Theorem rngstrg 11911

Description: A constructed ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }

Assertion

Ref	Expression
rngstrg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> R Struct <. 1 , 3 >. )

Proof of Theorem rngstrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngfn.r	. 2 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }
2		1nn 8635	. . 3 |- 1 e. NN
3		basendx 11850	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		1lt2 8787	. . 3 |- 1 < 2
5		2nn 8779	. . 3 |- 2 e. NN
6		plusgndx 11889	. . 3 |- ( +g ` ndx ) = 2
7		2lt3 8788	. . 3 |- 2 < 3
8		3nn 8780	. . 3 |- 3 e. NN
9		mulrndx 11906	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strle3g 11888	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
11	1, 10	eqbrtrid 3926	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> R Struct <. 1 , 3 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 943   = wceq 1312   e. wcel 1461   {ctp 3493   <.cop 3494   class class class wbr 3893   ` cfv 5079   1c1 7542   2c2 8675   3c3 8676   Struct cstr 11792   ndxcnx 11793   Basecbs 11796   +g cplusg 11858   .rcmulr 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-tp 3499  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678  df-struct 11798  df-ndx 11799  df-slot 11800  df-base 11802  df-plusg 11871  df-mulr 11872

This theorem is referenced by:  rngbaseg  11912  rngplusgg  11913  rngmulrg  11914  srngstrd  11918  ipsstrd  11937