Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 40781
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 40780 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 11132 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 11252 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11130 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11462 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 11147 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 10975 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 11254 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 11625 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 11490 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2621 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 15326 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 11256 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 11044 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulid1i 9986 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 6614 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 11099 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 11579 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 11533 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 317 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 11255 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 11462 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 11131 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 11490 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 11140 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2621 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 15326 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 9nn0 11260 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
37 4t3e12 11576 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
38 3t3e9 11124 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
398, 27, 8, 35, 36, 37, 38decmul1 11529 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
4034, 39syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4140eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4233, 41mtbiri 317 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4342pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
44 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4526, 43, 443jaoi 1388 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4645com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
47463ad2ant1 1080 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
481, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cle 10019  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  9c9 11021  cdc 11437  cfl 12531  csqrt 13907  cdvds 14907  cprime 15309  FermatNocfmtno 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-odz 15394  df-phi 15395  df-pc 15466  df-lgs 24920  df-fmtno 40736
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  40783
  Copyright terms: Public domain W3C validator