Theorem mulrslid 13545

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13504	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9478	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13435	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380   NNcn 9313   3c3 9365   ndxcnx 13407  Slot cslot 13409   .rcmulr 13491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-mulr 13504

This theorem is used by:  rngmulrg  13551  ressmulrg  13558  srngmulrd  13562  ipsmulrd  13592  imasex  13685  imasival  13686  imasbas  13687  imasplusg  13688  imasmulr  13689  imasmulfn  13700  imasmulval  13701  imasmulf  13702  qusmulval  13717  qusmulf  13718  prdsex  14279  prdsval  14280  prdsmulr  14285  prdsmulrfval  14293  fnmgp  14326  mgpvalg  14327  mgpplusgg  14328  mgpex  14330  mgpbasg  14331  mgpscag  14333  mgptsetg  14334  mgpdsg  14336  mgpress  14337  isrng  14340  issrg  14376  isring  14411  ring1  14471  opprvalg  14483  opprmulfvalg  14484  opprex  14487  opprsllem  14488  subrngintm  14629  islmod  14736  rmodislmodlem  14796  sraval  14883  sralemg  14884  sramulrg  14887  srascag  14888  sravscag  14889  sraipg  14890  sraex  14892  crngridl  14976  mpocnfldmul  15009  zlmmulrg  15075  znmul  15086  isassa  15111  psrval  15159  fnpsr  15160  psrmulrg  15186