Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm4d 37321
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm4d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm4d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
amgm4d.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm4d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 12590 . . . 4 (0..^4) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
4 4nn 11034 . . . . 5 4 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12330 . . . . 5 (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 219 . . . 4 0 ∈ (0..^4)
7 ne0i 3879 . . . 4 (0 ∈ (0..^4) → (0..^4) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^4) ≠ ∅)
9 amgm4d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm4d.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm4d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
12 amgm4d.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
139, 10, 11, 12s4cld 13414 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+)
14 wrdf 13111 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
16 s4len 13440 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4)
1817oveq2d 6543 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)) = (0..^4))
1918feq2d 5930 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+))
2015, 19mpbid 220 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+)
211, 3, 8, 20amgmlem 24433 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (#‘(0..^4)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (#‘(0..^4))))
22 cnring 19533 . . . . 5 fld ∈ Ring
231ringmgp 18322 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
259rpcnd 11706 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2610rpcnd 11706 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2711rpcnd 11706 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2812rpcnd 11706 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2927, 28jca 552 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
3025, 26, 29jca32 555 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))))
31 cnfldbas 19517 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
321, 31mgpbas 18264 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
33 cnfldmul 19519 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
341, 33mgpplusg 18262 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3532, 34gsumws4 37318 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
3624, 30, 35syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
37 4nn0 11158 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
38 hashfzo0 13029 . . . . 5 (4 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^4)) = 4)
3937, 38mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (#‘(0..^4)) = 4)
4039oveq2d 6543 . . 3 (𝜑 → (1 / (#‘(0..^4))) = (1 / 4))
4136, 40oveq12d 6545 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (#‘(0..^4)))) = ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42 ringmnd 18325 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4322, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
44 cnfldadd 19518 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4531, 44gsumws4 37318 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
4643, 30, 45syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
4746, 39oveq12d 6545 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (#‘(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
4821, 41, 473brtr3d 4608 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  c0 3873   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cle 9931   / cdiv 10533  cn 10867  4c4 10919  0cn0 11139  +crp 11664  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092  ⟨“cs4 13385   Σg cgsu 15870  Mndcmnd 17063  mulGrpcmgp 18258  Ringcrg 18316  fldccnfld 19513  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-s3 13391  df-s4 13392  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-gim 17470  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-refld 19715  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator