Theorem mulrslid 13180

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13139	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9284	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13072	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318   NNcn 9121   3c3 9173   ndxcnx 13044  Slot cslot 13046   .rcmulr 13126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-mulr 13139

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13186  ressmulrg  13193  srngmulrd  13197  ipsmulrd  13227  prdsex  13317  prdsval  13321  prdsmulr  13326  prdsmulrfval  13334  imasex  13353  imasival  13354  imasbas  13355  imasplusg  13356  imasmulr  13357  imasmulfn  13368  imasmulval  13369  imasmulf  13370  qusmulval  13385  qusmulf  13386  fnmgp  13900  mgpvalg  13901  mgpplusgg  13902  mgpex  13903  mgpbasg  13904  mgpscag  13905  mgptsetg  13906  mgpdsg  13908  mgpress  13909  isrng  13912  issrg  13943  isring  13978  ring1  14037  opprvalg  14047  opprmulfvalg  14048  opprex  14051  opprsllem  14052  subrngintm  14191  islmod  14270  rmodislmodlem  14329  sraval  14416  sralemg  14417  sramulrg  14420  srascag  14421  sravscag  14422  sraipg  14423  sraex  14425  crngridl  14509  mpocnfldmul  14542  zlmmulrg  14610  znmul  14621  psrval  14645  fnpsr  14646