MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad3 25157
Description: Extend lgsquad2 25156 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsquad3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Proof of Theorem lgsquad3
StepHypRef Expression
1 simplrl 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnz 11437 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nnz 11437 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
54ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 lgscl 25081 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
73, 5, 6syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
87zred 11520 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ)
9 absresq 14086 . . . . . . 7 ((𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
11 gcdcom 15282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
123, 5, 11syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
13 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
1412, 13eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
15 lgsabs1 25106 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
163, 5, 15syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
1714, 16mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1)
1817oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = (1↑2))
19 sq1 12998 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2018, 19syl6eq 2701 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = 1)
217zcnd 11521 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℂ)
2221sqvald 13045 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 /L 𝑀)↑2) = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
2310, 20, 223eqtr3d 2693 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
2423oveq2d 6706 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
25 lgscl 25081 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
265, 3, 25syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2726zcnd 11521 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℂ)
2827, 21, 21mulassd 10101 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
2924, 28eqtr4d 2688 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)))
3027mulid1d 10095 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (𝑀 /L 𝑁))
31 simplll 813 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
32 simpllr 815 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
33 simplrr 818 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
3431, 32, 1, 33, 13lgsquad2 25156 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
3534oveq1d 6705 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
3629, 30, 353eqtr3d 2693 . 2 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
37 neg1cn 11162 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ∈ ℂ)
39 neg1ne0 11164 . . . . . 6 -1 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ≠ 0)
414ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 simpllr 815 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
43 1zzd 11446 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
44 2prm 15452 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℙ
45 nprmdvds1 15465 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
4644, 45mp1i 13 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
47 omoe 15135 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
4841, 42, 43, 46, 47syl22anc 1367 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
49 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
5049a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∈ ℤ)
51 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ≠ 0)
53 peano2zm 11458 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5441, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
55 dvdsval2 15030 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
5748, 56mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ)
582adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5958ad2antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
60 simplrr 818 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
61 omoe 15135 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
6259, 60, 43, 46, 61syl22anc 1367 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
63 peano2zm 11458 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6459, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
65 dvdsval2 15030 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6650, 52, 64, 65syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6762, 66mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
6857, 67zmulcld 11526 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
6938, 40, 68expclzd 13053 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
7069mul01d 10273 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0) = 0)
71 lgsne0 25105 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
7211eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
7371, 72bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
742, 4, 73syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
7574necon1bbid 2862 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
7675ad2ant2r 798 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
7776biimpa 500 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) = 0)
7877oveq2d 6706 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0))
79 lgsne0 25105 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
8079necon1bbid 2862 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
814, 2, 80syl2an 493 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
8281ad2ant2r 798 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
8382biimpa 500 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = 0)
8470, 78, 833eqtr4rd 2696 . 2 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
8536, 84pm2.61dan 849 1 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cexp 12900  abscabs 14018  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432   /L clgs 25064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-imas 16215  df-qus 16216  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-nzr 19306  df-rlreg 19331  df-domn 19332  df-idom 19333  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-lgs 25065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator