Theorem rngstrg 13548

Description: A constructed ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }

Assertion

Ref	Expression
rngstrg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> R Struct <. 1 , 3 >. )

Proof of Theorem rngstrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngfn.r	. 2 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }
2		1nn 9324	. . 3 |- 1 e. NN
3		basendx 13465	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		1lt2 9485	. . 3 |- 1 < 2
5		2nn 9477	. . 3 |- 2 e. NN
6		plusgndx 13522	. . 3 |- ( +g ` ndx ) = 2
7		2lt3 9486	. . 3 |- 2 < 3
8		3nn 9478	. . 3 |- 3 e. NN
9		mulrndx 13543	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strle3g 13521	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
11	1, 10	eqbrtrid 4166	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> R Struct <. 1 , 3 >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {ctp 3711   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   1c1 8186   2c2 9364   3c3 9365   Struct cstr 13406   ndxcnx 13407   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504

This theorem is used by:  rngbaseg  13549  rngplusgg  13550  rngmulrg  13551  srngstrd  13559  ipsstrd  13589  psrvalstrd  15161