MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1 24906
Description: The Chebyshev bound: The function π(𝑥) is eventually lower bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function (𝑥 / log(𝑥)) / π(𝑥) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd1
StepHypRef Expression
1 2re 10940 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 pnfxr 11784 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
3 icossre 12084 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 703 . . . 4 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
54a1i 11 . . 3 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
6 elicopnf 12099 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
71, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
87simplbi 474 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 0red 9898 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
10 1re 9896 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12 0lt1 10402 . . . . . . . . . 10 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 1)
141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
15 1lt2 11044 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
177simprbi 478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
1811, 14, 8, 16, 17ltletrd 10049 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
199, 11, 8, 13, 18lttrd 10050 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
208, 19elrpd 11704 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
218, 18rplogcld 24124 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2220, 21rpdivcld 11724 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23 ppinncl 24645 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
247, 23sylbi 205 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ)
2524nnrpd 11705 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
2622, 25rpdivcld 11724 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 11709 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
2827adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
29 8re 10955 . . . 4 8 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . 3 (⊤ → 8 ∈ ℝ)
31 2rp 11672 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
32 relogcl 24071 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℝ
34 ere 14607 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ
351, 34remulcli 9911 . . . . . . . 8 (2 · e) ∈ ℝ
36 2pos 10962 . . . . . . . . . 10 0 < 2
37 epos 14723 . . . . . . . . . 10 0 < e
381, 34, 36, 37mulgt0ii 10022 . . . . . . . . 9 0 < (2 · e)
3935, 38gt0ne0ii 10416 . . . . . . . 8 (2 · e) ≠ 0
4035, 39rereccli 10642 . . . . . . 7 (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
4133, 40resubcli 10195 . . . . . 6 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
42 2t1e2 11026 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
43 egt2lt3 14722 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < e ∧ e < 3)
4443simpli 472 . . . . . . . . . . . 12 2 < e
4510, 1, 34lttri 10015 . . . . . . . . . . . 12 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
4615, 44, 45mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 1 < e
4710, 34, 1ltmul2i 10797 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 2 → (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e)))
4836, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e))
4946, 48mpbi 218 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) < (2 · e)
5042, 49eqbrtrri 4600 . . . . . . . . 9 2 < (2 · e)
511, 35, 36, 38ltrecii 10792 . . . . . . . . 9 (2 < (2 · e) ↔ (1 / (2 · e)) < (1 / 2))
5250, 51mpbi 218 . . . . . . . 8 (1 / (2 · e)) < (1 / 2)
5343simpri 476 . . . . . . . . . . . 12 e < 3
54 3lt4 11047 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
55 3re 10944 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
56 4re 10947 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
5734, 55, 56lttri 10015 . . . . . . . . . . . 12 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
5853, 54, 57mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 e < 4
59 epr 14724 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
60 4pos 10966 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
6156, 60elrpii 11670 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ+
62 logltb 24095 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4)))
6359, 61, 62mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4))
6458, 63mpbi 218 . . . . . . . . . 10 (log‘e) < (log‘4)
65 loge 24082 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
66 sq2 12780 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
6766fveq2i 6091 . . . . . . . . . . 11 (log‘(2↑2)) = (log‘4)
68 2z 11245 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
69 relogexp 24091 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
7031, 68, 69mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
7167, 70eqtr3i 2633 . . . . . . . . . 10 (log‘4) = (2 · (log‘2))
7264, 65, 713brtr3i 4606 . . . . . . . . 9 1 < (2 · (log‘2))
731, 36pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
74 ltdivmul 10750 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2))))
7510, 33, 73, 74mp3an 1415 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2)))
7672, 75mpbir 219 . . . . . . . 8 (1 / 2) < (log‘2)
77 halfre 11096 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
7840, 77, 33lttri 10015 . . . . . . . 8 (((1 / (2 · e)) < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (log‘2)) → (1 / (2 · e)) < (log‘2))
7952, 76, 78mp2an 703 . . . . . . 7 (1 / (2 · e)) < (log‘2)
8040, 33posdifi 10430 . . . . . . 7 ((1 / (2 · e)) < (log‘2) ↔ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
8179, 80mpbi 218 . . . . . 6 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e)))
8241, 81elrpii 11670 . . . . 5 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+
83 rerpdivcl 11696 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
841, 82, 83mp2an 703 . . . 4 (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ
8584a1i 11 . . 3 (⊤ → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
86 rpre 11674 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
87 rpge0 11680 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
8886, 87absidd 13958 . . . . . . 7 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
8926, 88syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
9089adantr 479 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
91 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (⌊‘(𝑥 / 2)) = (⌊‘(𝑥 / 2))
9291chebbnd1lem3 24905 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
938, 92sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
941recni 9909 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
95 2ne0 10963 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
9641recni 9909 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ
9741, 81gt0ne0ii 10416 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0
98 recdiv 10583 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0)) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
9994, 95, 96, 97, 98mp4an 704 . . . . . . . . 9 (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2)
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
10122rpcnd 11709 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
10224nncnd 10886 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
10322rpne0d 11712 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ≠ 0)
10424nnne0d 10915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ≠ 0)
105101, 102, 103, 104recdivd 10670 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
106102, 101, 103divrecd 10656 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((π𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
10720rpcnne0d 11716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
10821rpcnne0d 11716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
109 recdiv 10583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
110107, 108, 109syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
111110oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
112105, 106, 1113eqtrd 2647 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
113112adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
11493, 100, 1133brtr4d 4609 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
11526adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
116 elrp 11669 . . . . . . . . 9 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
1171, 41, 36, 81divgt0ii 10793 . . . . . . . . . 10 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
118 ltrec 10757 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∧ ((2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
11984, 117, 118mpanr12 716 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
120116, 119sylbi 205 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
121115, 120syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
122114, 121mpbird 245 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
123115rpred 11707 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
124 ltle 9978 . . . . . . 7 ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
125123, 84, 124sylancl 692 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
126122, 125mpd 15 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
12790, 126eqbrtrd 4599 . . . 4 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
128127adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
1295, 28, 30, 85, 128elo1d 14064 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1))
130129trud 1483 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   · cmul 9798  +∞cpnf 9928  *cxr 9930   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118   / cdiv 10536  cn 10870  2c2 10920  3c3 10921  4c4 10922  8c8 10926  cz 11213  +crp 11667  [,)cico 12007  cfl 12411  cexp 12680  abscabs 13771  𝑂(1)co1 14014  eceu 14581  logclog 24050  πcppi 24565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-o1 14018  df-lo1 14019  df-sum 14214  df-ef 14586  df-e 14587  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-prm 15173  df-pc 15329  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-ppi 24571
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  24908  chto1lb  24912
  Copyright terms: Public domain W3C validator