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Theorem ftc1a 23845
 Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1a (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1a.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 23844 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10 fvexd 6241 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐷) → (𝐹𝑤) ∈ V)
118feqmptd 6288 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)))
1211, 7eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
14 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
1510, 13, 14itgcn 23654 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
16 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (𝑠𝑟) = (𝑧𝑦))
1716fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
1817breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑))
19 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑧))
20 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑦 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑦))
2119, 20oveqan12d 6709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)))
2221fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))))
2322breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
2418, 23imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
2524ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑦𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
26 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (𝑠𝑟) = (𝑦𝑧))
2726fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
2827breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
29 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑦))
30 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑧 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑧))
3129, 30oveqan12d 6709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)))
3231fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
3332breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
3428, 33imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
3534ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑧𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
36 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
372, 3, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3837ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3937ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4139, 40sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
4241recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
43 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4439, 43sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4544recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4642, 45abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4746breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
489ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
4948, 40ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5048, 43ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
5149, 50abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
5251breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
5347, 52imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
54 simpr3 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
552adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
563adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴𝐵)
585adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
596adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
607adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
618adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
62 simpr1 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 simpr2 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
641, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63ftc1lem1 23843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6554, 64mpdan 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6665adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6766ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6867fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡))
69 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
702ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7170rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
72 simprl1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
733ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
74 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7570, 73, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7672, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
7776simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴𝑦)
78 iooss1 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
7971, 77, 78syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
8073rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81 simprl2 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8370, 73, 82syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8481, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
8584simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧𝐵)
86 iooss2 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑧𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8780, 85, 86syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8879, 87sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
895ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
9088, 89sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
91 ioombl 23379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
93 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
948feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
9594, 7eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9695ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9790, 92, 93, 96iblss 23616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9869, 97itgcl 23595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
9998abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
100 iblmbf 23579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
102101, 69mbfmptcl 23449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
103102abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
10469, 97iblabs 23640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
105103, 104itgrecl 23609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
106 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
107106ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
108107rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10969, 97itgabs 23646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
110 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
111 mblvol 23344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
11291, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
113 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
114 ovolcl 23292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
115113, 114mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
11684simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
11776simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
118116, 117resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
119118rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ*)
120 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
121120ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
122121rpxrd 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
123 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
124 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
125117, 116, 124syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
126 ovolss 23299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
127123, 125, 126sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
128 simprl3 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦𝑧)
129 ovolicc 23337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
130117, 116, 128, 129syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
131127, 130breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧𝑦))
132117, 116, 128abssubge0d 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
133 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)
134132, 133eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) < 𝑑)
135115, 119, 122, 131, 134xrlelttrd 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
136112, 135syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
13790, 136jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
138 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
139 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
140139breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
141138, 140anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
142 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑡 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑡))
143142fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
144143cbvitgv 23588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡
145 itgeq1 23584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
146144, 145syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
147146breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
148141, 147imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
149148rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
15092, 110, 137, 149syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
15199, 105, 108, 109, 150lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) < 𝑒)
15268, 151eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)
153152expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
15425, 35, 38, 53, 153wlogle 10599 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
155154ralrimivva 3000 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
156155ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
157156anassrs 681 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
158157reximdva 3046 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
15915, 158mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
160 r19.12 3092 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
161159, 160syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
162161ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
163 ralcom 3127 . . 3 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
164162, 163sylib 208 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
165 ax-resscn 10031 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
16637, 165syl6ss 3648 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
167 ssid 3657 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
168 elcncf2 22740 . . 3 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
169166, 167, 168sylancl 695 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
1709, 164, 169mpbir2and 977 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  –cn→ccncf 22726  vol*covol 23277  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  𝐿1cibl 23431  ∫citg 23432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482 This theorem is referenced by:  ftc2  23852
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