ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 14096
Description: Lemma for lgsdir2 14101. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1nn 8919 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 nnq 9622 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  1  e.  QQ )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  1  e.  QQ
4 8nn 9075 . . . . 5  |-  8  e.  NN
5 nnq 9622 . . . . 5  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  QQ )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  8  e.  QQ
7 0le1 8428 . . . 4  |-  0  <_  1
8 1lt8 9104 . . . 4  |-  1  <  8
9 modqid 10335 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  QQ  /\  8  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
1  /\  1  <  8 ) )  -> 
( 1  mod  8
)  =  1 )
103, 6, 7, 8, 9mp4an 427 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
11 8cn 8994 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
1211mulid2i 7951 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1312oveq2i 5880 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
14 ax-1cn 7895 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1514negcli 8215 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
1611, 14negsubi 8225 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
17 8m1e7 9033 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1816, 17eqtri 2198 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
1911, 15, 18addcomli 8092 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2013, 19eqtri 2198 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2120oveq1i 5879 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
22 qnegcl 9625 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  QQ  ->  -u 1  e.  QQ )
233, 22ax-mp 5 . . . . 5  |-  -u 1  e.  QQ
24 1z 9268 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
25 8pos 9011 . . . . 5  |-  0  <  8
26 modqcyc 10345 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 1  e.  QQ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
8  e.  QQ  /\  0  <  8 ) )  ->  ( ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2723, 24, 6, 25, 26mp4an 427 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
28 7nn 9074 . . . . . 6  |-  7  e.  NN
29 nnq 9622 . . . . . 6  |-  ( 7  e.  NN  ->  7  e.  QQ )
3028, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  7  e.  QQ
31 0re 7948 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
32 7re 8991 . . . . . 6  |-  7  e.  RR
33 7pos 9010 . . . . . 6  |-  0  <  7
3431, 32, 33ltleii 8050 . . . . 5  |-  0  <_  7
35 7lt8 9098 . . . . 5  |-  7  <  8
36 modqid 10335 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  QQ  /\  8  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
7  /\  7  <  8 ) )  -> 
( 7  mod  8
)  =  7 )
3730, 6, 34, 35, 36mp4an 427 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3821, 27, 373eqtr3i 2206 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
3910, 38pm3.2i 272 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
40 3nn 9070 . . . . 5  |-  3  e.  NN
41 nnq 9622 . . . . 5  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  QQ )
4240, 41ax-mp 5 . . . 4  |-  3  e.  QQ
43 3re 8982 . . . . 5  |-  3  e.  RR
44 3pos 9002 . . . . 5  |-  0  <  3
4531, 43, 44ltleii 8050 . . . 4  |-  0  <_  3
46 3lt8 9102 . . . 4  |-  3  <  8
47 modqid 10335 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  QQ  /\  8  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
3  /\  3  <  8 ) )  -> 
( 3  mod  8
)  =  3 )
4842, 6, 45, 46, 47mp4an 427 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4912oveq2i 5880 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
50 3cn 8983 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
5150negcli 8215 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
5211, 50negsubi 8225 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
53 5cn 8988 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
54 5p3e8 9055 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
5553, 50, 54addcomli 8092 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
5611, 50, 53, 55subaddrii 8236 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5752, 56eqtri 2198 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
5811, 51, 57addcomli 8092 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5949, 58eqtri 2198 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
6059oveq1i 5879 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
61 qnegcl 9625 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  QQ  ->  -u 3  e.  QQ )
6242, 61ax-mp 5 . . . . 5  |-  -u 3  e.  QQ
63 modqcyc 10345 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 3  e.  QQ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
8  e.  QQ  /\  0  <  8 ) )  ->  ( ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
6462, 24, 6, 25, 63mp4an 427 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
65 5nn 9072 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
66 nnq 9622 . . . . . 6  |-  ( 5  e.  NN  ->  5  e.  QQ )
6765, 66ax-mp 5 . . . . 5  |-  5  e.  QQ
68 5re 8987 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
69 5pos 9008 . . . . . 6  |-  0  <  5
7031, 68, 69ltleii 8050 . . . . 5  |-  0  <_  5
71 5lt8 9100 . . . . 5  |-  5  <  8
72 modqid 10335 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  QQ  /\  8  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
5  /\  5  <  8 ) )  -> 
( 5  mod  8
)  =  5 )
7367, 6, 70, 71, 72mp4an 427 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
7460, 64, 733eqtr3i 2206 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
7548, 74pm3.2i 272 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
7639, 75pm3.2i 272 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    x. cmul 7807    < clt 7982    <_ cle 7983    - cmin 8118   -ucneg 8119   NNcn 8908   3c3 8960   5c5 8962   7c7 8964   8c8 8965   ZZcz 9242   QQcq 9608    mod cmo 10308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  14099  lgsdir2lem5  14100
  Copyright terms: Public domain W3C validator