵))
461459, 460mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
462449, 461mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
463462anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵))
464 pm4.56 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
465463, 464sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
466 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
4675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
468466, 467jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
469468ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
470 leloe 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
472465, 471mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦𝐵)
4735anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
474473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
475 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
476474, 475syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
477472, 476mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑦)
478 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
479478ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 < +∞)
480477, 479jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
481447, 480, 376sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
482440, 481, 398syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
483439, 482pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
484483eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
485484adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
486 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
487485, 486eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
488487stoic1a 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
489488notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
490429, 430, 431, 489syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
491428, 490elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
492491ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
493492orrd 864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
494493orcomd 872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
495 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
496494, 495sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
497361, 362, 363, 496syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
498104simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝜑)
499498adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
500 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
5013, 500, 160sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
502499, 501jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
503 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
50465ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
505504ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
506 ssinss1 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ ℝ → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
507506ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
508 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
509508a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ)
510 unima 6984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ ∧ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
511505, 507, 509, 510syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
512165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
513 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
514512, 513sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
5151713ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
516 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
517 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
518 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
519273, 267, 2693eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
5205193adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
521 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
522520, 521eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
523516, 517, 518, 522syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
524 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
525 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
526 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
527 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
528 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝑤)
5295283ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝑤)
530 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
531 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
532530, 531syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5335323ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
534233ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
535533rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
536 mnflt 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
537533, 536syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ < 𝑧)
538450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
539538, 534, 5353jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
540 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
541540, 254sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
542 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
543541, 542mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
544539, 543mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
545 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴))
546544, 545mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
547537, 546mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
548534, 535, 547xrnltled 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴𝑧)
549 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
5505303ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
551531adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5525adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
553 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
554553biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
555554simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
556555adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
557551, 552, 556ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝐵)
558549, 550, 557syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝐵)
5592623ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
560559, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
561533, 548, 558, 560mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
562529, 561elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
563525, 526, 527, 562syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
564 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565564anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
566565adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
567566, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
56817ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
569 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
570195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
571569, 570eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
572571adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
573201simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
574568, 572, 573syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
575567, 574eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
576575adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
577524, 563, 576syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
578523, 577pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
5795783adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
580515, 579eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
5815803adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
582581rexlimdv3a 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
583514, 582mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → 𝑦𝑢)
584583ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → 𝑦𝑢))
585584ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
586288ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
587585, 586unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
588511, 587eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
589502, 362, 503, 588syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
590 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
591 imaeq2 6074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
592591sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢))
593590, 592anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)))
594593rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
595360, 497, 589, 594syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
596350, 595pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
597 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
598 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
599598, 1eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽
600 inopn 22905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60179, 599, 600mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽)
603 unopn 22909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
604351, 601, 602, 603syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
605597, 604syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
606 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
607606simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
608607simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝜑)
609 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
610 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
611 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
612 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝜑)
61323adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
614451, 613, 4453jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
615614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
616448anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
617616adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
618 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
619615, 617, 618sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
620 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
621620anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))))
622 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
623622eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝑧) = (𝐹𝐴) ↔ (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴)))
624621, 623imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))))
625624, 519chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
626612, 619, 625syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
627626eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
628627ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
629 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
630628, 629eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
631 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
632630, 631pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
6334anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
634633ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
635 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
636634, 635syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
637632, 636mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
638606, 611, 637syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝑦)
639 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
640639ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
641446adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
642376notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
643642biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
644643adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
645 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
646644, 645sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
647641, 646mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
648 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
649647, 648sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
650 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
651649, 650sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦))
652640, 651mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
653468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
654 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
655653, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
656652, 655mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
657607, 656sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
658262ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
659658, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
660610, 638, 657, 659mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
661608, 609, 660, 422syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
662 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
663661, 662eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
664663, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
665 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐴))
66627ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
667 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
668667anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
669 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
670665, 669eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
671668, 670imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝐴 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))))
672671, 137vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
6734, 666, 672sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))
674665, 673sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
675674ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
676 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝜑)
677614ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
678448ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → -∞ < 𝑦)
679 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
680676, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
681445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68223ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
683639ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
684 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
685442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
686682, 685, 6813jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
687 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
688687notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
689688biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
690 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))) ↔ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
691689, 690mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
692684, 686, 691syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
693 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
694692, 693sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
695 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦))
696694, 695mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
697683, 696mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
698681, 682, 697xrnltled 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝐴)
699698adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦𝐴)
700 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 = 𝐴𝑦𝐴)
701700necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑦 = 𝐴𝐴𝑦)
702701adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴𝑦)
703679, 680, 699, 702leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 < 𝐴)
704678, 703jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
705677, 704, 618sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
706676, 705, 625syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
707675, 706pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
708707eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
709708ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
710 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
711709, 710eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
712 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
713711, 712condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
714606, 611, 713syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
715664, 714elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
716715adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
717 pm5.6 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ↔ ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))))
718716, 717mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))))
719718orcomd 872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
720 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
721719, 720sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
7227213adantll2 45046 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
723 simp1ll 1237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
724723ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
725 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
726 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
727504ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
728 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ
729728olci 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ)
730 inss 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
731729, 730ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ
732731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
733 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
734733a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ)
735 unima 6984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
736727, 732, 734, 735syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
737 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
738731sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
739738ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
740737, 739, 446syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
741 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝐵 < 𝑦)
742738ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
743742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 < +∞)
744741, 743jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
745744adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
746740, 745, 376sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
747737, 746, 398syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
748747adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
749 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
750748, 749eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
751750adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
752 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
753 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
754 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
755 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
756738adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
757756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
759 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
760687biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
761760simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝐴 < 𝑦)
762759, 761syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
763762adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 < 𝑦)
764758, 756, 763ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴𝑦)
765764adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐴𝑦)
766 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
767755, 757, 468syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
768767, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
769766, 768mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝐵)
770262ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
771770, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
772757, 765, 769, 771mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
773755, 772, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
774752, 753, 754, 773syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
775 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
776775ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝑤)
777776, 772jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
778777adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
779778, 149sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
780195ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
781779, 780eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
78217ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
783782, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
784781, 783mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
785784simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
786785adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
787774, 786eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
788751, 787pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
789788ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
790504fndmd 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐺 = ℝ)
791731, 790sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺)
792166, 791jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
793792ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
794 funimass4 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
795793, 794syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
796789, 795mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
797338adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
798796, 797unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
799736, 798eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
800724, 725, 726, 799syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
801 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
802 imaeq2 6074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
803802sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢))
804801, 803anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)))
805804rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
806605, 722, 800, 805syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
807 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
808 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
809808, 1eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
810 inopn 22905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
81179, 809, 810mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
812807, 811syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
813 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
814637adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
815 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
816815, 404, 656syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
817816adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
818 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
819818, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
820819, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
821813, 814, 817, 820mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
822821adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
823818, 821, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
824823adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
825 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
826824, 825eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
827 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
828827, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
829828, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
830822, 826, 829mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
831 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
832830, 831eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
833832, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝑤)
834 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
835827, 834, 822jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
836 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
837826, 836jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
838 nelneq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
839669necon3bi 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴) → 𝑦𝐴)
840837, 838, 8393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐴)
841 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
842826, 841jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢))
843 nelneq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
844 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
845844necon3bi 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵) → 𝑦𝐵)
846842, 843, 8453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
847613ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
848441ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
849444ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
850847, 848, 8493jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
851 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
8524ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
853 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
854262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
855854, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
856135, 855mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
857856simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
858857adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
859852, 853, 8583jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
860859adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
861 leltne 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
862860, 861syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
863851, 862mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 < 𝑦)
864863adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
865 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
866865biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
867866adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵𝑦)
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
869856simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
870869adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
871853, 868, 8703jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
872871adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
873 leltne 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
874872, 873syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
875867, 874mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
876875adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
877864, 876jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
878 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
879850, 877, 878sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
880835, 840, 846, 879syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
881833, 880elind 4200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
8828813adantll2 45046 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
883165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
884 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
885883, 884sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
886 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = 𝑡)
887 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝜑)
888 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
889 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
890888, 889sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
891890sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8928913ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
893887, 892, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
894 sslin 4243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
895889, 894ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))
896895sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
897896adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
898195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
899897, 898eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
900899adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
90117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
902901, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
903900, 902mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
904903simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
9059043adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
906893, 905eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
907886, 906eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑡𝑢)
9089073exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
909908adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
910909rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢))
911885, 910mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → 𝑡𝑢)
912911ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
913 dfss3 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
914912, 913sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
915914ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
9169153adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
917916ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
918 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
919 imaeq2 6074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
920919sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢))
921918, 920anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)))
922921rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
923812, 882, 917, 922syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
924806, 923pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
925596, 924pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
92693, 925syld3an1 1412 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
927926rexlimdv3a 3159 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
92888, 927mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
929928ex 412 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → ((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
930929ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
9313a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
932 resttopon 23169 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
93313, 71, 932syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
934933adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
935 iscnp 23245 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))))
936931, 934, 466, 935syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))))
93766, 930, 936mpbir2and 713 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))
938937ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))
939 cncnp 23288 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹)) → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))))
9403, 933, 939sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))))
94165, 938, 940mpbir2and 713 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)))
942 fnssres 6691 . . . 4 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
943504, 6, 942syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
944 fvres 6925 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
945944adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
946945, 137eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹𝑦))
947943, 17, 946eqfnfvd 7054 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹)
948941, 947jca 511 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  45990
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