Theorem mulrslid 13233

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13192	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9306	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13125	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   NNcn 9143   3c3 9195   ndxcnx 13097  Slot cslot 13099   .rcmulr 13179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-mulr 13192

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13239  ressmulrg  13246  srngmulrd  13250  ipsmulrd  13280  prdsex  13370  prdsval  13374  prdsmulr  13379  prdsmulrfval  13387  imasex  13406  imasival  13407  imasbas  13408  imasplusg  13409  imasmulr  13410  imasmulfn  13421  imasmulval  13422  imasmulf  13423  qusmulval  13438  qusmulf  13439  fnmgp  13954  mgpvalg  13955  mgpplusgg  13956  mgpex  13957  mgpbasg  13958  mgpscag  13959  mgptsetg  13960  mgpdsg  13962  mgpress  13963  isrng  13966  issrg  13997  isring  14032  ring1  14091  opprvalg  14101  opprmulfvalg  14102  opprex  14105  opprsllem  14106  subrngintm  14245  islmod  14324  rmodislmodlem  14383  sraval  14470  sralemg  14471  sramulrg  14474  srascag  14475  sravscag  14476  sraipg  14477  sraex  14479  crngridl  14563  mpocnfldmul  14596  zlmmulrg  14664  znmul  14675  psrval  14699  fnpsr  14700