Theorem mulrslid 13535

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13494	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9471	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13426	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   NNcn 9306   3c3 9358   ndxcnx 13398  Slot cslot 13400   .rcmulr 13481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-mulr 13494

This theorem is used by:  rngmulrg  13541  ressmulrg  13548  srngmulrd  13552  ipsmulrd  13582  imasex  13675  imasival  13676  imasbas  13677  imasplusg  13678  imasmulr  13679  imasmulfn  13690  imasmulval  13691  imasmulf  13692  qusmulval  13707  qusmulf  13708  prdsex  14221  prdsval  14222  prdsmulr  14227  prdsmulrfval  14235  fnmgp  14268  mgpvalg  14269  mgpplusgg  14270  mgpex  14272  mgpbasg  14273  mgpscag  14275  mgptsetg  14276  mgpdsg  14278  mgpress  14279  isrng  14282  issrg  14318  isring  14353  ring1  14413  opprvalg  14423  opprmulfvalg  14424  opprex  14427  opprsllem  14428  subrngintm  14569  islmod  14676  rmodislmodlem  14736  sraval  14823  sralemg  14824  sramulrg  14827  srascag  14828  sravscag  14829  sraipg  14830  sraex  14832  crngridl  14916  mpocnfldmul  14949  zlmmulrg  15015  znmul  15026  isassa  15051  psrval  15099  fnpsr  15100