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Theorem fmtno4prmfac 40783
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11353 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 4z 11355 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2re 11034 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 4re 11041 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
5 2lt4 11142 . . . . . 6 2 < 4
63, 4, 5ltleii 10104 . . . . 5 2 ≤ 4
7 eluz2 11637 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1242 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
9 fmtnoprmfac2 40778 . . . 4 ((4 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
108, 9mp3an1 1408 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11 elnnuz 11668 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
12 4nn 11131 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
13 nnuz 11667 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
1412, 13eleqtri 2696 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘1)
15 fzouzsplit 12444 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4))
1716eleq2i 2690 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
18 elun 3731 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
19 fzo1to4tp 12497 . . . . . . . . . . 11 (1..^4) = {1, 2, 3}
2019eleq2i 2690 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ V
2221eltp 4201 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2320, 22bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2423orbi1i 542 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2518, 24bitri 264 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2611, 17, 253bitri 286 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
27 4p2e6 11106 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 2) = 6
2827oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29 2exp6 15719 . . . . . . . . . . . 12 (2↑6) = 64
3028, 29eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 (2↑(4 + 2)) = 64
3130oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · 64)
3231oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · 64) + 1)
3332eqeq2i 2633 . . . . . . . 8 (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
34 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
35 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = (1 · 64))
36 6nn0 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℕ0
37 4nn0 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ0
3836, 37deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 64 ∈ ℕ0
3938nn0cni 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 64 ∈ ℂ
4039mulid2i 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · 64) = 64
4135, 40syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = 64)
4241oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = (64 + 1))
43 4p1e5 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = 5
44 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 64 = 64
4536, 37, 43, 44decsuc 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (64 + 1) = 65
4642, 45syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4834, 47eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = 65)
4948ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = 65))
50 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
51 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (2 · 64))
52 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ0
53 6cn 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℂ
54 2cn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
55 6t2e12 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (6 · 2) = 12
5653, 54, 55mulcomli 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 6) = 12
5756eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (2 · 6)
58 4cn 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℂ
59 4t2e8 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 2) = 8
6058, 54, 59mulcomli 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 4) = 8
6160eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (2 · 4)
6236, 37, 52, 57, 61decmul10add 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 64) = (120 + 8)
6351, 62syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (120 + 8))
6463oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((120 + 8) + 1))
65 1nn0 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
6665, 52deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12 ∈ ℕ0
67 8nn0 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ0
68 8p1e9 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 1) = 9
69 0nn0 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℕ0
70 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 120 = 120
71 8cn 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 ∈ ℂ
7271addid2i 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 8) = 8
7366, 69, 67, 70, 72decaddi 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (120 + 8) = 128
7466, 67, 68, 73decsuc 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((120 + 8) + 1) = 129
7564, 74syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7750, 76eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = 129)
7877ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = 129))
79 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
80 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (3 · 64))
81 3nn0 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℕ0
82 6t3e18 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = 18
83 3cn 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℂ
8453, 83mulcomi 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = (3 · 6)
8582, 84eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = (3 · 6)
86 4t3e12 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = 12
8758, 83mulcomi 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = (3 · 4)
8886, 87eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (3 · 4)
8936, 37, 81, 85, 88decmul10add 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 64) = (180 + 12)
9080, 89syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (180 + 12))
9190oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((180 + 12) + 1))
92 9nn0 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℕ0
9365, 92deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 ∈ ℕ0
94 2p1e3 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
9565, 67deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 18 ∈ ℕ0
96 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 180 = 180
97 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 12 = 12
98 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = 18
9965, 67, 68, 98decsuc 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (18 + 1) = 19
10054addid2i 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 2) = 2
10195, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100decadd 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (180 + 12) = 192
10293, 52, 94, 101decsuc 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((180 + 12) + 1) = 193
10391, 102syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
104103adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
10579, 104eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = 193)
106105ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = 193))
10749, 78, 1063orim123d 1404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
109108com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
110 fmtno4sqrt 40782 . . . . . . . . . . . . 13 (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = 256
111110breq2i 4621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃256)
112 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
114 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115 6t4e24 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (6 · 4) = 24
11653, 58, 115mulcomli 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 6) = 24
11752, 37, 43, 116decsuc 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 · 6) + 1) = 25
118 4t4e16 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 4) = 16
11937, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118decmul2c 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 64) = 256
120 zre 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12138nn0rei 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 64 ∈ ℝ
12236, 12decnncl 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 64 ∈ ℕ
123122nngt0i 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 64
124121, 123pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64))
126 lemul1 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
1274, 120, 125, 126mp3an2i 1426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
128127biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64))
129119, 128syl5eqbrr 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 ≤ (𝑘 · 64))
130 5nn0 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ ℕ0
13152, 130deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 25 ∈ ℕ0
132131, 36deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 256 ∈ ℕ0
133132nn0zi 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 256 ∈ ℤ
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
13538nn0zi 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 64 ∈ ℤ
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 64 ∈ ℤ)
137134, 136zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
138137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
139 zleltp1 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 64) ∈ ℤ) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
140133, 138, 139sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
141129, 140mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
1421413adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
143114, 142sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
144132nn0rei 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 256 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 ∈ ℝ)
146 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 64 ∈ ℝ)
148146, 147remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑘 · 64) ∈ ℝ)
149 peano2re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 64) ∈ ℝ → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
151145, 150ltnled 10128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (256 < ((𝑘 · 64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
152143, 151mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256)
153152pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
155113, 154sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
156111, 155syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
157156ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
158109, 157jaoi 394 . . . . . . . . 9 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
159158adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16033, 159syl5bi 232 . . . . . . 7 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
161160ex 450 . . . . . 6 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
16226, 161sylbi 207 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
163162com12 32 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
164163rexlimdv 3023 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16510, 164mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
1661653impia 1258 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  cun 3553  {ctp 4152   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  8c8 11020  9c9 11021  cz 11321  cdc 11437  cuz 11631  ..^cfzo 12406  cfl 12531  cexp 12800  csqrt 13907  cdvds 14907  cprime 15309  FermatNocfmtno 40738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-odz 15394  df-phi 15395  df-pc 15466  df-lgs 24920  df-fmtno 40739
This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  40784
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