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Theorem fllog2 42687
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fllog2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11438 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 2rp 11875 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈ ℝ+)
5 elfzoelz 12509 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
65zred 11520 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8 elfzo2 12512 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
9 eluz2 11731 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
10 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
12 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
14 expgt0 12933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
1511, 1, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
17 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
18 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
21 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2417, 20, 22, 23syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2516, 24mpand 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
2625ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
2726com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
28273impia 1280 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
299, 28sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
30293ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
318, 30sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
3231impcom 445 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
337, 32elrpd 11907 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
34 1ne2 11278 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3534necomi 2877 . . . . . 6 2 ≠ 1
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
37 relogbcl 24556 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
384, 33, 36, 37syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
3938flcld 12639 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
40 eluzelz 11735 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 zltlem1 11468 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
4240, 41sylan 487 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
43 2z 11447 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
44 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘2)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ (ℤ‘2))
47 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
4911, 1, 133jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
50493ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
5150, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
52 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
53183ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
54213ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5552, 53, 54, 23syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
5651, 55mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
57563exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
59583imp 1275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
609, 59sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
6160imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
6248, 61elrpd 11907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6362adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6410a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
65 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6764, 66reexpcld 13065 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
68 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
70 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
71 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
7311, 70, 723jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
75 expgt1 12938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
77 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
78 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
7978ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8077, 79posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
8176, 80mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
8269, 81elrpd 11907 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
83 logbleb 24566 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
8446, 63, 82, 83syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
8647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8861adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
8987, 88elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
9185, 89, 90, 37syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ‘2))
9411, 65reexpcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
9594, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
9611, 70, 72, 75syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
97 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
9897, 94posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
9996, 98mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
10095, 99elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
10193, 100jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
103 relogbzcl 24557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
106 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
107 flwordi 12653 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
10892, 105, 106, 107syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
109108ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
11070adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
111 logbpw2m1 42686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
113 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
114 pncan1 10492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
117112, 116eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
118117breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
119109, 118sylibd 229 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
12084, 119sylbid 230 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
121120ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
122121com23 86 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
12342, 122sylbid 230 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
1241233impia 1280 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
1258, 124sylbi 207 . . . 4 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
126125impcom 445 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
127 nn0re 11339 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
128 nn0ge0 11356 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
129 flge0nn0 12661 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
130127, 128, 129syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
131130nn0red 11390 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
132131adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
133127adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
134 flle 12640 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
135127, 134syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
136135adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
1373a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
138137, 1rpexpcld 13072 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
13935a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
140 relogbcl 24556 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
141137, 138, 139, 140syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
142141adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
143127leidd 10632 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼𝐼)
144 nnlogbexp 24564 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
14593, 1, 144syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
146143, 145breqtrrd 4713 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
147146adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
148 elfzole1 12517 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
149148adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
15045a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈ (ℤ‘2))
151138adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
152 logbleb 24566 . . . . . . . 8 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
153150, 151, 33, 152syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
154149, 153mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
155133, 142, 38, 147, 154letrd 10232 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
156132, 133, 38, 136, 155letrd 10232 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
157 flflp1 12648 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
158133, 38, 157syl2anc 694 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
159156, 158mpbid 222 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
160 zgeltp1eq 41643 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
161160imp 444 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
1622, 39, 126, 159, 161syl22anc 1367 . 2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
163162eqcomd 2657 1 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ..^cfzo 12504  cfl 12631  cexp 12900   logb clogb 24547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-logb 24548
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