MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumlem 24640
Description: Lemma for divsqrsum 24642 and divsqrtsum2 24643. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 12209 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2630 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
3 nnuz 11683 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4 1zzd 11368 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5 0red 10001 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6 1re 9999 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
7 0nn0 11267 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
86, 7nn0addge2i 11302 . . . . . 6 1 ≤ (0 + 1)
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10 2re 11050 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 rpsqrtcl 13955 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1312rpred 11832 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14 remulcl 9981 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1510, 13, 14sylancr 694 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612rprecred 11843 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17 nnrp 11802 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
1817, 16sylan2 491 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 reelprrecn 9988 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
2112rpcnd 11834 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22 2rp 11797 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
23 rpmulcl 11815 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2422, 12, 23sylancr 694 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 11842 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26 dvsqrt 24417 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
2726a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28 2cnd 11053 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 23667 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30 2cnd 11053 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31 1cnd 10016 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
3224rpcnne0d 11841 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33 divass 10663 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3512rpcnne0d 11841 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36 rpcnne0 11810 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
3722, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38 divcan5 10687 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
3931, 35, 37, 38syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2657 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
4140mpteq2dva 4714 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
4229, 41eqtrd 2655 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
4443oveq2d 6631 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45 simp3r 1088 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥𝑛)
46 simp2l 1085 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rprege0d 11839 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48 simp2r 1086 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4948rprege0d 11839 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50 sqrtle 13951 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5147, 49, 50syl2anc 692 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5245, 51mpbid 222 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
5346rpsqrtcld 14100 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
5448rpsqrtcld 14100 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
5553, 54lerecd 11851 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
5652, 55mpbid 222 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57 divsqrtsum.2 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58 sqrtlim 24633 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
5958a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
6160oveq2d 6631 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 23734 . . . 4 (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
6362simp1d 1071 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
6463trud 1490 . 2 𝐹:ℝ+⟶ℝ
6562simp2d 1072 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
6665trud 1490 . 2 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67 rpge0 11805 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
6867adantl 482 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
6962simp3d 1073 . . . 4 (⊤ → ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
7069trud 1490 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7168, 70mpd3an3 1422 . 2 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7264, 66, 713pm3.2i 1237 1 (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wne 2790  {cpr 4157   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  +crp 11792  (,)cioo 12133  ...cfz 12284  cfl 12547  csqrt 13923  abscabs 13924  𝑟 crli 14166  Σcsu 14366   D cdv 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-cxp 24242
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  24641  divsqrsum  24642  divsqrtsum2  24643
  Copyright terms: Public domain W3C validator