Theorem rpge0 11680

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 11674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 11679	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 9897	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 9978	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 63	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4578  ℝcr 9792  0cc0 9793   < clt 9931   ≤ cle 9932  ℝ⁺crp 11667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-rp 11668

This theorem is referenced by:  rprege0  11682  rpge0d  11711  xralrple  11872  xlemul1  11952  infmrp1  12004  sqrlem1  13780  rpsqrtcl  13802  divrcnv  14372  ef01bndlem  14702  stdbdmet  22079  reconnlem2  22386  cphsqrtcl3  22740  iscmet3lem3  22841  minveclem3  22953  itg2const2  23259  itg2mulclem  23264  aalioulem2  23837  pige3  24018  argregt0  24105  argrege0  24106  cxpcn3  24234  cxplim  24443  cxp2lim  24448  divsqrtsumlem  24451  logdiflbnd  24466  basellem4  24555  ppiltx  24648  bposlem8  24761  bposlem9  24762  chebbnd1  24906  mulog2sumlem2  24969  selbergb  24983  selberg2b  24986  nmcexi  28063  nmcopexi  28064  nmcfnexi  28088  sqsscirc1  29076  subfacval3  30219  ptrecube  32373  heicant  32408  itg2addnclem  32425  itg2gt0cn  32429  areacirclem1  32464  areacirclem4  32467  areacirc  32469  cntotbnd  32559  xralrple4  38324  xralrple3  38325  fourierdlem103  38896  blenre  42158