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Theorem icccncfext 41038
Description: A continuous function on a closed interval can be extended to a continuous function on the whole real line. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icccncfext.1 Ⅎ𝑥𝐹
icccncfext.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccncfext.3 𝑌 = ∪ 𝐾
icccncfext.4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
icccncfext.5 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccncfext.6 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccncfext.7 (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccncfext.8 (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
icccncfext.9 (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
icccncfext (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑌(𝑥)
Proof of Theorem icccncfext
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccncfext.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 22979 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2855 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 icccncfext.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5 icccncfext.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 40649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 resttopon 21377 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
83, 6, 7sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
9 icccncfext.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
10 icccncfext.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = ∪ 𝐾
119, 10jctir 516 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = ∪ 𝐾))
12 istopon 21128 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = ∪ 𝐾))
1311, 12sylibr 226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
14 icccncfext.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
15 cnf2 21465 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
168, 13, 14, 15syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
1716ffnd 6294 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
18 dffn3 6304 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
1917, 18sylib 210 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
2019ffvelrnda 6625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
21 fnfun 6235 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → Fun 𝐹)
2217, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
234rexrd 10428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
245rexrd 10428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 icccncfext.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
26 lbicc2 12606 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28 fndm 6237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
2917, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
3029eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
3127, 30eleqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
32 fvelrn 6618 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
3322, 31, 32syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
34 ubicc2 12607 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3523, 24, 25, 34syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3635, 30eleqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
37 fvelrn 6618 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐵) ∈ ran 𝐹)
3822, 36, 37syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ran 𝐹)
3933, 38ifcld 4352 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4039adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4120, 40ifclda 4341 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ ran 𝐹)
4241adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ ran 𝐹)
43 icccncfext.4 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
44 nfv 1957 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)
45 nfcv 2934 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥)
46 nfcv 2934 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))
4744, 45, 46nfif 4336 . . . . . 6 Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
48 nfv 1957 . . . . . . 7 Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)
49 icccncfext.1 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑥𝐹
50 nfcv 2934 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑥𝑦
5149, 50nffv 6458 . . . . . . 7 Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
52 nfv 1957 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑥 𝑦 < 𝐴
53 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑥𝐴
5449, 53nffv 6458 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐴)
55 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑥𝐵
5649, 55nffv 6458 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐵)
5752, 54, 56nfif 4336 . . . . . . 7 Ⅎ𝑥if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))
5848, 51, 57nfif 4336 . . . . . 6 Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
59 eleq1 2847 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
60 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
61 breq1 4891 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑦 < 𝐴))
6261ifbid 4329 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
6359, 60, 62ifbieq12d 4334 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
6447, 58, 63cbvmpt 4986 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
6543, 64eqtri 2802 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
6642, 65fmptd 6650 . . 3 (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
6766adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
68 simplll 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → 𝜑)
69 simplr 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹))
7068, 69jca 507 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)))
71 ssidd 3843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7216frnd 6300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
73 cnrest2 21502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
7413, 71, 72, 73syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
7514, 74mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))
7675anim1i 608 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)))
77 cnima 21481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7870, 76, 773syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)))
79 retop 22977 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
801, 79eqeltri 2855 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
82 reex 10365 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8483, 6ssexd 5044 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ∈ V)
8581, 84jca 507 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
8668, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
87 elrest 16478 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐽 (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐽 (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8978, 88mpbid 224 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 𝐽 (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
90683ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
91 simpllr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
92913ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
93 simp1r 1212 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
9490, 92, 93jca31 510 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾 ↾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
95 simpll2 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
96 iooretop 22981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
9796, 1eleqtrri 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽
98 iooretop 22981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9998, 1eleqtrri 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽
100 unopn 21119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
10180, 97, 99, 100mp3an 1534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽
102 unopn 21119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10380, 101, 102mp3an13 1525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10495, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
105 simpl1l 1250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
106105adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
107 simpl1r 1252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
108107adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
109 simpll3 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
110 difreicc 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
1114, 5, 110syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
112111eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) = (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
113112eleq2d 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
114113notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
115114biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
116 eldif 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
117115, 116sylnib 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
118 imnan 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
119117, 118sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
120119imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
121120notnotrd 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
122121an32s 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123122adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
124 simplll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝜑)
1256sselda 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12616adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
127126ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
12816, 27ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑌)
129128ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑌)
13016, 35ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
131130ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
132129, 131ifclda 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑌)
133127, 132ifclda 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
13465fvmpt2 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
135125, 133, 134syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
136 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
137136iftrued 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝑦))
138135, 137eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
139138eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
140124, 123, 139syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
141 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
142140, 141eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
143124, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
144 elpreima 6602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
146123, 142, 145mpbir2and 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
147146adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
148 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
149147, 148eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
150 elin 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
151149, 150sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
152151simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝑤)
153152ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑤))
154153orrd 852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ 𝑤))
155154orcomd 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∨ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
156 elun 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∨ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
157155, 156sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
158106, 108, 109, 157syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
159 imaundi 5801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) = ((𝐺 “ 𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
160106simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
161 toponss 21143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1623, 95, 161sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
163160, 162, 109jca31 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
164 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
165 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
16643funmpt2 6176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun 𝐺
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
168167ad5antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → Fun 𝐺)
169 fvelima 6510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
170168, 169sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
171 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
172171biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
1731723ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
174 simp1ll 1274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢))
175 simp1lr 1275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
176 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑤)
177 simp-5l 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ))
178 simp-5r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
179 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
180177, 178, 179jca31 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤))
181 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
182181anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
183 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
184 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
185183, 184eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧)))
186182, 185imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))))
187186, 138chvarv 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
188187ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
189188adantl3r 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
190 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
191 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
192 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
193 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
194192, 193elind 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
195 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (◡𝐹 “ 𝑢))
196195biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (◡𝐹 “ 𝑢))
197196ad3antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (◡𝐹 “ 𝑢))
198194, 197eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
199198adantl3r 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
200 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢)) → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
20117ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
202 elpreima 6602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)))
204200, 203mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢))
205204simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
206190, 191, 199, 205syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
207189, 206eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
208180, 207sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
209 simp-5l 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
210 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
211209, 210jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢))
212 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
213 simp-5r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
214 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
215213, 214sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
216211, 212, 215jca31 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
21765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))))
218 breq1 4891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 < 𝐴 ↔ 𝑧 < 𝐴))
219218ifbid 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
220181, 184, 219ifbieq12d 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
221220adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
222 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
223 iffalse 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
224223adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
225 simp-5r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
226 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
227225, 226ifclda 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑢)
228224, 227eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑢)
229217, 221, 222, 228fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
230229, 224eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
231230, 227eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
232216, 231sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
233232adantl4r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
234208, 233pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
235174, 175, 176, 234syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
236173, 235eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑢)
237236rexlimdv3a 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → (∃𝑧 ∈ 𝑤 (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑢))
238170, 237mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤)) → 𝑦 ∈ 𝑢)
239238ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
240239alrimiv 1970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
241163, 164, 165, 240syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
242 dfss2 3809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺 “ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑢))
243241, 242sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ 𝑤) ⊆ 𝑢)
244 imaundi 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)))
245166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → Fun 𝐺)
246 fvelima 6510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
247245, 246sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
248 simp1l 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
249 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
250 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
25165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))))
252220adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
253 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
254253adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
255 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
256255biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
257256simprrd 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 < 𝐴)
258257adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 < 𝐴)
259 ltnle 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑧))
260253, 4, 259syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑧))
261258, 260mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑧)
262261intn3an2d 1553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
2634, 5jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
264263adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
265 elicc2 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
266264, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
267262, 266mtbird 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
268267iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
269257iftrued 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐴))
270269adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐴))
271268, 270eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐴))
272128adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑌)
273271, 272eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
274251, 252, 254, 273fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
275274adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
276 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
277271adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐴))
278275, 276, 2773eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
279248, 249, 250, 278syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
280279rexlimdv3a 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → (∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺‘𝑧) = 𝑡 → 𝑡 = (𝐹‘𝐴)))
281247, 280mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
282 velsn 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝑡 = (𝐹‘𝐴))
283281, 282sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐴)})
284283ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐴)}))
285284ssrdv 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹‘𝐴)})
286285adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹‘𝐴)})
287 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
288287snssd 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝑢)
289286, 288sstrd 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
290289adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
291 fvelima 6510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
292167, 291sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺‘𝑧) = 𝑡)
293 simp1l 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
294 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
295 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
29665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))))
297220adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
298 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑧 ∈ ℝ)
299298adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
30016ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
301300adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
3024adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3035adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30425adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
305 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞)))
306305biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞)))
307306simprld 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑧)
308307adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑧)
309302, 303, 299, 304, 308lelttrd 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑧)
310302, 299, 309ltnsymd 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
311310iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
312130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
313311, 312eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑌)
314313adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝑌)
315301, 314ifclda 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
316296, 297, 299, 315fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
317316adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
318 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → (𝐺‘𝑧) = 𝑡)
319303, 299ltnled 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝐵))
320308, 319mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ≤ 𝐵)
321320intn3an3d 1554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
322263adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
323322, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
324321, 323mtbird 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
325324iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
326325, 311eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐵))
327326adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐵))
328317, 318, 3273eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
329293, 294, 295, 328syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
330329rexlimdv3a 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → (∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺‘𝑧) = 𝑡 → 𝑡 = (𝐹‘𝐵)))
331292, 330mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
332 velsn 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐵)} ↔ 𝑡 = (𝐹‘𝐵))
333331, 332sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐵)})
334333ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) → 𝑡 ∈ {(𝐹‘𝐵)}))
335334ssrdv 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹‘𝐵)})
336335adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹‘𝐵)})
337 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
338337snssd 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → {(𝐹‘𝐵)} ⊆ 𝑢)
339336, 338sstrd 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
340339adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
341290, 340unssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
342244, 341syl5eqss 3868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
343160, 164, 165, 342syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
344243, 343unssd 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ 𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
345159, 344syl5eqss 3868 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
346 eleq2 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
347 imaeq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺 “ 𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
348347sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢))
349346, 348anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)))
350349rspcev 3511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
351104, 158, 345, 350syl12anc 827 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
35280a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ 𝐽 → 𝐽 ∈ Top)
353 iooretop 22981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
354353, 1eleqtrri 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽
355 inopn 21115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35680, 354, 355mp3an13 1525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35797a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ 𝐽 → (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽)
358 unopn 21119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
359352, 356, 357, 358syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ 𝐽 → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
3603593ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
361360ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
362 simpll1 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
363 simpll3 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
364 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
365 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
366263ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
367 eqimss 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
368110, 367syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
369 difcom 4277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
370368, 369sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
371366, 370syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
372371adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
373 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
374 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
375 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
376375adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
377 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
378377biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
379378simprld 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑦)
380379adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑦)
3815adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
382381, 376ltnled 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝐵))
383380, 382mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ≤ 𝐵)
384383intn3an3d 1554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
385263adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
386 elicc2 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
387385, 386syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
388384, 387mtbird 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
389388iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)))
3904adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39125adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
392390, 381, 376, 391, 380lelttrd 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
393390, 376, 392ltnsymd 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
394393iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
395389, 394eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) = (𝐹‘𝐵))
396130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑌)
397395, 396eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))) ∈ 𝑌)
398376, 397, 134syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹‘𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘𝐵))))
399398, 395eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
400399eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
401400adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
402 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
403401, 402eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
404403adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
405404stoic1a 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
406405adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
407 ioran 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
408374, 406, 407sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
409 elun 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
410408, 409sylnibr 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
411373, 410eldifd 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
412372, 411sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
413412adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
414 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
415 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
416 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
417 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
418139adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
419 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
420418, 419eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
42117ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
422421, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
423417, 420, 422mpbir2and 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
424414, 415, 416, 423syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
425 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
426424, 425eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
427 elinel1 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
428426, 427syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
429365, 413, 428syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
430 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
431 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
432 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
433 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
434 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43535adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
436434, 435eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
437433, 436, 138syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
438434fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
439437, 438eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
440439ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
441 simplll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
44224adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
443 pnfxr 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 +∞ ∈ ℝ*
444443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
445 rexr 10424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
446445adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
447442, 444, 4463jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
448447ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
449 mnflt 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
450449ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ < 𝑦)
451 mnfxr 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 -∞ ∈ ℝ*
452451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
453452, 442, 4463jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
454 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
455454notbii 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ¬ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
456455biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
457456adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
458 nan 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
459457, 458mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
460453, 459mpidan 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
461 nan 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵))
462460, 461mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
463450, 462mpdan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
464463anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵))
465 pm4.56 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵))
466464, 465sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵))
467 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
4685adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
469467, 468jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
470469ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
471 leloe 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵)))
472470, 471syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵 ∨ 𝑦 = 𝐵)))
473466, 472mtbird 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 ≤ 𝐵)
4745anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
475474ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
476 ltnle 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝐵))
477475, 476syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝐵))
478473, 477mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑦)
479 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
480479ltpnfd 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 < +∞)
481478, 480jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
482448, 481, 377sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
483441, 482, 399syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
484440, 483pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
485484eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
486485adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝐵) = (𝐺‘𝑦))
487 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
488486, 487eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
489488stoic1a 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
490489notnotrd 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
491430, 431, 432, 490syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
492429, 491elind 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
493492ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
494493orrd 852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
495494orcomd 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
496 elun 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
497495, 496sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
498362, 363, 364, 497syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
499105simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝜑)
500499adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
501 simpll2 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
5023, 501, 161sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
503500, 502jca 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ))
504 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
50566ffnd 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
506505ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
507 ssinss1 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ ℝ → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
508507ad3antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
509 ioossre 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
510509a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ)
511 unima 40280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ ∧ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
512506, 508, 510, 511syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
513166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
514 fvelima 6510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺‘𝑧) = 𝑦)
515513, 514sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺‘𝑧) = 𝑦)
5161723ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺‘𝑧))
517 simp-5l 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
518 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
519 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
520274, 268, 2703eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
5215203adant2 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
522 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
523521, 522eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
524517, 518, 519, 523syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
525 simplll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
526 simp-5l 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
527 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
528 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
529 elinel1 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
5305293ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
531 elinel2 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
532 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
533531, 532syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5345333ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
535233ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
536534rexrd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
537 mnflt 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
538534, 537syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ < 𝑧)
539451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
540539, 535, 5363jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*))
541 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
542541, 255sylnib 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
543 nan 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)))
544542, 543mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴))
545540, 544mpdan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴))
546 nan 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐴)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴))
547545, 546mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
548538, 547mpdan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
549535, 536, 548xrnltled 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝑧)
550 simp1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
5515313ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
552532adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5535adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
554 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
555554biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
556555simprrd 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
557556adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
558552, 553, 557ltled 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
559550, 551, 558syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
5602633ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
561560, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
562534, 549, 559, 561mpbir3and 1399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
563530, 562elind 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
564526, 527, 528, 563syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
565 elinel2 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
566565anim2i 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
567566adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
568567, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
56917ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
570 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
571196adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (◡𝐹 “ 𝑢))
572570, 571eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
573572adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
574202simplbda 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
575569, 573, 574syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑢)
576568, 575eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
577576adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
578525, 564, 577syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
579524, 578pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
5805793adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑢)
581516, 580eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑢)
5825813adant1r 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑢)
583582rexlimdv3a 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑢))
584515, 583mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → 𝑦 ∈ 𝑢)
585584ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝑢))
586585ssrdv 3827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
587289ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
588586, 587unssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
589512, 588eqsstrd 3858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
590503, 363, 504, 589syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
591 eleq2 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
592 imaeq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺 “ 𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
593592sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢))
594591, 593anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)))
595594rspcev 3511 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
596361, 498, 590, 595syl12anc 827 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
597351, 596pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
598 simpll2 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
599 iooretop 22981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
600599, 1eleqtrri 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽
601 inopn 21115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60280, 600, 601mp3an13 1525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽)
604 unopn 21119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
605352, 602, 603, 604syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ 𝐽 → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
606598, 605syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
607 simplll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
608607simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
609608simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝜑)
610 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
611 simp-5r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
612 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
613 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝜑)
61423adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
615452, 614, 4463jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
616615adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
617449anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
618617adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
619 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
620616, 618, 619sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
621 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
622621anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))))
623 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑦))
624623eqeq1d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴)))
625622, 624imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐹‘𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))))
626625, 520chvarv 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
627613, 620, 626syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
628627eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
629628ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
630 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
631629, 630eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
632 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
633631, 632pm2.65da 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
6344anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
635634ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
636 lenlt 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
637635, 636syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
638633, 637mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐴 ≤ 𝑦)
639607, 612, 638syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
640 ltpnf 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
641640ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
642447adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
643377notbii 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
644643biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
645644adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
646 imnan 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
647645, 646sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
648642, 647mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
649 ancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
650648, 649sylnib 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
651 imnan 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
652650, 651sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦))
653641, 652mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
654469adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
655 lenlt 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
656654, 655syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
657653, 656mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
658608, 657sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
659263ad5antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
660659, 386syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
661611, 639, 658, 660mpbir3and 1399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
662609, 610, 661, 423syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
663 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
664662, 663eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
665664, 427syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
666 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
66727ancli 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
668 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
669668anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
670 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
671666, 670eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)))
672669, 671imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝐴 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))))
673672, 138vtoclg 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)))
6744, 667, 673sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
675666, 674sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
676675ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
677 simplll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝜑)
678615ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
679449ad3antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → -∞ < 𝑦)
680 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
681677, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
682446adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68323ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
684640ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
685 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
686443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
687683, 686, 6823jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
688 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
689688notbii 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
690689biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
691 nan 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))) ↔ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
692690, 691mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
693685, 687, 692syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
694 ancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
695693, 694sylnib 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
696 nan 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦))
697695, 696mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
698684, 697mpdan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
699682, 683, 698xrnltled 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ≤ 𝐴)
700699adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝐴)
701 neqne 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (¬ 𝑦 = 𝐴 → 𝑦 ≠ 𝐴)
702701necomd 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (¬ 𝑦 = 𝐴 → 𝐴 ≠ 𝑦)
703702adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑦)
704680, 681, 700, 703leneltd 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 < 𝐴)
705679, 704jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
706678, 705, 619sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
707677, 706, 626syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
708676, 707pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
709708eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
710709ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
711 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
712710, 711eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
713 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
714712, 713condan 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
715607, 612, 714syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
716665, 715elind 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
717716adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
718 pm5.6 987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))))
719717, 718mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))))
720719orcomd 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
721 elun 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
722720, 721sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
7237223adantll2 40145 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
724 simp1ll 1274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
725724ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
726 simpll3 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
727 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
728505ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
729 ioossre 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ
730729olci 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ)
731 inss 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
732730, 731ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ
733732a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
734 ioossre 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
735734a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ)
736 unima 40280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
737728, 733, 735, 736syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
738 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
739732sseli 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
740739ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
741738, 740, 447syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
742 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝐵 < 𝑦)
743739ltpnfd 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
744743adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 < +∞)
745742, 744jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
746745adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
747741, 746, 377sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
748738, 747, 399syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
749748adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
750 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
751749, 750eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
752751adantl3r 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
753 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
754 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
755 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
756 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
757739adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
758757adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7594adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
760 elinel2 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
761688biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
762761simprld 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝐴 < 𝑦)
763760, 762syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
764763adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 < 𝑦)
765759, 757, 764ltled 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
766765adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐴 ≤ 𝑦)
767 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
768756, 758, 469syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
769768, 655syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
770767, 769mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝐵)
771263ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
772771, 386syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
773758, 766, 770, 772mpbir3and 1399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
774756, 773, 138syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
775753, 754, 755, 774syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
776 elinel1 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑤)
777776ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑤)
778777, 773jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
779778adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
780779, 150sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
781196ad3antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (◡𝐹 “ 𝑢))
782780, 781eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
78317ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
784783, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
785782, 784mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢))
786785simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
787786adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
788775, 787eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
789752, 788pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
790789ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
791 fndm 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 Fn ℝ → dom 𝐺 = ℝ)
792505, 791syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐺 = ℝ)
793732, 792syl5sseqr 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺)
794167, 793jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
795794ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
796 funimass4 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
797795, 796syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢))
798790, 797mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
799339adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
800798, 799unssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
801737, 800eqsstrd 3858 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
802725, 726, 727, 801syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
803 eleq2 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
804 imaeq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺 “ 𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
805804sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢))
806803, 805anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)))
807806rspcev 3511 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
808606, 723, 802, 807syl12anc 827 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
809 simpll2 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝐽)
810 iooretop 22981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
811810, 1eleqtrri 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
812 inopn 21115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
81380, 811, 812mp3an13 1525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ 𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
814809, 813syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
815 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
816638adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐴 ≤ 𝑦)
817 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
818817, 405, 657syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ 𝐵)
819818adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≤ 𝐵)
820 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
821820, 263syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
822821, 386syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
823815, 816, 819, 822mpbir3and 1399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
824823adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
825820, 823, 138syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
826825adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
827 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
828826, 827eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
829 simp-5l 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
830829, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
831830, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
832824, 828, 831mpbir2and 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
833 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
834832, 833eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
835834, 427syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ 𝑤)
836 simp-5r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
837829, 836, 824jca31 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
838 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢)
839828, 838jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢))
840 nelneq 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
841670necon3bi 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴) → 𝑦 ≠ 𝐴)
842839, 840, 8413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≠ 𝐴)
843 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢)
844828, 843jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢))
845 nelneq 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
846 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
847846necon3bi 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵) → 𝑦 ≠ 𝐵)
848844, 845, 8473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ≠ 𝐵)
849614ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
850442ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
851445ad4antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
852849, 850, 8513jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
853 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝐴)
8544ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
855 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
856263adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
857856, 386syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
858136, 857mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
859858simp2d 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
860859adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
861854, 855, 8603jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦))
862861adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦))
863 leltne 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
864862, 863syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → (𝐴 < 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
865853, 864mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝐴 < 𝑦)
866865adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
867 necom 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑦)
868867biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ≠ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑦)
869868adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑦)
8705ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
871858simp3d 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
872871adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
873855, 870, 8723jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
874873adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
875 leltne 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝑦 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑦))
876874, 875syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝑦 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑦))
877869, 876mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
878877adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
879866, 878jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
880 elioo3g 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
881852, 879, 880sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
882837, 842, 848, 881syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
883835, 882elind 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
8848833adantll2 40145 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
885166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
886 fvelima 6510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺 ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺‘𝑦) = 𝑡)
887885, 886sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺‘𝑦) = 𝑡)
888 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐺‘𝑦) = 𝑡)
889 simp1l 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → 𝜑)
890 inss2 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
891 ioossicc 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
892890, 891sstri 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
893892sseli 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8948933ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
895889, 894, 138syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐺‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
896 sslin 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
897891, 896ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))
898897sseli 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
899898adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
900196adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (◡𝐹 “ 𝑢))
901899, 900eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
902901adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
90317ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
904903, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)))
905902, 904mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢))
906905simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
9079063adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑢)
908895, 907eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢)
909888, 908eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺‘𝑦) = 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑢)
9109093exp 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑦) = 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝑢)))
911910adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑦) = 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝑢)))
912911rexlimdv 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺‘𝑦) = 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝑢))
913887, 912mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → 𝑡 ∈ 𝑢)
914913ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡 ∈ 𝑢)
915 dfss3 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡 ∈ 𝑢)
916914, 915sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
917916ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
9189173adant2 1122 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤 ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ 𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]