Theorem mulrslid 13160

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13119	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9269	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13052	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317   NNcn 9106   3c3 9158   ndxcnx 13024  Slot cslot 13026   .rcmulr 13106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-mulr 13119

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13166  ressmulrg  13173  srngmulrd  13177  ipsmulrd  13207  prdsex  13297  prdsval  13301  prdsmulr  13306  prdsmulrfval  13314  imasex  13333  imasival  13334  imasbas  13335  imasplusg  13336  imasmulr  13337  imasmulfn  13348  imasmulval  13349  imasmulf  13350  qusmulval  13365  qusmulf  13366  fnmgp  13880  mgpvalg  13881  mgpplusgg  13882  mgpex  13883  mgpbasg  13884  mgpscag  13885  mgptsetg  13886  mgpdsg  13888  mgpress  13889  isrng  13892  issrg  13923  isring  13958  ring1  14017  opprvalg  14027  opprmulfvalg  14028  opprex  14031  opprsllem  14032  subrngintm  14170  islmod  14249  rmodislmodlem  14308  sraval  14395  sralemg  14396  sramulrg  14399  srascag  14400  sravscag  14401  sraipg  14402  sraex  14404  crngridl  14488  mpocnfldmul  14521  zlmmulrg  14589  znmul  14600  psrval  14624  fnpsr  14625