Theorem rpge0 12403

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12402	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10643	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10729	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ℝcr 10536  0cc0 10537   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  rprege0  12405  rpge0d  12436  xralrple  12599  xlemul1  12684  infmrp1  12738  sqrlem1  14602  rpsqrtcl  14624  divrcnv  15207  ef01bndlem  15537  stdbdmet  23126  reconnlem2  23435  cphsqrtcl3  23791  iscmet3lem3  23893  minveclem3  24032  itg2const2  24342  itg2mulclem  24347  aalioulem2  24922  pige3ALT  25105  argregt0  25193  argrege0  25194  2irrexpq  25313  cxpcn3  25329  cxplim  25549  cxp2lim  25554  divsqrtsumlem  25557  logdiflbnd  25572  basellem4  25661  ppiltx  25754  bposlem8  25867  bposlem9  25868  chebbnd1  26048  mulog2sumlem2  26111  selbergb  26125  selberg2b  26128  nmcexi  29803  nmcopexi  29804  nmcfnexi  29828  sqsscirc1  31151  divsqrtid  31865  logdivsqrle  31921  hgt750lem2  31923  subfacval3  32436  ptrecube  34907  heicant  34942  itg2addnclem  34958  itg2gt0cn  34962  areacirclem1  34997  areacirclem4  35000  areacirc  35002  cntotbnd  35089  xralrple4  41661  xralrple3  41662  fourierdlem103  42514  blenre  44654  itscnhlinecirc02plem3  44791  itscnhlinecirc02p  44792