MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem2 24735
Description: Lemma for dchrpt 24737. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑁   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑋   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑥,𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrpt.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrpt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrpt.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 fveq2 6088 . . 3 (𝑣 = 𝑥 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑥))
8 fveq2 6088 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑦))
9 fveq2 6088 . . 3 (𝑣 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
10 fveq2 6088 . . 3 (𝑣 = (1r𝑍) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(1r𝑍)))
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
12 zex 11222 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ ∈ V
1312mptex 6368 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
1413rnex 6970 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
1614, 15dmmpti 5922 . . . . . . . . . 10 dom 𝑆 = dom 𝑊
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑆 = dom 𝑊)
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
2011, 17, 18, 19dpjf 18228 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼))
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
2221feq2d 5930 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼) ↔ (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼)))
2320, 22mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼))
2423ffvelrnda 6252 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ (𝑆𝐼))
2519adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝐼 ∈ dom 𝑊)
26 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑎 → (𝑛 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝑘)))
2726cbvmptv 4672 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘)))
28 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝐼))
2928oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3029mpteq2dv 4667 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3127, 30syl5eq 2655 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3231rneqd 5261 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3332, 15, 14fvmpt3i 6181 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3425, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3524, 34eleqtrd 2689 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
36 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼)))
37 ovex 6555 . . . . . 6 (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∈ V
3836, 37elrnmpti 5284 . . . . 5 (((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3935, 38sylib 206 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑈) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
40 dchrpt.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑍)
41 dchrpt.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐴1 )
42 dchrpt.h . . . . . 6 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
43 dchrpt.m . . . . . 6 · = (.g𝐻)
44 dchrpt.au . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑈)
45 dchrpt.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
46 dchrpt.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐻)
47 dchrpt.t . . . . . 6 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
48 dchrpt.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
49 dchrpt.5 . . . . . 6 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24734 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) = (𝑇𝑎))
51 neg1cn 10974 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
52 2re 10940 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
535nnnn0d 11201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
542zncrng 19660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
55 crngring 18330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
574, 42unitgrp 18439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
592, 3znfi 19675 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
605, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
613, 4unitss 18432 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈𝐵
62 ssfi 8043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
6360, 61, 62sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
64 wrdf 13114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
6545, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
66 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6819, 67eleqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
6965, 68ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
704, 42unitgrpbas 18438 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (Base‘𝐻)
7170, 46odcl2 17754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
7258, 63, 69, 71syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
73 nndivre 10906 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7452, 72, 73sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7574recnd 9925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
76 cxpcl 24165 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7751, 75, 76sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7847, 77syl5eqel 2691 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7978ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8051a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
81 neg1ne0 10976 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
8281a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≠ 0)
8380, 82, 75cxpne0d 24204 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8447neeq1i 2845 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8583, 84sylibr 222 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
8685ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ≠ 0)
87 simprl 789 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
8879, 86, 87expclzd 12833 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑇𝑎) ∈ ℂ)
8950, 88eqeltrd 2687 . . . 4 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
9039, 89rexlimddv 3016 . . 3 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
91 simprl 789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
9239ralrimiva 2948 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
9392adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
94 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝑥))
9594eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9695rexbidv 3033 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9796rspcv 3277 . . . . 5 (𝑥𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9891, 93, 97sylc 62 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
99 simprr 791 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
100 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝑦))
101100eqeq1d 2611 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
102101rexbidv 3033 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
103 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
104103eqeq2d 2619 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
105104cbvrexv 3147 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
106102, 105syl6bb 274 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
107106rspcv 3277 . . . . 5 (𝑦𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
10899, 93, 107sylc 62 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
109 reeanv 3085 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
11078ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
11185ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ≠ 0)
112 simprll 797 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑎 ∈ ℤ)
113 simprlr 798 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
114 expaddz 12724 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
115110, 111, 112, 113, 114syl22anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
116 simpll 785 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝜑)
11756ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑍 ∈ Ring)
11891adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑥𝑈)
11999adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑦𝑈)
120 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1214, 120unitmulcl 18436 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
122117, 118, 119, 121syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
123112, 113zaddcld 11321 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
124 simprrl 799 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
125 simprrr 800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
126124, 125oveq12d 6545 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
12711, 17, 18, 19dpjghm 18234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻))
12821oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = (𝐻s 𝑈))
129 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ V
13042, 129eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ∈ V
13170ressid 15711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ V → (𝐻s 𝑈) = 𝐻)
132130, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻s 𝑈) = 𝐻
133128, 132syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = 𝐻)
134133oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻) = (𝐻 GrpHom 𝐻))
135127, 134eleqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
136135ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
137 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑍) ∈ V
1384, 137eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ V
139 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
140139, 120mgpplusg 18265 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
14142, 140ressplusg 15767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g𝐻))
142138, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑍) = (+g𝐻)
14370, 142, 142ghmlin 17437 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
144136, 118, 119, 143syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
14558ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝐻 ∈ Grp)
14669ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
14770, 43, 142mulgdir 17345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
148145, 112, 113, 146, 147syl13anc 1319 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
149126, 144, 1483eqtr4d 2653 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))
1501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24734 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈) ∧ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
151116, 122, 123, 149, 150syl22anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
1521, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24734 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
153116, 118, 112, 124, 152syl22anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
1541, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24734 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑈) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
155116, 119, 113, 125, 154syl22anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
156153, 155oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
157115, 151, 1563eqtr4d 2653 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
158157expr 640 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
159158rexlimdvva 3019 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
160109, 159syl5bir 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
16198, 108, 160mp2and 710 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
162 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
163 eqid 2609 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (1r𝑍)
1644, 1631unit 18430 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
16556, 164syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
166 0zd 11225 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
167 eqid 2609 . . . . . . . 8 (0g𝐻) = (0g𝐻)
168167, 167ghmid 17438 . . . . . . 7 ((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
169135, 168syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
1704, 42, 163unitgrpid 18441 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g𝐻))
17156, 170syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g𝐻))
172171fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)))
17370, 167, 43mulg0 17318 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ 𝑈 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
17469, 173syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
175169, 172, 1743eqtr4d 2653 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))
1761, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24734 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (1r𝑍) ∈ 𝑈) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
177162, 165, 166, 175, 176syl22anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
17878exp0d 12822 . . . 4 (𝜑 → (𝑇↑0) = 1)
179177, 178eqtrd 2643 . . 3 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
1801, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 90, 161, 179dchrelbasd 24709 . 2 (𝜑 → (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷)
18161, 44sseldi 3565 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
182 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣𝑈𝐴𝑈))
183 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝐴))
184182, 183ifbieq1d 4058 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
185 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))
186 fvex 6098 . . . . . . 7 (𝑋𝑣) ∈ V
187 c0ex 9891 . . . . . . 7 0 ∈ V
188186, 187ifex 4105 . . . . . 6 if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) ∈ V
189184, 185, 188fvmpt3i 6181 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
190181, 189syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
19144iftrued 4043 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0) = (𝑋𝐴))
192190, 191eqtrd 2643 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = (𝑋𝐴))
193 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝐴))
194193eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
195194rexbidv 3033 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
196195rspcv 3277 . . . . 5 (𝐴𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
19744, 92, 196sylc 62 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
1981, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24734 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = (𝑇𝑎))
19947oveq1i 6537 . . . . . . . 8 (𝑇𝑎) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎)
200198, 199syl6eq 2659 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎))
20148ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
20258ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝐻 ∈ Grp)
20369ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
204 simprl 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
20570, 46, 43, 167oddvds 17738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
206202, 203, 204, 205syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
20772ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
208 root1eq1 24241 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
209207, 204, 208syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
210 simprr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
21140, 171syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑1 = (0g𝐻))
212211ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 1 = (0g𝐻))
213210, 212eqeq12d 2624 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
214206, 209, 2133bitr4d 298 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ))
215214necon3bid 2825 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 ))
216201, 215mpbird 245 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1)
217200, 216eqnetrd 2848 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) ≠ 1)
218217rexlimdvaa 3013 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
21944, 218mpdan 698 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
220197, 219mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 1)
221192, 220eqnetrd 2848 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1)
222 fveq1 6087 . . . 4 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → (𝑥𝐴) = ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴))
223222neeq1d 2840 . . 3 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → ((𝑥𝐴) ≠ 1 ↔ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1))
224223rspcev 3281 . 2 (((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
225180, 221, 224syl2anc 690 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  ran crn 5029  cio 5752  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  -cneg 10119   / cdiv 10536  cn 10870  2c2 10920  0cn0 11142  cz 11213  ..^cfzo 12292  cexp 12680  #chash 12937  Word cword 13095  cdvds 14770  Basecbs 15644  s cress 15645  +gcplusg 15717  .rcmulr 15718  0gc0g 15872  Grpcgrp 17194  .gcmg 17312   GrpHom cghm 17429  odcod 17716   DProd cdprd 18164  dProjcdpj 18165  mulGrpcmgp 18261  1rcur 18273  Ringcrg 18319  CRingccrg 18320  Unitcui 18411  ℤ/nczn 19618  𝑐ccxp 24051  DChrcdchr 24702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-word 13103  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-dvds 14771  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-qus 15941  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-nsg 17364  df-eqg 17365  df-ghm 17430  df-gim 17473  df-cntz 17522  df-oppg 17548  df-od 17720  df-lsm 17823  df-pj1 17824  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-dprd 18166  df-dpj 18167  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-rnghom 18487  df-subrg 18550  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-lidl 18944  df-rsp 18945  df-2idl 19002  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zrh 19619  df-zn 19622  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-cxp 24053  df-dchr 24703
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  24736
  Copyright terms: Public domain W3C validator