Theorem mulrslid 12752

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12712	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9147	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 12646	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255   NNcn 8984   3c3 9036   ndxcnx 12618  Slot cslot 12620   .rcmulr 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-mulr 12712

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12758  ressmulrg  12765  srngmulrd  12769  ipsmulrd  12799  prdsex  12883  imasex  12891  imasival  12892  imasbas  12893  imasplusg  12894  imasmulr  12895  imasmulfn  12906  imasmulval  12907  imasmulf  12908  qusmulval  12923  qusmulf  12924  fnmgp  13421  mgpvalg  13422  mgpplusgg  13423  mgpex  13424  mgpbasg  13425  mgpscag  13426  mgptsetg  13427  mgpdsg  13429  mgpress  13430  isrng  13433  issrg  13464  isring  13499  ring1  13558  opprvalg  13568  opprmulfvalg  13569  opprex  13572  opprsllem  13573  subrngintm  13711  islmod  13790  rmodislmodlem  13849  sraval  13936  sralemg  13937  sramulrg  13940  srascag  13941  sravscag  13942  sraipg  13943  sraex  13945  crngridl  14029  mpocnfldmul  14062  zlmmulrg  14130  znmul  14141  psrval  14163  fnpsr  14164