Theorem 3nn 9467

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	|- 3 e. NN

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9364	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
2		2nn 9466	. . 3 |- 2 e. NN
3		peano2nn 9316	. . 3 |- ( 2 e. NN -> ( 2 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 2 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2311	1 |- 3 e. NN

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   NNcn 9304   2c2 9355   3c3 9356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364

This theorem is used by:  4nn  9468  3nn0  9581  3z  9673  ige3m2fz  10454  sin01bnd  12524  5ndvds3  12701  3lcm2e6woprm  12864  3lcm2e6  12938  mulrndx  13484  mulridx  13485  mulrslid  13486  rngstrg  13489  unifndx  13580  unifid  13581  unifndxnn  13582  slotsdifunifndx  13586  cnfldstr  14895  tangtx  15939  log2tlbndlog2  16082  log2ublem1  16083  log2ublem2  16084  log2ublog2  16086  lgsdir2lem1  16147  lgsdir2lem5  16151  usgrexmpldifpr  16490