Theorem mulrslid 12749

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12709	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9144	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 12643	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254   NNcn 8982   3c3 9034   ndxcnx 12615  Slot cslot 12617   .rcmulr 12696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-mulr 12709

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12755  ressmulrg  12762  srngmulrd  12766  ipsmulrd  12796  prdsex  12880  imasex  12888  imasival  12889  imasbas  12890  imasplusg  12891  imasmulr  12892  imasmulfn  12903  imasmulval  12904  imasmulf  12905  qusmulval  12920  qusmulf  12921  fnmgp  13418  mgpvalg  13419  mgpplusgg  13420  mgpex  13421  mgpbasg  13422  mgpscag  13423  mgptsetg  13424  mgpdsg  13426  mgpress  13427  isrng  13430  issrg  13461  isring  13496  ring1  13555  opprvalg  13565  opprmulfvalg  13566  opprex  13569  opprsllem  13570  subrngintm  13708  islmod  13787  rmodislmodlem  13846  sraval  13933  sralemg  13934  sramulrg  13937  srascag  13938  sravscag  13939  sraipg  13940  sraex  13942  crngridl  14026  cnfldmul  14054  zlmmulrg  14119  znmul  14130  psrval  14152  fnpsr  14153