Theorem mulrslid 13429

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13388	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9417	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13321	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357   NNcn 9254   3c3 9306   ndxcnx 13293  Slot cslot 13295   .rcmulr 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-mulr 13388

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13435  ressmulrg  13442  srngmulrd  13446  ipsmulrd  13476  imasex  13569  imasival  13570  imasbas  13571  imasplusg  13572  imasmulr  13573  imasmulfn  13584  imasmulval  13585  imasmulf  13586  qusmulval  13601  qusmulf  13602  prdsex  14114  prdsval  14115  prdsmulr  14120  prdsmulrfval  14128  fnmgp  14161  mgpvalg  14162  mgpplusgg  14163  mgpex  14164  mgpbasg  14165  mgpscag  14166  mgptsetg  14167  mgpdsg  14169  mgpress  14170  isrng  14173  issrg  14208  isring  14243  ring1  14302  opprvalg  14312  opprmulfvalg  14313  opprex  14316  opprsllem  14317  subrngintm  14458  islmod  14565  rmodislmodlem  14624  sraval  14711  sralemg  14712  sramulrg  14715  srascag  14716  sravscag  14717  sraipg  14718  sraex  14720  crngridl  14804  mpocnfldmul  14837  zlmmulrg  14905  znmul  14916  psrval  14940  fnpsr  14941