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Theorem icccncfext 45842
Description: A continuous function on a closed interval can be extended to a continuous function on the whole real line. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icccncfext.1 𝑥𝐹
icccncfext.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccncfext.3 𝑌 = 𝐾
icccncfext.4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
icccncfext.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccncfext.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccncfext.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccncfext.8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
icccncfext.9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
icccncfext (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem icccncfext
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccncfext.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 24799 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 icccncfext.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccncfext.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13470 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 resttopon 23184 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
83, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
9 icccncfext.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 icccncfext.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = 𝐾
119, 10jctir 520 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
12 istopon 22933 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
1311, 12sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
14 icccncfext.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
15 cnf2 23272 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
168, 13, 14, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
1716ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
18 dffn3 6748 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
1917, 18sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
2019ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
21 fnfun 6668 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → Fun 𝐹)
2217, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
234rexrd 11308 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
245rexrd 11308 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
25 icccncfext.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
26 lbicc2 13500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2817fndmd 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
2928eqcomd 2740 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
3027, 29eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
31 fvelrn 7095 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
3222, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
33 ubicc2 13501 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3423, 24, 25, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3534, 29eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝐹)
36 fvelrn 7095 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3722, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3832, 37ifcld 4576 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4020, 39ifclda 4565 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
4140adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
42 icccncfext.4 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
43 nfv 1911 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)
44 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑦(𝐹𝑥)
45 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑦if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
4643, 44, 45nfif 4560 . . . . . 6 𝑦if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
47 nfv 1911 . . . . . . 7 𝑥 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)
48 icccncfext.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
49 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
5048, 49nffv 6916 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
51 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 < 𝐴
52 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴
5348, 52nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐴)
54 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑥𝐵
5548, 54nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐵)
5651, 53, 55nfif 4560 . . . . . . 7 𝑥if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
5747, 50, 56nfif 4560 . . . . . 6 𝑥if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
58 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
59 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
60 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝐴𝑦 < 𝐴))
6160ifbid 4553 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
6258, 59, 61ifbieq12d 4558 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6346, 57, 62cbvmpt 5258 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6442, 63eqtri 2762 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6541, 64fmptd 7133 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
6665adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
67 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝜑)
68 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹))
6967, 68jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
70 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7116frnd 6744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹𝑌)
72 cnrest2 23309 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7313, 70, 71, 72syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7414, 73mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)))
7574anim1i 615 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
76 cnima 23288 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
7769, 75, 763syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
78 retop 24797 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
791, 78eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
81 reex 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8382, 6ssexd 5329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ∈ V)
8480, 83jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
8567, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
86 elrest 17473 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8877, 87mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
89673ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
90 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
91903ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
92 simp1r 1197 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
9389, 91, 92jca31 514 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
94 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
95 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
9695, 1eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽
97 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9897, 1eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽
99 unopn 22924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
10079, 96, 98, 99mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽
101 unopn 22924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10279, 100, 101mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
104 simpl1l 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
106 simpl1r 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
108 simpll3 1213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
109 difreicc 13520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
1104, 5, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
111110eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) = (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
112111eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
113112notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
114113biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
115 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
116114, 115sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
117 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
118116, 117sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
119118imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120119notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
121120an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
122121adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝜑)
1246sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12516adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
126125ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
12716, 27ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
128127ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
12916, 34ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
130129ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
131128, 130ifclda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
132126, 131ifclda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
13364fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
134124, 132, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
135 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
136135iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝑦))
137134, 136eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
138137eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
139123, 122, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
140 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
141139, 140eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
142123, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
143 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
145122, 141, 144mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
146145adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
147 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
148146, 147eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
149 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
150148, 149sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
151150simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦𝑤)
152151ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤))
153152orrd 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∨ 𝑦𝑤))
154153orcomd 871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
155 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
156154, 155sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
157105, 107, 108, 156syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
158 imaundi 6171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) = ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
159105simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
160 toponss 22948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑤𝐽) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1613, 94, 160sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
162159, 161, 108jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
163 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
164 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
16542funmpt2 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun 𝐺
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
167166ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → Fun 𝐺)
168 fvelima 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
169167, 168sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
170 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
171170biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
1721713ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
173 simp1ll 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
174 simp1lr 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
175 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
176 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
177 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
178 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
179176, 177, 178jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤))
180 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
181180anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
182 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
183 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
184182, 183eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧)))
185181, 184imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝑧 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))))
186185, 137chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
187186ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
188187adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
189 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
190 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
191 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
192 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
193191, 192elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
194 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
195194biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
196195ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
197193, 196eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
198197adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
199 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
20017ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
201 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
203199, 202mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢))
204203simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
205189, 190, 198, 204syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
206188, 205eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
207179, 206sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
208 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
209 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
210208, 209jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
211 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
212 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
213 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
214212, 213sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
215210, 211, 214jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
21664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
217 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 < 𝐴𝑧 < 𝐴))
218217ifbid 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
219180, 183, 218ifbieq12d 4558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
220219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
221 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
222 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
223222adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
224 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
225 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
226224, 225ifclda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑢)
227223, 226eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑢)
228216, 220, 221, 227fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
229228, 223eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
230229, 226eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
231215, 230sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
232231adantl4r 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
233207, 232pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
234173, 174, 175, 233syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
235172, 234eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
236235rexlimdv3a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → (∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
237169, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → 𝑦𝑢)
238237ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
239238alrimiv 1924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
240162, 163, 164, 239syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
241 df-ss 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
242240, 241sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑤) ⊆ 𝑢)
243 imaundi 6171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)))
244165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → Fun 𝐺)
245 fvelima 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
246244, 245sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
247 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
248 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
249 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
251219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
252 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
253252adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
254 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
255254biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
256255simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 < 𝐴)
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 < 𝐴)
258 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
259252, 4, 258syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
260257, 259mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝐴𝑧)
261260intn3an2d 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
2624, 5jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
263262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
264 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
266261, 265mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
267266iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
268256iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
269268adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
270267, 269eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
271127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
272270, 271eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
273250, 251, 253, 272fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
274273adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
275 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
276270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
277274, 275, 2763eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
278247, 248, 249, 277syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
279278rexlimdv3a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → (∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐴)))
280246, 279mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
281 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐴))
282280, 281sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)})
283282ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)}))
284283ssrdv 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
285284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
286 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
287286snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑢)
288285, 287sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
289288adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
290 fvelima 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
291166, 290sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
292 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
293 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
294 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
29564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
296219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
297 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑧 ∈ ℝ)
298297adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29916ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
300299adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
3014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30325adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
304 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
305304biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
306305simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑧)
307306adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑧)
308301, 302, 298, 303, 307lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑧)
309301, 298, 308ltnsymd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
310309iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
311129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
312310, 311eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
313312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
314300, 313ifclda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
315295, 296, 298, 314fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
316315adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
317 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
318302, 298ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝐵))
319307, 318mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧𝐵)
320319intn3an3d 1480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
321262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
322321, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
323320, 322mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
324323iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
325324, 310eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
326325adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
327316, 317, 3263eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
328292, 293, 294, 327syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
329328rexlimdv3a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → (∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐵)))
330291, 329mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
331 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐵))
332330, 331sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)})
333332ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)}))
334333ssrdv 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
335334adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
336 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
337336snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐵)} ⊆ 𝑢)
338335, 337sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
339338adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
340289, 339unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
341243, 340eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
342159, 163, 164, 341syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
343242, 342unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
344158, 343eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
345 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
346 imaeq2 6075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
347346sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢))
348345, 347anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)))
349348rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
350103, 157, 344, 349syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
35179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽𝐽 ∈ Top)
352 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
353352, 1eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽
354 inopn 22920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35579, 353, 354mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽)
357 unopn 22924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
358351, 355, 356, 357syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
3593583ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
360359ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
361 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
362 simpll3 1213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
363 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
364 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
365262ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
366 eqimss 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
367109, 366syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
368 difcom 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
369367, 368sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
370365, 369syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
371370adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
372 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
373 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
374 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
375374adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
376 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
377376biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
378377simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑦)
379378adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑦)
3805adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
381380, 375ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
382379, 381mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦𝐵)
383382intn3an3d 1480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
384262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
385 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
386384, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
387383, 386mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
388387iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
3894adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
391389, 380, 375, 390, 379lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
392389, 375, 391ltnsymd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
393392iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
394388, 393eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
395129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
396394, 395eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
397375, 396, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
398397, 394eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
399398eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
400399adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
401 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
402400, 401eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
403402adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
404403stoic1a 1768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
405404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
406 ioran 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
407373, 405, 406sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
408 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
409407, 408sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
410372, 409eldifd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
411371, 410sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
412411adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
413 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
414 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
415 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
416 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
417138adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
418 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
419417, 418eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
42017ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
421420, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
422416, 419, 421mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
423413, 414, 415, 422syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
424 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
425423, 424eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
426 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
427425, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
428364, 412, 427syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦𝑤)
429 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
430 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
431 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
432 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
433 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43434adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
435433, 434eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
436432, 435, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
437433fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
438436, 437eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
439438ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
440 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
44124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
442 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 +∞ ∈ ℝ*
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
444 rexr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
445444adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
446441, 443, 4453jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
447446ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
448 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
449448ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ < 𝑦)
450 mnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 -∞ ∈ ℝ*
451450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
452451, 441, 4453jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
453 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
454453notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
455454biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
456455adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
457 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
458456, 457mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
459452, 458mpidan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
460 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵))
461459, 460mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
462449, 461mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
463462anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵))
464 pm4.56 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
465463, 464sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
466 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
4675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
468466, 467jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
469468ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
470 leloe 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
472465, 471mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦𝐵)
4735anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
474473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
475 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
476474, 475syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
477472, 476mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑦)
478 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
479478ltpnfd 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 < +∞)
480477, 479jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
481447, 480, 376sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
482440, 481, 398syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
483439, 482pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
484483eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
485484adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
486 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
487485, 486eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
488487stoic1a 1768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
489488notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
490429, 430, 431, 489syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
491428, 490elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
492491ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
493492orrd 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
494493orcomd 871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
495 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
496494, 495sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
497361, 362, 363, 496syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
498104simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝜑)
499498adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
500 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
5013, 500, 160sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
502499, 501jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
503 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
50465ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
505504ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
506 ssinss1 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ ℝ → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
507506ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
508 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
509508a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ)
510 unima 6983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ ∧ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
511505, 507, 509, 510syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
512165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
513 fvelima 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
514512, 513sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
5151713ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
516 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
517 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
518 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
519273, 267, 2693eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
5205193adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
521 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
522520, 521eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
523516, 517, 518, 522syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
524 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
525 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
526 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
527 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
528 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝑤)
5295283ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝑤)
530 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
531 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
532530, 531syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5335323ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
534233ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
535533rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
536 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
537533, 536syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ < 𝑧)
538450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
539538, 534, 5353jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
540 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
541540, 254sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
542 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
543541, 542mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
544539, 543mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
545 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴))
546544, 545mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
547537, 546mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
548534, 535, 547xrnltled 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴𝑧)
549 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
5505303ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
551531adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5525adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
553 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
554553biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
555554simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
556555adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
557551, 552, 556ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝐵)
558549, 550, 557syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝐵)
5592623ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
560559, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
561533, 548, 558, 560mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
562529, 561elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
563525, 526, 527, 562syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
564 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565564anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
566565adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
567566, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
56817ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
569 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
570195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
571569, 570eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
572571adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
573201simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
574568, 572, 573syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
575567, 574eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
576575adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
577524, 563, 576syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
578523, 577pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
5795783adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
580515, 579eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
5815803adant1r 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
582581rexlimdv3a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
583514, 582mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → 𝑦𝑢)
584583ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → 𝑦𝑢))
585584ssrdv 4000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
586288ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
587585, 586unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
588511, 587eqsstrd 4033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
589502, 362, 503, 588syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
590 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
591 imaeq2 6075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
592591sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢))
593590, 592anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)))
594593rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
595360, 497, 589, 594syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
596350, 595pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
597 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
598 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
599598, 1eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽
600 inopn 22920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60179, 599, 600mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽)
603 unopn 22924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
604351, 601, 602, 603syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
605597, 604syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
606 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
607606simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
608607simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝜑)
609 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
610 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
611 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
612 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝜑)
61323adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
614451, 613, 4453jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
615614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
616448anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
617616adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
618 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
619615, 617, 618sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
620 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
621620anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))))
622 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
623622eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝑧) = (𝐹𝐴) ↔ (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴)))
624621, 623imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))))
625624, 519chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
626612, 619, 625syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
627626eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
628627ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
629 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
630628, 629eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
631 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
632630, 631pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
6334anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
634633ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
635 lenlt 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
636634, 635syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
637632, 636mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
638606, 611, 637syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝑦)
639 ltpnf 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
640639ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
641446adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
642376notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
643642biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
644643adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
645 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
646644, 645sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
647641, 646mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
648 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
649647, 648sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
650 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
651649, 650sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦))
652640, 651mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
653468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
654 lenlt 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
655653, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
656652, 655mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
657607, 656sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
658262ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
659658, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
660610, 638, 657, 659mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
661608, 609, 660, 422syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
662 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
663661, 662eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
664663, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
665 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐴))
66627ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
667 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
668667anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
669 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
670665, 669eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
671668, 670imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝐴 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))))
672671, 137vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
6734, 666, 672sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))
674665, 673sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
675674ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
676 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝜑)
677614ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
678448ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → -∞ < 𝑦)
679 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
680676, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
681445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68223ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
683639ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
684 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
685442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
686682, 685, 6813jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
687 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
688687notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
689688biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
690 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))) ↔ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
691689, 690mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
692684, 686, 691syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
693 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
694692, 693sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
695 nan 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦))
696694, 695mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
697683, 696mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
698681, 682, 697xrnltled 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝐴)
699698adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦𝐴)
700 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 = 𝐴𝑦𝐴)
701700necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑦 = 𝐴𝐴𝑦)
702701adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴𝑦)
703679, 680, 699, 702leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 < 𝐴)
704678, 703jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
705677, 704, 618sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
706676, 705, 625syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
707675, 706pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
708707eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
709708ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
710 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
711709, 710eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
712 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
713711, 712condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
714606, 611, 713syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
715664, 714elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
716715adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
717 pm5.6 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ↔ ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))))
718716, 717mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))))
719718orcomd 871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
720 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
721719, 720sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
7227213adantll2 44978 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
723 simp1ll 1235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
724723ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
725 simpll3 1213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
726 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
727504ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
728 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ
729728olci 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ)
730 inss 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
731729, 730ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ
732731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
733 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
734733a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ)
735 unima 6983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
736727, 732, 734, 735syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
737 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
738731sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
739738ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
740737, 739, 446syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
741 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝐵 < 𝑦)
742738ltpnfd 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
743742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 < +∞)
744741, 743jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
745744adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
746740, 745, 376sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
747737, 746, 398syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
748747adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
749 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
750748, 749eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
751750adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
752 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
753 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
754 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
755 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
756738adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
757756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
759 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
760687biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
761760simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝐴 < 𝑦)
762759, 761syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
763762adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 < 𝑦)
764758, 756, 763ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴𝑦)
765764adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐴𝑦)
766 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
767755, 757, 468syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
768767, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
769766, 768mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝐵)
770262ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
771770, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
772757, 765, 769, 771mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
773755, 772, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
774752, 753, 754, 773syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
775 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
776775ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝑤)
777776, 772jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
778777adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
779778, 149sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
780195ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
781779, 780eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
78217ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
783782, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
784781, 783mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
785784simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
786785adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
787774, 786eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
788751, 787pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
789788ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
790504fndmd 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐺 = ℝ)
791731, 790sseqtrrid 4048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺)
792166, 791jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
793792ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
794 funimass4 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
795793, 794syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
796789, 795mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
797338adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
798796, 797unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
799736, 798eqsstrd 4033 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
800724, 725, 726, 799syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
801 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
802 imaeq2 6075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
803802sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢))
804801, 803anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)))
805804rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
806605, 722, 800, 805syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
807 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
808 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
809808, 1eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
810 inopn 22920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
81179, 809, 810mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
812807, 811syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
813 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
814637adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
815 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
816815, 404, 656syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
817816adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
818 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
819818, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
820819, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
821813, 814, 817, 820mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
822821adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
823818, 821, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
824823adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
825 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
826824, 825eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
827 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
828827, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
829828, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
830822, 826, 829mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
831 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
832830, 831eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
833832, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝑤)
834 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
835827, 834, 822jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
836 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
837826, 836jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
838 nelneq 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
839669necon3bi 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴) → 𝑦𝐴)
840837, 838, 8393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐴)
841 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
842826, 841jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢))
843 nelneq 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
844 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
845844necon3bi 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵) → 𝑦𝐵)
846842, 843, 8453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
847613ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
848441ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
849444ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
850847, 848, 8493jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
851 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
8524ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
853 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
854262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
855854, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
856135, 855mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
857856simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
858857adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
859852, 853, 8583jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
860859adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
861 leltne 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
862860, 861syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
863851, 862mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 < 𝑦)
864863adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
865 necom 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
866865biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
867866adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵𝑦)
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
869856simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
870869adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
871853, 868, 8703jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
872871adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
873 leltne 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
874872, 873syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
875867, 874mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
876875adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
877864, 876jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
878 elioo3g 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
879850, 877, 878sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
880835, 840, 846, 879syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
881833, 880elind 4209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
8828813adantll2 44978 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
883165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
884 fvelima 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
885883, 884sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
886 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = 𝑡)
887 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝜑)
888 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
889 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
890888, 889sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
891890sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8928913ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
893887, 892, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
894 sslin 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
895889, 894ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))
896895sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
897896adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
898195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
899897, 898eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
900899adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
90117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
902901, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
903900, 902mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
904903simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
9059043adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
906893, 905eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
907886, 906eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑡𝑢)
9089073exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
909908adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
910909rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢))
911885, 910mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → 𝑡𝑢)
912911ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
913 dfss3 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
914912, 913sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
915914ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
9169153adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
917916ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
918 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
919 imaeq2 6075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
920919sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢))
921918, 920anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)))
922921rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
923812, 882, 917, 922syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
924806, 923pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
925596, 924pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
92693, 925syld3an1 1409 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
927926rexlimdv3a 3156 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
92888, 927mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
929928ex 412 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → ((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
930929ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
9313a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
932 resttopon 23184 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
93313, 71, 932syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
934933adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
935 iscnp 23260 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))))
936931, 934, 466, 935syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))))
93766, 930, 936mpbir2and 713 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))
938937ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))
939 cncnp 23303 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹)) → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))))
9403, 933, 939sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))))
94165, 938, 940mpbir2and 713 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)))
942 fnssres 6691 . . . 4 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
943504, 6, 942syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
944 fvres 6925 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
945944adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
946945, 137eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹𝑦))
947943, 17, 946eqfnfvd 7053 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹)
948941, 947jca 511 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086  wal 1534   = wceq 1536  wcel 2105  wnfc 2887  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   cuni 4911   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  t crest 17466  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   CnP ccnp 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  45930
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