Theorem mulrslid 12935

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12894	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9198	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 12828	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5270   NNcn 9035   3c3 9087   ndxcnx 12800  Slot cslot 12802   .rcmulr 12881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-mulr 12894

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12941  ressmulrg  12948  srngmulrd  12952  ipsmulrd  12982  prdsex  13072  prdsval  13076  prdsmulr  13081  prdsmulrfval  13089  imasex  13108  imasival  13109  imasbas  13110  imasplusg  13111  imasmulr  13112  imasmulfn  13123  imasmulval  13124  imasmulf  13125  qusmulval  13140  qusmulf  13141  fnmgp  13655  mgpvalg  13656  mgpplusgg  13657  mgpex  13658  mgpbasg  13659  mgpscag  13660  mgptsetg  13661  mgpdsg  13663  mgpress  13664  isrng  13667  issrg  13698  isring  13733  ring1  13792  opprvalg  13802  opprmulfvalg  13803  opprex  13806  opprsllem  13807  subrngintm  13945  islmod  14024  rmodislmodlem  14083  sraval  14170  sralemg  14171  sramulrg  14174  srascag  14175  sravscag  14176  sraipg  14177  sraex  14179  crngridl  14263  mpocnfldmul  14296  zlmmulrg  14364  znmul  14375  psrval  14399  fnpsr  14400