Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 40781
 Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 40780 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 11132 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 11252 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11130 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11462 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 11147 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 10975 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 11254 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 11625 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 11490 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2621 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 15326 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 11256 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 11044 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulid1i 9986 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 6614 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 11099 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 11579 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 11533 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 317 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 11255 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 11462 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 11131 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 11490 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 11140 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2621 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 15326 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 9nn0 11260 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
37 4t3e12 11576 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
38 3t3e9 11124 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
398, 27, 8, 35, 36, 37, 38decmul1 11529 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
4034, 39syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4140eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4233, 41mtbiri 317 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4342pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
44 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4526, 43, 443jaoi 1388 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4645com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
47463ad2ant1 1080 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
481, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1035   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   ≤ cle 10019  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  9c9 11021  ;cdc 11437  ⌊cfl 12531  √csqrt 13907   ∥ cdvds 14907  ℙcprime 15309  FermatNocfmtno 40735 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-odz 15394  df-phi 15395  df-pc 15466  df-lgs 24920  df-fmtno 40736 This theorem is referenced by:  fmtno4prm  40783
 Copyright terms: Public domain W3C validator