Theorem mulrslid 13345

Description: Slot property of .r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	|- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13304	. 2 |- .r = Slot 3
2		3nn 9400	. 2 |- 3 e. NN
3	1, 2	ndxslid 13237	1 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352   NNcn 9237   3c3 9289   ndxcnx 13209  Slot cslot 13211   .rcmulr 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-mulr 13304

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13351  ressmulrg  13358  srngmulrd  13362  ipsmulrd  13392  prdsex  13482  prdsval  13486  prdsmulr  13491  prdsmulrfval  13499  imasex  13518  imasival  13519  imasbas  13520  imasplusg  13521  imasmulr  13522  imasmulfn  13533  imasmulval  13534  imasmulf  13535  qusmulval  13550  qusmulf  13551  fnmgp  14066  mgpvalg  14067  mgpplusgg  14068  mgpex  14069  mgpbasg  14070  mgpscag  14071  mgptsetg  14072  mgpdsg  14074  mgpress  14075  isrng  14078  issrg  14109  isring  14144  ring1  14203  opprvalg  14213  opprmulfvalg  14214  opprex  14217  opprsllem  14218  subrngintm  14357  islmod  14439  rmodislmodlem  14498  sraval  14585  sralemg  14586  sramulrg  14589  srascag  14590  sravscag  14591  sraipg  14592  sraex  14594  crngridl  14678  mpocnfldmul  14711  zlmmulrg  14779  znmul  14790  psrval  14814  fnpsr  14815