Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icccncfext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccncfext 45266
Description: A continuous function on a closed interval can be extended to a continuous function on the whole real line. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icccncfext.1 𝑥𝐹
icccncfext.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccncfext.3 𝑌 = 𝐾
icccncfext.4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
icccncfext.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccncfext.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccncfext.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccncfext.8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
icccncfext.9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
icccncfext (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem icccncfext
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccncfext.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 24674 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2825 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 icccncfext.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccncfext.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 resttopon 23059 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
83, 6, 7sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
9 icccncfext.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 icccncfext.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = 𝐾
119, 10jctir 520 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
12 istopon 22808 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
1311, 12sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
14 icccncfext.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
15 cnf2 23147 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
168, 13, 14, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
1716ffnd 6718 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
18 dffn3 6730 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
1917, 18sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
2019ffvelcdmda 7089 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
21 fnfun 6649 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → Fun 𝐹)
2217, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
234rexrd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
245rexrd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
25 icccncfext.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
26 lbicc2 13468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2817fndmd 6654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
2928eqcomd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
3027, 29eleqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
31 fvelrn 7081 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
3222, 30, 31syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
33 ubicc2 13469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3423, 24, 25, 33syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3534, 29eleqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝐹)
36 fvelrn 7081 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3722, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3832, 37ifcld 4571 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4020, 39ifclda 4560 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
4140adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
42 icccncfext.4 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
43 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)
44 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑦(𝐹𝑥)
45 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑦if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
4643, 44, 45nfif 4555 . . . . . 6 𝑦if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
47 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑥 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)
48 icccncfext.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
49 nfcv 2899 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
5048, 49nffv 6902 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
51 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 < 𝐴
52 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴
5348, 52nffv 6902 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐴)
54 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 𝑥𝐵
5548, 54nffv 6902 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐵)
5651, 53, 55nfif 4555 . . . . . . 7 𝑥if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
5747, 50, 56nfif 4555 . . . . . 6 𝑥if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
58 eleq1 2817 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
59 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
60 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝐴𝑦 < 𝐴))
6160ifbid 4548 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
6258, 59, 61ifbieq12d 4553 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6346, 57, 62cbvmpt 5254 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6442, 63eqtri 2756 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6541, 64fmptd 7119 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
6665adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
67 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝜑)
68 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹))
6967, 68jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
70 ssidd 4002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7116frnd 6725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹𝑌)
72 cnrest2 23184 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7313, 70, 71, 72syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7414, 73mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)))
7574anim1i 614 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
76 cnima 23163 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
7769, 75, 763syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
78 retop 24672 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
791, 78eqeltri 2825 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
81 reex 11224 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8382, 6ssexd 5319 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ∈ V)
8480, 83jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
8567, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
86 elrest 17403 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
8877, 87mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
89673ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
90 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
91903ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
92 simp1r 1196 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
9389, 91, 92jca31 514 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
94 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
95 iooretop 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
9695, 1eleqtrri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽
97 iooretop 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9897, 1eleqtrri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽
99 unopn 22799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
10079, 96, 98, 99mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽
101 unopn 22799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10279, 100, 101mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
104 simpl1l 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
106 simpl1r 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
108 simpll3 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
109 difreicc 13488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
1104, 5, 109syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
111110eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) = (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
112111eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
113112notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
114113biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
115 eldif 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
116114, 115sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
117 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
118116, 117sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
119118imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120119notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
121120an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
122121adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝜑)
1246sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12516adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
126125ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
12716, 27ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
128127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
12916, 34ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
130129ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
131128, 130ifclda 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
132126, 131ifclda 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
13364fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
134124, 132, 133syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
135 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
136135iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝑦))
137134, 136eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
138137eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
139123, 122, 138syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
140 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
141139, 140eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
142123, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
143 elpreima 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
145122, 141, 144mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
146145adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
147 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
148146, 147eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
149 elin 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
150148, 149sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
151150simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦𝑤)
152151ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤))
153152orrd 862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∨ 𝑦𝑤))
154153orcomd 870 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
155 elun 4145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
156154, 155sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
157105, 107, 108, 156syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
158 imaundi 6149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) = ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
159105simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
160 toponss 22823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑤𝐽) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1613, 94, 160sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
162159, 161, 108jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
163 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
164 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
16542funmpt2 6587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun 𝐺
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
167166ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → Fun 𝐺)
168 fvelima 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
169167, 168sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
170 eqcom 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
171170biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
1721713ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
173 simp1ll 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
174 simp1lr 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
175 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
176 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
177 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
178 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
179176, 177, 178jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤))
180 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
181180anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
182 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
183 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
184182, 183eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧)))
185181, 184imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝑧 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))))
186185, 137chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
187186ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
188187adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
189 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
190 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
191 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
192 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
193191, 192elind 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
194 eqcom 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
195194biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
196195ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
197193, 196eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
198197adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
199 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
20017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
201 elpreima 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
203199, 202mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢))
204203simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
205189, 190, 198, 204syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
206188, 205eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
207179, 206sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
208 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
209 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
210208, 209jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
211 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
212 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
213 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
214212, 213sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
215210, 211, 214jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
21664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
217 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 < 𝐴𝑧 < 𝐴))
218217ifbid 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
219180, 183, 218ifbieq12d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
220219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
221 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
222 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
223222adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
224 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
225 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
226224, 225ifclda 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑢)
227223, 226eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑢)
228216, 220, 221, 227fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
229228, 223eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
230229, 226eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
231215, 230sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
232231adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
233207, 232pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
234173, 174, 175, 233syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
235172, 234eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
236235rexlimdv3a 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → (∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
237169, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → 𝑦𝑢)
238237ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
239238alrimiv 1923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
240162, 163, 164, 239syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
241 dfss2 3965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
242240, 241sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑤) ⊆ 𝑢)
243 imaundi 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)))
244165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → Fun 𝐺)
245 fvelima 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
246244, 245sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
247 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
248 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
249 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
251219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
252 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
253252adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
254 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
255254biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
256255simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 < 𝐴)
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 < 𝐴)
258 ltnle 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
259252, 4, 258syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
260257, 259mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝐴𝑧)
261260intn3an2d 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
2624, 5jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
263262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
264 elicc2 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
266261, 265mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
267266iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
268256iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
269268adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
270267, 269eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
271127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
272270, 271eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
273250, 251, 253, 272fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
274273adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
275 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
276270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
277274, 275, 2763eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
278247, 248, 249, 277syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
279278rexlimdv3a 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → (∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐴)))
280246, 279mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
281 velsn 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐴))
282280, 281sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)})
283282ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)}))
284283ssrdv 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
285284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
286 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
287286snssd 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑢)
288285, 287sstrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
289288adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
290 fvelima 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
291166, 290sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
292 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
293 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
294 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
29564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
296219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
297 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑧 ∈ ℝ)
298297adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29916ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
300299adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
3014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30325adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
304 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
305304biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
306305simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑧)
307306adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑧)
308301, 302, 298, 303, 307lelttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑧)
309301, 298, 308ltnsymd 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
310309iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
311129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
312310, 311eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
313312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
314300, 313ifclda 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
315295, 296, 298, 314fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
316315adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
317 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
318302, 298ltnled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝐵))
319307, 318mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧𝐵)
320319intn3an3d 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
321262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
322321, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
323320, 322mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
324323iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
325324, 310eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
326325adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
327316, 317, 3263eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
328292, 293, 294, 327syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
329328rexlimdv3a 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → (∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐵)))
330291, 329mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
331 velsn 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐵))
332330, 331sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)})
333332ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)}))
334333ssrdv 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
335334adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
336 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
337336snssd 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐵)} ⊆ 𝑢)
338335, 337sstrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
339338adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
340289, 339unssd 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
341243, 340eqsstrid 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
342159, 163, 164, 341syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
343242, 342unssd 4183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
344158, 343eqsstrid 4027 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
345 eleq2 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
346 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
347346sseq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢))
348345, 347anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)))
349348rspcev 3608 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
350103, 157, 344, 349syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
35179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽𝐽 ∈ Top)
352 iooretop 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
353352, 1eleqtrri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽
354 inopn 22795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35579, 353, 354mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽)
357 unopn 22799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
358351, 355, 356, 357syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
3593583ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
360359ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
361 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
362 simpll3 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
363 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
364 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
365262ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
366 eqimss 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
367109, 366syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
368 difcom 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
369367, 368sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
370365, 369syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
371370adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
372 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
373 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
374 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
375374adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
376 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
377376biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
378377simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑦)
379378adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑦)
3805adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
381380, 375ltnled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
382379, 381mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦𝐵)
383382intn3an3d 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
384262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
385 elicc2 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
386384, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
387383, 386mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
388387iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
3894adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
391389, 380, 375, 390, 379lelttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
392389, 375, 391ltnsymd 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
393392iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
394388, 393eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
395129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
396394, 395eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
397375, 396, 133syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
398397, 394eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
399398eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
400399adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
401 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
402400, 401eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
403402adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
404403stoic1a 1767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
405404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
406 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
407373, 405, 406sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
408 elun 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
409407, 408sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
410372, 409eldifd 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
411371, 410sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
412411adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
413 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
414 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
415 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
416 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
417138adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
418 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
419417, 418eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
42017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
421420, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
422416, 419, 421mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
423413, 414, 415, 422syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
424 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
425423, 424eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
426 elinel1 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
427425, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
428364, 412, 427syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦𝑤)
429 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
430 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
431 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
432 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
433 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43434adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
435433, 434eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
436432, 435, 137syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
437433fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
438436, 437eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
439438ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
440 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
44124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
442 pnfxr 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 +∞ ∈ ℝ*
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
444 rexr 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
445444adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
446441, 443, 4453jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
447446ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
448 mnflt 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
449448ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ < 𝑦)
450 mnfxr 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 -∞ ∈ ℝ*
451450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
452451, 441, 4453jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
453 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
454453notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
455454biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
456455adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
457 nan 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
458456, 457mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
459452, 458mpidan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
460 nan 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵))
461459, 460mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
462449, 461mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
463462anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵))
464 pm4.56 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
465463, 464sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
466 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
4675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
468466, 467jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
469468ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
470 leloe 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
472465, 471mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦𝐵)
4735anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
474473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
475 ltnle 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
476474, 475syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
477472, 476mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑦)
478 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
479478ltpnfd 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 < +∞)
480477, 479jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
481447, 480, 376sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
482440, 481, 398syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
483439, 482pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
484483eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
485484adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
486 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
487485, 486eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
488487stoic1a 1767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
489488notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
490429, 430, 431, 489syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
491428, 490elind 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
492491ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
493492orrd 862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
494493orcomd 870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
495 elun 4145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
496494, 495sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
497361, 362, 363, 496syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
498104simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝜑)
499498adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
500 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
5013, 500, 160sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
502499, 501jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
503 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
50465ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
505504ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
506 ssinss1 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ ℝ → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
507506ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
508 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
509508a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ)
510 unima 6968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ ∧ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
511505, 507, 509, 510syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
512165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
513 fvelima 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
514512, 513sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
5151713ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
516 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
517 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
518 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
519273, 267, 2693eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
5205193adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
521 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
522520, 521eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
523516, 517, 518, 522syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
524 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
525 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
526 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
527 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
528 elinel1 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝑤)
5295283ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝑤)
530 elinel2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
531 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
532530, 531syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5335323ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
534233ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
535533rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
536 mnflt 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
537533, 536syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ < 𝑧)
538450a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
539538, 534, 5353jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
540 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
541540, 254sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
542 nan 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
543541, 542mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
544539, 543mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
545 nan 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴))
546544, 545mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
547537, 546mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
548534, 535, 547xrnltled 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴𝑧)
549 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
5505303ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
551531adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5525adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
553 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
554553biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
555554simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
556555adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
557551, 552, 556ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝐵)
558549, 550, 557syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝐵)
5592623ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
560559, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
561533, 548, 558, 560mpbir3and 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
562529, 561elind 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
563525, 526, 527, 562syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
564 elinel2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565564anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
566565adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
567566, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
56817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
569 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
570195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
571569, 570eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
572571adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
573201simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
574568, 572, 573syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
575567, 574eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
576575adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
577524, 563, 576syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
578523, 577pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
5795783adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
580515, 579eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
5815803adant1r 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
582581rexlimdv3a 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
583514, 582mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → 𝑦𝑢)
584583ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → 𝑦𝑢))
585584ssrdv 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
586288ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
587585, 586unssd 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
588511, 587eqsstrd 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
589502, 362, 503, 588syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
590 eleq2 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
591 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
592591sseq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢))
593590, 592anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)))
594593rspcev 3608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
595360, 497, 589, 594syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
596350, 595pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
597 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
598 iooretop 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
599598, 1eleqtrri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽
600 inopn 22795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60179, 599, 600mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽)
603 unopn 22799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
604351, 601, 602, 603syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
605597, 604syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
606 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
607606simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
608607simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝜑)
609 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
610 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
611 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
612 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝜑)
61323adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
614451, 613, 4453jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
615614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
616448anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
617616adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
618 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
619615, 617, 618sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
620 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
621620anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))))
622 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
623622eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝑧) = (𝐹𝐴) ↔ (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴)))
624621, 623imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))))
625624, 519chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
626612, 619, 625syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
627626eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
628627ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
629 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
630628, 629eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
631 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
632630, 631pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
6334anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
634633ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
635 lenlt 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
636634, 635syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
637632, 636mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
638606, 611, 637syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝑦)
639 ltpnf 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
640639ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
641446adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
642376notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
643642biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
644643adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
645 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
646644, 645sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
647641, 646mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
648 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
649647, 648sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
650 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
651649, 650sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦))
652640, 651mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
653468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
654 lenlt 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
655653, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
656652, 655mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
657607, 656sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
658262ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
659658, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
660610, 638, 657, 659mpbir3and 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
661608, 609, 660, 422syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
662 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
663661, 662eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
664663, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
665 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐴))
66627ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
667 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
668667anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
669 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
670665, 669eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
671668, 670imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝐴 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))))
672671, 137vtoclg 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
6734, 666, 672sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))
674665, 673sylan9eqr 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
675674ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
676 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝜑)
677614ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
678448ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → -∞ < 𝑦)
679 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
680676, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
681445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68223ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
683639ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
684 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
685442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
686682, 685, 6813jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
687 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
688687notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
689688biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
690 nan 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))) ↔ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
691689, 690mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
692684, 686, 691syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
693 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
694692, 693sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
695 nan 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦))
696694, 695mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
697683, 696mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
698681, 682, 697xrnltled 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝐴)
699698adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦𝐴)
700 neqne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 = 𝐴𝑦𝐴)
701700necomd 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑦 = 𝐴𝐴𝑦)
702701adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴𝑦)
703679, 680, 699, 702leneltd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 < 𝐴)
704678, 703jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
705677, 704, 618sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
706676, 705, 625syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
707675, 706pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
708707eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
709708ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
710 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
711709, 710eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
712 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
713711, 712condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
714606, 611, 713syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
715664, 714elind 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
716715adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
717 pm5.6 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ↔ ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))))
718716, 717mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))))
719718orcomd 870 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
720 elun 4145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
721719, 720sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
7227213adantll2 44394 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
723 simp1ll 1234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
724723ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
725 simpll3 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
726 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
727504ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
728 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ
729728olci 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ)
730 inss 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
731729, 730ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ
732731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
733 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
734733a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ)
735 unima 6968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
736727, 732, 734, 735syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
737 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
738731sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
739738ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
740737, 739, 446syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
741 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝐵 < 𝑦)
742738ltpnfd 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
743742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 < +∞)
744741, 743jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
745744adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
746740, 745, 376sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
747737, 746, 398syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
748747adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
749 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
750748, 749eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
751750adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
752 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
753 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
754 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
755 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
756738adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
757756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
759 elinel2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
760687biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
761760simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝐴 < 𝑦)
762759, 761syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
763762adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 < 𝑦)
764758, 756, 763ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴𝑦)
765764adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐴𝑦)
766 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
767755, 757, 468syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
768767, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
769766, 768mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝐵)
770262ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
771770, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
772757, 765, 769, 771mpbir3and 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
773755, 772, 137syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
774752, 753, 754, 773syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
775 elinel1 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
776775ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝑤)
777776, 772jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
778777adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
779778, 149sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
780195ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
781779, 780eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
78217ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
783782, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
784781, 783mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
785784simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
786785adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
787774, 786eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
788751, 787pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
789788ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
790504fndmd 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐺 = ℝ)
791731, 790sseqtrrid 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺)
792166, 791jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
793792ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
794 funimass4 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
795793, 794syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
796789, 795mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
797338adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
798796, 797unssd 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
799736, 798eqsstrd 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
800724, 725, 726, 799syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
801 eleq2 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
802 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
803802sseq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢))
804801, 803anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)))
805804rspcev 3608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
806605, 722, 800, 805syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
807 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
808 iooretop 24676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
809808, 1eleqtrri 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
810 inopn 22795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
81179, 809, 810mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
812807, 811syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
813 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
814637adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
815 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
816815, 404, 656syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
817816adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
818 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
819818, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
820819, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
821813, 814, 817, 820mpbir3and 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
822821adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
823818, 821, 137syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
824823adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
825 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
826824, 825eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
827 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
828827, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
829828, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
830822, 826, 829mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
831 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
832830, 831eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
833832, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝑤)
834 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
835827, 834, 822jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
836 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
837826, 836jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
838 nelneq 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
839669necon3bi 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴) → 𝑦𝐴)
840837, 838, 8393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐴)
841 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
842826, 841jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢))
843 nelneq 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
844 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
845844necon3bi 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵) → 𝑦𝐵)
846842, 843, 8453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
847613ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
848441ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
849444ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
850847, 848, 8493jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
851 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
8524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
853 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
854262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
855854, 385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
856135, 855mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
857856simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
858857adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
859852, 853, 8583jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
860859adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
861 leltne 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
862860, 861syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
863851, 862mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 < 𝑦)
864863adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
865 necom 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
866865biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
867866adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵𝑦)
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
869856simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
870869adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
871853, 868, 8703jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
872871adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
873 leltne 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
874872, 873syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
875867, 874mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
876875adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
877864, 876jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
878 elioo3g 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
879850, 877, 878sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
880835, 840, 846, 879syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
881833, 880elind 4191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
8828813adantll2 44394 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
883165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
884 fvelima 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
885883, 884sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
886 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = 𝑡)
887 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝜑)
888 inss2 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
889 ioossicc 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
890888, 889sstri 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
891890sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8928913ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
893887, 892, 137syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
894 sslin 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
895889, 894ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))
896895sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
897896adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
898195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
899897, 898eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
900899adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
90117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
902901, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
903900, 902mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
904903simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
9059043adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
906893, 905eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
907886, 906eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑡𝑢)
9089073exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
909908adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
910909rexlimdv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢))
911885, 910mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → 𝑡𝑢)
912911ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
913 dfss3 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
914912, 913sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
915914ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
9169153adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
917916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
918 eleq2 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
919 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
920919sseq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢))
921918, 920anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)))
922921rspcev 3608 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
923812, 882, 917, 922syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
924806, 923pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
925596, 924pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
92693, 925syld3an1 1408 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
927926rexlimdv3a 3155 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
92888, 927mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
929928ex 412 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → ((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
930929ralrimiva 3142 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
9313a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
932 resttopon 23059 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
93313, 71, 932syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
934933adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹))
935 iscnp 23135 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))))
936931, 934, 466, 935syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)((𝐺𝑦) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))))
93766, 930, 936mpbir2and 712 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))
938937ralrimiva 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))
939 cncnp 23178 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐾t ran 𝐹) ∈ (TopOn‘ran 𝐹)) → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))))
9403, 933, 939sylancr 586 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ↔ (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t ran 𝐹))‘𝑦))))
94165, 938, 940mpbir2and 712 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)))
942 fnssres 6673 . . . 4 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
943504, 6, 942syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) Fn (𝐴[,]𝐵))
944 fvres 6911 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
945944adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
946945, 137eqtrd 2768 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹𝑦))
947943, 17, 946eqfnfvd 7038 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹)
948941, 947jca 511 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wnfc 2879  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  Vcvv 3470  cdif 3942  cun 3943  cin 3944  wss 3945  ifcif 4525  {csn 4625   cuni 4904   class class class wbr 5143  cmpt 5226  ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674  cres 5675  cima 5676  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  cr 11132  +∞cpnf 11270  -∞cmnf 11271  *cxr 11272   < clt 11273  cle 11274  (,)cioo 13351  [,]cicc 13354  t crest 17396  topGenctg 17413  Topctop 22789  TopOnctopon 22806   Cn ccn 23122   CnP ccnp 23123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-ioo 13355  df-icc 13358  df-rest 17398  df-topgen 17419  df-top 22790  df-topon 22807  df-bases 22843  df-cn 23125  df-cnp 23126
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  45354
  Copyright terms: Public domain W3C validator