MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem2 25035
Description: Lemma for dchrpt 25037. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑁   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑋   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑥,𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrpt.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrpt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrpt.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 fveq2 6229 . . 3 (𝑣 = 𝑥 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑥))
8 fveq2 6229 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑦))
9 fveq2 6229 . . 3 (𝑣 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
10 fveq2 6229 . . 3 (𝑣 = (1r𝑍) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(1r𝑍)))
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
12 zex 11424 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ ∈ V
1312mptex 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
1413rnex 7142 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
1614, 15dmmpti 6061 . . . . . . . . . 10 dom 𝑆 = dom 𝑊
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑆 = dom 𝑊)
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
2011, 17, 18, 19dpjf 18502 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼))
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
2221feq2d 6069 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼) ↔ (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼)))
2320, 22mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼))
2423ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ (𝑆𝐼))
2519adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝐼 ∈ dom 𝑊)
26 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑎 → (𝑛 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝑘)))
2726cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘)))
28 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝐼))
2928oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3029mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3127, 30syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3231rneqd 5385 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3332, 15, 14fvmpt3i 6326 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3425, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3524, 34eleqtrd 2732 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
36 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼)))
37 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∈ V
3836, 37elrnmpti 5408 . . . . 5 (((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3935, 38sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑈) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
40 dchrpt.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑍)
41 dchrpt.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐴1 )
42 dchrpt.h . . . . . 6 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
43 dchrpt.m . . . . . 6 · = (.g𝐻)
44 dchrpt.au . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑈)
45 dchrpt.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
46 dchrpt.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐻)
47 dchrpt.t . . . . . 6 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
48 dchrpt.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
49 dchrpt.5 . . . . . 6 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 25034 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) = (𝑇𝑎))
51 neg1cn 11162 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
52 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
535nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
542zncrng 19941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
55 crngring 18604 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
574, 42unitgrp 18713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
592, 3znfi 19956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
605, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
613, 4unitss 18706 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈𝐵
62 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
6360, 61, 62sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
64 wrdf 13342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
6545, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
66 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6819, 67eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
6965, 68ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
704, 42unitgrpbas 18712 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (Base‘𝐻)
7170, 46odcl2 18028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
7258, 63, 69, 71syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
73 nndivre 11094 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7452, 72, 73sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7574recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
76 cxpcl 24465 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7751, 75, 76sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7847, 77syl5eqel 2734 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7978ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8051a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
81 neg1ne0 11164 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
8281a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≠ 0)
8380, 82, 75cxpne0d 24504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8447neeq1i 2887 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8583, 84sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
8685ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ≠ 0)
87 simprl 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
8879, 86, 87expclzd 13053 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑇𝑎) ∈ ℂ)
8950, 88eqeltrd 2730 . . . 4 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
9039, 89rexlimddv 3064 . . 3 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
91 simprl 809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
9239ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
9392adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
94 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝑥))
9594eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9695rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9796rspcv 3336 . . . . 5 (𝑥𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9891, 93, 97sylc 65 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
99 simprr 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
100 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝑦))
101100eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
102101rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
103 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
104103eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
105104cbvrexv 3202 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
106102, 105syl6bb 276 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
107106rspcv 3336 . . . . 5 (𝑦𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
10899, 93, 107sylc 65 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
109 reeanv 3136 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
11078ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
11185ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ≠ 0)
112 simprll 819 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑎 ∈ ℤ)
113 simprlr 820 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
114 expaddz 12944 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
115110, 111, 112, 113, 114syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
116 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝜑)
11756ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑍 ∈ Ring)
11891adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑥𝑈)
11999adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑦𝑈)
120 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1214, 120unitmulcl 18710 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
122117, 118, 119, 121syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
123112, 113zaddcld 11524 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
124 simprrl 821 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
125 simprrr 822 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
126124, 125oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
12711, 17, 18, 19dpjghm 18508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻))
12821oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = (𝐻s 𝑈))
129 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ V
13042, 129eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ∈ V
13170ressid 15982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ V → (𝐻s 𝑈) = 𝐻)
132130, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻s 𝑈) = 𝐻
133128, 132syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = 𝐻)
134133oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻) = (𝐻 GrpHom 𝐻))
135127, 134eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
136135ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
137 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑍) ∈ V
1384, 137eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ V
139 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
140139, 120mgpplusg 18539 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
14142, 140ressplusg 16040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g𝐻))
142138, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑍) = (+g𝐻)
14370, 142, 142ghmlin 17712 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
144136, 118, 119, 143syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
14558ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝐻 ∈ Grp)
14669ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
14770, 43, 142mulgdir 17620 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
148145, 112, 113, 146, 147syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
149126, 144, 1483eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))
1501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 25034 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈) ∧ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
151116, 122, 123, 149, 150syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
1521, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 25034 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
153116, 118, 112, 124, 152syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
1541, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 25034 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑈) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
155116, 119, 113, 125, 154syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
156153, 155oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
157115, 151, 1563eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
158157expr 642 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
159158rexlimdvva 3067 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
160109, 159syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
16198, 108, 160mp2and 715 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
162 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
163 eqid 2651 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (1r𝑍)
1644, 1631unit 18704 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
16556, 164syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
166 0zd 11427 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
167 eqid 2651 . . . . . . . 8 (0g𝐻) = (0g𝐻)
168167, 167ghmid 17713 . . . . . . 7 ((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
169135, 168syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
1704, 42, 163unitgrpid 18715 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g𝐻))
17156, 170syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g𝐻))
172171fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)))
17370, 167, 43mulg0 17593 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ 𝑈 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
17469, 173syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
175169, 172, 1743eqtr4d 2695 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))
1761, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 25034 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (1r𝑍) ∈ 𝑈) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
177162, 165, 166, 175, 176syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
17878exp0d 13042 . . . 4 (𝜑 → (𝑇↑0) = 1)
179177, 178eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
1801, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 90, 161, 179dchrelbasd 25009 . 2 (𝜑 → (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷)
18161, 44sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
182 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣𝑈𝐴𝑈))
183 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝐴))
184182, 183ifbieq1d 4142 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
185 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))
186 fvex 6239 . . . . . . 7 (𝑋𝑣) ∈ V
187 c0ex 10072 . . . . . . 7 0 ∈ V
188186, 187ifex 4189 . . . . . 6 if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) ∈ V
189184, 185, 188fvmpt3i 6326 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
190181, 189syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
19144iftrued 4127 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0) = (𝑋𝐴))
192190, 191eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = (𝑋𝐴))
193 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝐴))
194193eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
195194rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
196195rspcv 3336 . . . . 5 (𝐴𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
19744, 92, 196sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
1981, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 25034 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = (𝑇𝑎))
19947oveq1i 6700 . . . . . . . 8 (𝑇𝑎) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎)
200198, 199syl6eq 2701 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎))
20148ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
20258ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝐻 ∈ Grp)
20369ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
204 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
20570, 46, 43, 167oddvds 18012 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
206202, 203, 204, 205syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
20772ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
208 root1eq1 24541 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
209207, 204, 208syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
210 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
21140, 171syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑1 = (0g𝐻))
212211ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 1 = (0g𝐻))
213210, 212eqeq12d 2666 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
214206, 209, 2133bitr4d 300 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ))
215214necon3bid 2867 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 ))
216201, 215mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1)
217200, 216eqnetrd 2890 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) ≠ 1)
218217rexlimdvaa 3061 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
21944, 218mpdan 703 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
220197, 219mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 1)
221192, 220eqnetrd 2890 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1)
222 fveq1 6228 . . . 4 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → (𝑥𝐴) = ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴))
223222neeq1d 2882 . . 3 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → ((𝑥𝐴) ≠ 1 ↔ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1))
224223rspcev 3340 . 2 (((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
225180, 221, 224syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cio 5887  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  ..^cfzo 12504  cexp 12900  #chash 13157  Word cword 13323  cdvds 15027  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  .gcmg 17587   GrpHom cghm 17704  odcod 17990   DProd cdprd 18438  dProjcdpj 18439  mulGrpcmgp 18535  1rcur 18547  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  Unitcui 18685  ℤ/nczn 19899  𝑐ccxp 24347  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-word 13331  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-od 17994  df-lsm 18097  df-pj1 18098  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-dprd 18440  df-dpj 18441  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  25036
  Copyright terms: Public domain W3C validator