Theorem mulrslid 13544

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13503	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9478	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13434	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380   NNcn 9313   3c3 9365   ndxcnx 13406  Slot cslot 13408   .rcmulr 13490

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-mulr 13503

This theorem is used by:  rngmulrg  13550  ressmulrg  13557  srngmulrd  13561  ipsmulrd  13591  imasex  13684  imasival  13685  imasbas  13686  imasplusg  13687  imasmulr  13688  imasmulfn  13699  imasmulval  13700  imasmulf  13701  qusmulval  13716  qusmulf  13717  prdsex  14278  prdsval  14279  prdsmulr  14284  prdsmulrfval  14292  fnmgp  14325  mgpvalg  14326  mgpplusgg  14327  mgpex  14329  mgpbasg  14330  mgpscag  14332  mgptsetg  14333  mgpdsg  14335  mgpress  14336  isrng  14339  issrg  14375  isring  14410  ring1  14470  opprvalg  14482  opprmulfvalg  14483  opprex  14486  opprsllem  14487  subrngintm  14628  islmod  14735  rmodislmodlem  14795  sraval  14882  sralemg  14883  sramulrg  14886  srascag  14887  sravscag  14888  sraipg  14889  sraex  14891  crngridl  14975  mpocnfldmul  15008  zlmmulrg  15074  znmul  15085  isassa  15110  psrval  15160  fnpsr  15161  psrmulrg  15195