Theorem mulrslid 13434

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13393	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9421	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13326	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5358   NNcn 9258   3c3 9310   ndxcnx 13298  Slot cslot 13300   .rcmulr 13380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1re 8238  ax-addrcl 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-ov 6062  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-mulr 13393

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13440  ressmulrg  13447  srngmulrd  13451  ipsmulrd  13481  imasex  13574  imasival  13575  imasbas  13576  imasplusg  13577  imasmulr  13578  imasmulfn  13589  imasmulval  13590  imasmulf  13591  qusmulval  13606  qusmulf  13607  prdsex  14119  prdsval  14120  prdsmulr  14125  prdsmulrfval  14133  fnmgp  14166  mgpvalg  14167  mgpplusgg  14168  mgpex  14169  mgpbasg  14170  mgpscag  14171  mgptsetg  14172  mgpdsg  14174  mgpress  14175  isrng  14178  issrg  14213  isring  14248  ring1  14307  opprvalg  14317  opprmulfvalg  14318  opprex  14321  opprsllem  14322  subrngintm  14463  islmod  14570  rmodislmodlem  14629  sraval  14716  sralemg  14717  sramulrg  14720  srascag  14721  sravscag  14722  sraipg  14723  sraex  14725  crngridl  14809  mpocnfldmul  14842  zlmmulrg  14910  znmul  14921  psrval  14945  fnpsr  14946