Theorem mulrslid 13463

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13422	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9446	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13355	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372   NNcn 9283   3c3 9335   ndxcnx 13327  Slot cslot 13329   .rcmulr 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-mulr 13422

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13469  ressmulrg  13476  srngmulrd  13480  ipsmulrd  13510  imasex  13603  imasival  13604  imasbas  13605  imasplusg  13606  imasmulr  13607  imasmulfn  13618  imasmulval  13619  imasmulf  13620  qusmulval  13635  qusmulf  13636  prdsex  14149  prdsval  14150  prdsmulr  14155  prdsmulrfval  14163  fnmgp  14196  mgpvalg  14197  mgpplusgg  14198  mgpex  14199  mgpbasg  14200  mgpscag  14201  mgptsetg  14202  mgpdsg  14204  mgpress  14205  isrng  14208  issrg  14243  isring  14278  ring1  14337  opprvalg  14347  opprmulfvalg  14348  opprex  14351  opprsllem  14352  subrngintm  14493  islmod  14600  rmodislmodlem  14659  sraval  14746  sralemg  14747  sramulrg  14750  srascag  14751  sravscag  14752  sraipg  14753  sraex  14755  crngridl  14839  mpocnfldmul  14872  zlmmulrg  14938  znmul  14949  psrval  14973  fnpsr  14974