Theorem mulrslid 13205

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13164	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9296	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13097	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5324   NNcn 9133   3c3 9185   ndxcnx 13069  Slot cslot 13071   .rcmulr 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-mulr 13164

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13211  ressmulrg  13218  srngmulrd  13222  ipsmulrd  13252  prdsex  13342  prdsval  13346  prdsmulr  13351  prdsmulrfval  13359  imasex  13378  imasival  13379  imasbas  13380  imasplusg  13381  imasmulr  13382  imasmulfn  13393  imasmulval  13394  imasmulf  13395  qusmulval  13410  qusmulf  13411  fnmgp  13925  mgpvalg  13926  mgpplusgg  13927  mgpex  13928  mgpbasg  13929  mgpscag  13930  mgptsetg  13931  mgpdsg  13933  mgpress  13934  isrng  13937  issrg  13968  isring  14003  ring1  14062  opprvalg  14072  opprmulfvalg  14073  opprex  14076  opprsllem  14077  subrngintm  14216  islmod  14295  rmodislmodlem  14354  sraval  14441  sralemg  14442  sramulrg  14445  srascag  14446  sravscag  14447  sraipg  14448  sraex  14450  crngridl  14534  mpocnfldmul  14567  zlmmulrg  14635  znmul  14646  psrval  14670  fnpsr  14671