Theorem mulrslid 12592

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12552	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9083	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 12489	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218   NNcn 8921   3c3 8973   ndxcnx 12461  Slot cslot 12463   .rcmulr 12539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-mulr 12552

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12598  ressmulrg  12605  srngmulrd  12609  ipsmulrd  12639  prdsex  12723  imasex  12731  imasival  12732  imasbas  12733  imasplusg  12734  imasmulr  12735  imasmulfn  12746  imasmulval  12747  imasmulf  12748  qusmulval  12761  qusmulf  12762  fnmgp  13137  mgpvalg  13138  mgpplusgg  13139  mgpex  13140  mgpbasg  13141  mgpscag  13142  mgptsetg  13143  mgpdsg  13145  mgpress  13146  issrg  13153  isring  13188  ring1  13241  opprvalg  13246  opprmulfvalg  13247  opprex  13250  opprsllem  13251  islmod  13386  rmodislmodlem  13445  cnfldmul  13500