Theorem 3nn 9478

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	|- 3 e. NN

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9373	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
2		2nn 9477	. . 3 |- 2 e. NN
3		peano2nn 9325	. . 3 |- ( 2 e. NN -> ( 2 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 2 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2311	1 |- 3 e. NN

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373

This theorem is used by:  4nn  9479  3nn0  9592  3z  9684  ige3m2fz  10471  sin01bnd  12549  5ndvds3  12726  3lcm2e6woprm  12889  3lcm2e6  12964  5prm  13252  6nprm  13253  7prm  13254  9nprm  13256  11prm  13258  13prm  13259  17prm  13260  19prm  13261  23prm  13262  prmlem2  13263  37prm  13264  43prm  13265  83prm  13266  139prm  13267  163prm  13268  317prm  13269  631prm  13270  1259lem5  13275  mulrndx  13543  mulridx  13544  mulrslid  13545  rngstrg  13548  unifndx  13639  unifid  13640  unifndxnn  13641  slotsdifunifndx  13645  cnfldstr  15004  tangtx  16065  log2tlbndlog2  16220  log2ublem1  16221  log2ublem2  16222  log2ublog2  16224  ppiublem1  16291  ppiqub  16293  chtqub  16296  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316  bposlem9  16319  lgsdir2lem1  16352  lgsdir2lem5  16356  usgrexmpldifpr  16695