MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumlem 24423
Description: Lemma for divsqrsum 24425 and divsqrtsum2 24426. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 12078 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2618 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
3 nnuz 11555 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4 1zzd 11241 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5 0red 9897 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
7 0nn0 11154 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
86, 7nn0addge2i 11189 . . . . . 6 1 ≤ (0 + 1)
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10 2re 10937 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 rpsqrtcl 13799 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1211adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1312rpred 11704 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14 remulcl 9877 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1510, 13, 14sylancr 693 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612rprecred 11715 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17 nnrp 11674 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
1817, 16sylan2 489 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 reelprrecn 9884 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
2112rpcnd 11706 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22 2rp 11669 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
23 rpmulcl 11687 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2422, 12, 23sylancr 693 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 11714 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26 dvsqrt 24200 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
2726a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28 2cnd 10940 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 23450 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30 2cnd 10940 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31 1cnd 9912 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
3224rpcnne0d 11713 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33 divass 10552 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3512rpcnne0d 11713 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36 rpcnne0 11682 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
3722, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38 divcan5 10576 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
3931, 35, 37, 38syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2645 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
4140mpteq2dva 4666 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
4229, 41eqtrd 2643 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
4443oveq2d 6543 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45 simp3r 1082 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥𝑛)
46 simp2l 1079 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rprege0d 11711 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48 simp2r 1080 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4948rprege0d 11711 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50 sqrtle 13795 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5147, 49, 50syl2anc 690 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5245, 51mpbid 220 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
5346rpsqrtcld 13944 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
5448rpsqrtcld 13944 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
5553, 54lerecd 11723 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
5652, 55mpbid 220 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57 divsqrtsum.2 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58 sqrtlim 24416 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
5958a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
6160oveq2d 6543 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 23517 . . . 4 (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
6362simp1d 1065 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
6463trud 1483 . 2 𝐹:ℝ+⟶ℝ
6562simp2d 1066 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
6665trud 1483 . 2 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67 rpge0 11677 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
6867adantl 480 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
6962simp3d 1067 . . . 4 (⊤ → ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
7069trud 1483 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7168, 70mpd3an3 1416 . 2 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7264, 66, 713pm3.2i 1231 1 (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  +crp 11664  (,)cioo 12002  ...cfz 12152  cfl 12408  csqrt 13767  abscabs 13768  𝑟 crli 14010  Σcsu 14210   D cdv 23350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  24424  divsqrsum  24425  divsqrtsum2  24426
  Copyright terms: Public domain W3C validator