Theorem mulrslid 13039

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12998	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9219	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 12932	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280   NNcn 9056   3c3 9108   ndxcnx 12904  Slot cslot 12906   .rcmulr 12985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-mulr 12998

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13045  ressmulrg  13052  srngmulrd  13056  ipsmulrd  13086  prdsex  13176  prdsval  13180  prdsmulr  13185  prdsmulrfval  13193  imasex  13212  imasival  13213  imasbas  13214  imasplusg  13215  imasmulr  13216  imasmulfn  13227  imasmulval  13228  imasmulf  13229  qusmulval  13244  qusmulf  13245  fnmgp  13759  mgpvalg  13760  mgpplusgg  13761  mgpex  13762  mgpbasg  13763  mgpscag  13764  mgptsetg  13765  mgpdsg  13767  mgpress  13768  isrng  13771  issrg  13802  isring  13837  ring1  13896  opprvalg  13906  opprmulfvalg  13907  opprex  13910  opprsllem  13911  subrngintm  14049  islmod  14128  rmodislmodlem  14187  sraval  14274  sralemg  14275  sramulrg  14278  srascag  14279  sravscag  14280  sraipg  14281  sraex  14283  crngridl  14367  mpocnfldmul  14400  zlmmulrg  14468  znmul  14479  psrval  14503  fnpsr  14504