Theorem mulrslid 13278

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13237	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9348	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13170	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333   NNcn 9185   3c3 9237   ndxcnx 13142  Slot cslot 13144   .rcmulr 13224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-mulr 13237

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13284  ressmulrg  13291  srngmulrd  13295  ipsmulrd  13325  prdsex  13415  prdsval  13419  prdsmulr  13424  prdsmulrfval  13432  imasex  13451  imasival  13452  imasbas  13453  imasplusg  13454  imasmulr  13455  imasmulfn  13466  imasmulval  13467  imasmulf  13468  qusmulval  13483  qusmulf  13484  fnmgp  13999  mgpvalg  14000  mgpplusgg  14001  mgpex  14002  mgpbasg  14003  mgpscag  14004  mgptsetg  14005  mgpdsg  14007  mgpress  14008  isrng  14011  issrg  14042  isring  14077  ring1  14136  opprvalg  14146  opprmulfvalg  14147  opprex  14150  opprsllem  14151  subrngintm  14290  islmod  14370  rmodislmodlem  14429  sraval  14516  sralemg  14517  sramulrg  14520  srascag  14521  sravscag  14522  sraipg  14523  sraex  14525  crngridl  14609  mpocnfldmul  14642  zlmmulrg  14710  znmul  14721  psrval  14745  fnpsr  14746