Theorem mulrslid 12906

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12865	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9198	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 12799	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5270   NNcn 9035   3c3 9087   ndxcnx 12771  Slot cslot 12773   .rcmulr 12852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-mulr 12865

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12912  ressmulrg  12919  srngmulrd  12923  ipsmulrd  12953  prdsex  13043  prdsval  13047  prdsmulr  13052  prdsmulrfval  13060  imasex  13079  imasival  13080  imasbas  13081  imasplusg  13082  imasmulr  13083  imasmulfn  13094  imasmulval  13095  imasmulf  13096  qusmulval  13111  qusmulf  13112  fnmgp  13626  mgpvalg  13627  mgpplusgg  13628  mgpex  13629  mgpbasg  13630  mgpscag  13631  mgptsetg  13632  mgpdsg  13634  mgpress  13635  isrng  13638  issrg  13669  isring  13704  ring1  13763  opprvalg  13773  opprmulfvalg  13774  opprex  13777  opprsllem  13778  subrngintm  13916  islmod  13995  rmodislmodlem  14054  sraval  14141  sralemg  14142  sramulrg  14145  srascag  14146  sravscag  14147  sraipg  14148  sraex  14150  crngridl  14234  mpocnfldmul  14267  zlmmulrg  14335  znmul  14346  psrval  14370  fnpsr  14371