Theorem fmtno4nprmfac193 43756

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11914	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 11922	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 11717	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 11916	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 11649	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12119	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12123	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 11919	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 11918	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12114	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 11917	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 11920	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 11913	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12114	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 11921	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12114	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12114	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 11719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mulid2i 10646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 11789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12164	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 11805	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12163	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 11726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 11785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 10832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 11786	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 11735	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 11732	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12184	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 10832	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12154	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 11784	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12160	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12130	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12189	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12154	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 11787	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12130	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12187	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12160	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12152	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 11738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mulid2i 10646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12192	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12164	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 11781	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12159	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 10650	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12164	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12165	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12130	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 11780	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12153	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addid1i 10827	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12153	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12116	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 11736	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 11844	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12127	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12128	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 15763	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 43734	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5074	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 325	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  6c6 11697  7c7 11698  8c8 11699  9c9 11700  ;cdc 12099   ∥ cdvds 15607  FermatNocfmtno 43709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-fmtno 43710

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  43757