Theorem mulrslid 13214

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13173	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9305	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13106	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   NNcn 9142   3c3 9194   ndxcnx 13078  Slot cslot 13080   .rcmulr 13160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-mulr 13173

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13220  ressmulrg  13227  srngmulrd  13231  ipsmulrd  13261  prdsex  13351  prdsval  13355  prdsmulr  13360  prdsmulrfval  13368  imasex  13387  imasival  13388  imasbas  13389  imasplusg  13390  imasmulr  13391  imasmulfn  13402  imasmulval  13403  imasmulf  13404  qusmulval  13419  qusmulf  13420  fnmgp  13934  mgpvalg  13935  mgpplusgg  13936  mgpex  13937  mgpbasg  13938  mgpscag  13939  mgptsetg  13940  mgpdsg  13942  mgpress  13943  isrng  13946  issrg  13977  isring  14012  ring1  14071  opprvalg  14081  opprmulfvalg  14082  opprex  14085  opprsllem  14086  subrngintm  14225  islmod  14304  rmodislmodlem  14363  sraval  14450  sralemg  14451  sramulrg  14454  srascag  14455  sravscag  14456  sraipg  14457  sraex  14459  crngridl  14543  mpocnfldmul  14576  zlmmulrg  14644  znmul  14655  psrval  14679  fnpsr  14680