areacirclem4 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem areacirclem4 35000

Description: Endpoint-inclusive continuity of antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
areacirclem4	⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))

Distinct variable group: 𝑡,𝑅

**Proof of Theorem areacirclem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12400	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 13509	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3		rpre 12398	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11067	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ)
5		iccssre 12819	. . . . 5 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 10594	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3979	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ)
9		ssid 3989	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℂ ⊆ ℂ)
11		cncfmptc 23519	. . 3 ⊢ (((𝑅↑2) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
12	2, 8, 10, 11	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
13		eqid 2821	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
14	13	addcn 23473	. . . 4 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
16	8	sselda 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
17	1	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
18		rpne0 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ≠ 0)
19	18	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
20	16, 17, 19	divcld 11416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
21		asinval 25460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
23		ax-icn 10596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → i ∈ ℂ)
25	24, 20	mulcld 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
26		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
27	20	sqcld 13509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
28	26, 27	subcld 10997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 14797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
31		0lt1 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
32		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
33	32	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = (0 / 𝑅))
34	1, 18	div0d 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 / 𝑅) = 0)
35	34	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 / 𝑅) = 0)
36	33, 35	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = 0)
37	36	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · 0))
38		it0e0 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (i · 0) = 0
39	37, 38	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = 0)
40	36	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = (0↑2))
41	40	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (1 − (0↑2)))
42	41	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − (0↑2))))
43		sq0 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0↑2) = 0
44	43	oveq2i 7167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 − (0↑2)) = (1 − 0)
45		1m0e1 11759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 − 0) = 1
46	44, 45	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − (0↑2)) = 1
47	46	fveq2i 6673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (√‘(1 − (0↑2))) = (√‘1)
48		sqrt1 14631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (√‘1) = 1
49	47, 48	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (√‘(1 − (0↑2))) = 1
50	42, 49	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = 1)
51	39, 50	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (0 + 1))
52		0p1e1 11760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
53	51, 52	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = 1)
54	53	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ 0 < 1))
55		0red 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ ℝ)
56		1red 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 1 ∈ ℝ)
57	53, 56	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
58	55, 57	ltnled 10787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
59	54, 58	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < 1 ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
60	31, 59	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
61	60	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
62	61	olcd 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
63		inelr 11628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
64	25, 29	pncand 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
65	64	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
66	65	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)))
67	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
68	20	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
69	1	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℂ)
70	16	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
71		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ≠ 0)
72	69, 70, 71	divcld 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℂ)
73	67, 68, 72	mulassd 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
74	66, 73	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
75	18	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ≠ 0)
76	70, 69, 71, 75	divcan6d 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡)) = 1)
77	76	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))) = (i · 1))
78	67	mulid1d 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · 1) = i)
79	74, 77, 78	3eqtrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
80	79	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
81		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
82		1red 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
83	6	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
84	3	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
85	83, 84, 19	redivcld 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
86	85	resqcld 13612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
87	82, 86	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
88		elicc2 12802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
89	4, 3, 88	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
90		1red 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
91		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
92	3	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
93	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
94	91, 92, 93	redivcld 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
95	94	resqcld 13612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
96	90, 95	subge0d 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ↔ ((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1))
97		recn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
98	97	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
99	1	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
100	98, 99, 93	sqdivd 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
101	100	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1))
102		resqcl 13491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
103	102	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
104	3	resqcld 13612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
105		rpgt0 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑅)
106		0red 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
107		0le0 11739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 0 ≤ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 0)
109		rpge0 12403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
110	106, 3, 108, 109	lt2sqd 13620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
111	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0↑2) = 0)
112	111	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
113	110, 112	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
114	105, 113	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑅↑2))
115	104, 114	elrpd 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
116	115	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
117	103, 90, 116	ledivmuld 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1)))
118		absresq 14662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
119	118	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) = ((abs‘𝑡)↑2))
120	2	mulid1d 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
121	119, 120	breqan12rd 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
122	97	abscld 14796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
123	122	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
124	97	absge0d 14804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
125	124	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
126	109	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
127	123, 92, 125, 126	le2sqd 13621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
128	91, 92	absled 14790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
129	121, 127, 128	3bitr2d 309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
130	117, 129	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
131	96, 101, 130	3bitrrd 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) ↔ 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
132	131	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
133	132	exp4b 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 ≤ 𝑡 → (𝑡 ≤ 𝑅 → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
134	133	3impd 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
135	89, 134	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
136	135	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
137	87, 136	resqrtcld 14777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
138	137	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
139	138	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
140	81, 139	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
141	3	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
142	83	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
143	141, 142, 71	redivcld 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
144	143	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
145	140, 144	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) ∈ ℝ)
146	80, 145	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
147	146	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
148	147	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
149	63, 148	mtoi 201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
150	149	orcd 869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
151	62, 150	pm2.61dane 3104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
152		ianor 978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
153	151, 152	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
154		mnfxr 10698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
155		0re 10643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
156		elioc2 12800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)))
157	154, 155, 156	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
158		3simpb 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
159	157, 158	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
160	153, 159	nsyl 142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
161	30, 160	eldifd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
162		fvres 6689	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
163	161, 162	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
164	163	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
165	22, 164	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
166	165	mpteq2dva 5161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))))
167		negicn 10887	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
168	167	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -i ∈ ℂ)
169		cncfmptc 23519	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
170	168, 8, 10, 169	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
171	13	cnfldtopon 23391	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
172	171	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ))
173		resttopon 21769	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
174	172, 8, 173	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
175	161	fmpttd 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
176		difssd 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ)
177	16, 17, 19	divrec2d 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · 𝑡))
178	177	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
179	1, 18	reccld 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
180	179	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
181	24, 180, 16	mulassd 10664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
182	178, 181	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡))
183	182	mpteq2dva 5161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)))
184	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → i ∈ ℂ)
185	184, 179	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
186		cncfmptc 23519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
187	185, 8, 10, 186	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
188		cncfmptid 23520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
189	8, 10, 188	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
190	187, 189	mulcncf 24047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
191	183, 190	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
192	17, 29	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
193	192, 17, 19	divrec2d 11420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
194	29, 17, 19	divcan3d 11421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
195	104	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
196	3	sqge0d 13613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑅↑2))
197	196	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
198	195, 197, 87, 136	sqrtmuld 14784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
199	2	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
200	199, 26, 27	subdid 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
201	199	mulid1d 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
202	16, 17, 19	sqdivd 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
203	202	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
204	16	sqcld 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
205		sqne0 13490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
206	1, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
207	18, 206	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ≠ 0)
208	207	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
209	204, 199, 208	divcan2d 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
210	203, 209	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
211	201, 210	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
212	200, 211	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
213	212	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
214	109	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ 𝑅)
215	84, 214	sqrtsqd 14779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
216	215	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
217	198, 213, 216	3eqtr3rd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
218	217	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
219	193, 194, 218	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
220	219	mpteq2dva 5161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
221		cncfmptc 23519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 / 𝑅) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
222	179, 8, 10, 221	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
223		areacirclem2 34998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
224	3, 109, 223	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
225	222, 224	mulcncf 24047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
226	220, 225	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
227	13, 15, 191, 226	cncfmpt2f 23522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
228		cncffvrn 23506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
229	176, 227, 228	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
230	175, 229	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
231		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅))
232		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
233	13, 231, 232	cncfcn 23517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
234	8, 176, 233	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
235	230, 234	eleqtrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
236		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
237	236	logcn 25230	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
238		difss 4108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
239		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)
240	13, 232, 239	cncfcn 23517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
241	238, 9, 240	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ))
242	237, 241	eleqtri 2911	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ))
243	242	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
244	174, 235, 243	cnmpt11f 22272	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
245	13, 231, 239	cncfcn 23517	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
246	8, 10, 245	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
247	244, 246	eleqtrrd 2916	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
248	170, 247	mulcncf 24047	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
249	166, 248	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
250	219	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
251	199, 204	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
252	251	sqrtcld 14797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
253	20, 180, 252	mulassd 10664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
254	16, 17, 19	divrecd 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = (𝑡 · (1 / 𝑅)))
255	254	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)))
256	16, 180, 180	mulassd 10664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
257	255, 256	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
258	257	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
259	250, 253, 258	3eqtr2d 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
260	259	mpteq2dva 5161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
261	179, 179	mulcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
262		cncfmptc 23519	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
263	261, 8, 10, 262	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
264	189, 263	mulcncf 24047	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
265	264, 224	mulcncf 24047	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
266	260, 265	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
267	13, 15, 249, 266	cncfmpt2f 23522	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
268	12, 267	mulcncf 24047	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∨ wo 843 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3016 ∖ cdif 3933 ⊆ wss 3936 class class class wbr 5066 ↦ cmpt 5146 ↾ cres 5557 ⟶wf 6351 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 1c1 10538 ici 10539 + caddc 10540 · cmul 10542 -∞cmnf 10673 ℝ^*cxr 10674 < clt 10675 ≤ cle 10676 − cmin 10870 -cneg 10871 / cdiv 11297 2c2 11693 ℝ⁺crp 12390 (,]cioc 12740 [,]cicc 12742 ↑cexp 13430 √csqrt 14592 abscabs 14593 ↾_t crest 16694 TopOpenctopn 16695 ℂ_fldccnfld 20545 TopOnctopon 21518 Cn ccn 21832 ×_t ctx 22168 –cn→ccncf 23484 logclog 25138 arcsincasin 25440

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-inf2 9104 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615 ax-addf 10616 ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-int 4877 df-iun 4921 df-iin 4922 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-se 5515 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-isom 6364 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-of 7409 df-om 7581 df-1st 7689 df-2nd 7690 df-supp 7831 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-1o 8102 df-2o 8103 df-oadd 8106 df-er 8289 df-map 8408 df-pm 8409 df-ixp 8462 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-fin 8513 df-fsupp 8834 df-fi 8875 df-sup 8906 df-inf 8907 df-oi 8974 df-card 9368 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-4 11703 df-5 11704 df-6 11705 df-7 11706 df-8 11707 df-9 11708 df-n0 11899 df-z 11983 df-dec 12100 df-uz 12245 df-q 12350 df-rp 12391 df-xneg 12508 df-xadd 12509 df-xmul 12510 df-ioo 12743 df-ioc 12744 df-ico 12745 df-icc 12746 df-fz 12894 df-fzo 13035 df-fl 13163 df-mod 13239 df-seq 13371 df-exp 13431 df-fac 13635 df-bc 13664 df-hash 13692 df-shft 14426 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-limsup 14828 df-clim 14845 df-rlim 14846 df-sum 15043 df-ef 15421 df-sin 15423 df-cos 15424 df-tan 15425 df-pi 15426 df-struct 16485 df-ndx 16486 df-slot 16487 df-base 16489 df-sets 16490 df-ress 16491 df-plusg 16578 df-mulr 16579 df-starv 16580 df-sca 16581 df-vsca 16582 df-ip 16583 df-tset 16584 df-ple 16585 df-ds 16587 df-unif 16588 df-hom 16589 df-cco 16590 df-rest 16696 df-topn 16697 df-0g 16715 df-gsum 16716 df-topgen 16717 df-pt 16718 df-prds 16721 df-xrs 16775 df-qtop 16780 df-imas 16781 df-xps 16783 df-mre 16857 df-mrc 16858 df-acs 16860 df-mgm 17852 df-sgrp 17901 df-mnd 17912 df-submnd 17957 df-mulg 18225 df-cntz 18447 df-cmn 18908 df-psmet 20537 df-xmet 20538 df-met 20539 df-bl 20540 df-mopn 20541 df-fbas 20542 df-fg 20543 df-cnfld 20546 df-top 21502 df-topon 21519 df-topsp 21541 df-bases 21554 df-cld 21627 df-ntr 21628 df-cls 21629 df-nei 21706 df-lp 21744 df-perf 21745 df-cn 21835 df-cnp 21836 df-haus 21923 df-cmp 21995 df-tx 22170 df-hmeo 22363 df-fil 22454 df-fm 22546 df-flim 22547 df-flf 22548 df-xms 22930 df-ms 22931 df-tms 22932 df-cncf 23486 df-limc 24464 df-dv 24465 df-log 25140 df-cxp 25141 df-asin 25443

This theorem is referenced by: areacirc 35002

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