Theorem rpge0 12058

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12052	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12057	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10252	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10338	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ℝcr 10147  0cc0 10148   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℝ⁺crp 12045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-rp 12046

This theorem is referenced by:  rprege0  12060  rpge0d  12089  xralrple  12249  xlemul1  12333  infmrp1  12387  sqrlem1  14202  rpsqrtcl  14224  divrcnv  14803  ef01bndlem  15133  stdbdmet  22542  reconnlem2  22851  cphsqrtcl3  23207  iscmet3lem3  23308  minveclem3  23420  itg2const2  23727  itg2mulclem  23732  aalioulem2  24307  pige3  24489  argregt0  24576  argrege0  24577  cxpcn3  24709  cxplim  24918  cxp2lim  24923  divsqrtsumlem  24926  logdiflbnd  24941  basellem4  25030  ppiltx  25123  bposlem8  25236  bposlem9  25237  chebbnd1  25381  mulog2sumlem2  25444  selbergb  25458  selberg2b  25461  nmcexi  29215  nmcopexi  29216  nmcfnexi  29240  sqsscirc1  30284  divsqrtid  31002  logdivsqrle  31058  hgt750lem2  31060  subfacval3  31499  ptrecube  33740  heicant  33775  itg2addnclem  33792  itg2gt0cn  33796  areacirclem1  33831  areacirclem4  33834  areacirc  33836  cntotbnd  33926  xralrple4  40105  xralrple3  40106  fourierdlem103  40947  blenre  42896