Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm4d 39023
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm4d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm4d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
amgm4d.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm4d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 12987 . . . 4 (0..^4) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
4 4nn 11399 . . . . 5 4 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12722 . . . . 5 (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 221 . . . 4 0 ∈ (0..^4)
7 ne0i 4064 . . . 4 (0 ∈ (0..^4) → (0..^4) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^4) ≠ ∅)
9 amgm4d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm4d.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm4d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
12 amgm4d.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
139, 10, 11, 12s4cld 13838 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+)
14 wrdf 13516 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
16 s4len 13864 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4)
1817oveq2d 6830 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)) = (0..^4))
1918feq2d 6192 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+))
2015, 19mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+)
211, 3, 8, 20amgmlem 24936 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))))
22 cnring 19990 . . . . 5 fld ∈ Ring
231ringmgp 18773 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
259rpcnd 12087 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2610rpcnd 12087 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2711rpcnd 12087 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2812rpcnd 12087 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2927, 28jca 555 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
3025, 26, 29jca32 559 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))))
31 cnfldbas 19972 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
321, 31mgpbas 18715 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
33 cnfldmul 19974 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
341, 33mgpplusg 18713 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3532, 34gsumws4 39020 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
3624, 30, 35syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
37 4nn0 11523 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
38 hashfzo0 13429 . . . . 5 (4 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^4)) = 4)
3937, 38mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^4)) = 4)
4039oveq2d 6830 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^4))) = (1 / 4))
4136, 40oveq12d 6832 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) = ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42 ringmnd 18776 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4322, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
44 cnfldadd 19973 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4531, 44gsumws4 39020 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
4643, 30, 45syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
4746, 39oveq12d 6832 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
4821, 41, 473brtr3d 4835 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cle 10287   / cdiv 10896  cn 11232  4c4 11284  0cn0 11504  +crp 12045  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497  ⟨“cs4 13808   Σg cgsu 16323  Mndcmnd 17515  mulGrpcmgp 18709  Ringcrg 18767  fldccnfld 19968  𝑐ccxp 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814  df-s4 13815  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-gim 17922  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-refld 20173  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator