Theorem mulrslid 13539

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13498	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9472	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13429	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   NNcn 9307   3c3 9359   ndxcnx 13401  Slot cslot 13403   .rcmulr 13485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-mulr 13498

This theorem is used by:  rngmulrg  13545  ressmulrg  13552  srngmulrd  13556  ipsmulrd  13586  imasex  13679  imasival  13680  imasbas  13681  imasplusg  13682  imasmulr  13683  imasmulfn  13694  imasmulval  13695  imasmulf  13696  qusmulval  13711  qusmulf  13712  prdsex  14256  prdsval  14257  prdsmulr  14262  prdsmulrfval  14270  fnmgp  14303  mgpvalg  14304  mgpplusgg  14305  mgpex  14307  mgpbasg  14308  mgpscag  14310  mgptsetg  14311  mgpdsg  14313  mgpress  14314  isrng  14317  issrg  14353  isring  14388  ring1  14448  opprvalg  14458  opprmulfvalg  14459  opprex  14462  opprsllem  14463  subrngintm  14604  islmod  14711  rmodislmodlem  14771  sraval  14858  sralemg  14859  sramulrg  14862  srascag  14863  sravscag  14864  sraipg  14865  sraex  14867  crngridl  14951  mpocnfldmul  14984  zlmmulrg  15050  znmul  15061  isassa  15086  psrval  15134  fnpsr  15135  psrmulrg  15158