Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 40811
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 11260 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 11268 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11464 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 11138 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11470 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 11262 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11464 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 11464 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 10983 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 11470 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 11477 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 11265 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 11264 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11464 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 11263 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11464 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 11261 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 11464 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 11266 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 11464 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 11259 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 11464 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2621 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 11464 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 11464 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2621 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2621 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 11267 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 11464 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 11464 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2621 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2621 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 11047 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 9995 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 6620 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 11112 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 11616 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 11539 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 11132 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 2, 39, 40decmul1 11537 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2621 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2621 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 11052 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 11107 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 10180 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 11108 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 11058 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 11056 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 11569 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 10180 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 11524 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 11106 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2621 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 11561 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 11532 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 11487 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 11575 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 11524 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 11109 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 11487 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 11573 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 11532 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 11520 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 11060 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 9995 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 11578 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 11622 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 11539 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 11104 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 11531 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 9999 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 11539 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 11541 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2621 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2621 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2621 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2621 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 11487 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 11103 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 11522 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 10175 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 11522 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 11467 . . . 4 0 < 10
90 9nn 11144 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 11181 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 11482 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 11484 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 15071 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 40789 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 4626 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 313 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  7c7 11027  8c8 11028  9c9 11029  cdc 11445  cdvds 14918  FermatNocfmtno 40764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-fmtno 40765
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  40812
  Copyright terms: Public domain W3C validator