Theorem cnfldstr 14192

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	|- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14191	. 2 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
2		eqid 2196	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
3		cnex 8022	. . . . . 6 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> CC e. _V )
5	3, 3	mpoex 6281	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V )
7	3, 3	mpoex 6281	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V )
9		cjf 11031	. . . . . . 7 |- * : CC --> CC
10		fex 5794	. . . . . . 7 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
11	9, 3, 10	mp2an 426	. . . . . 6 |- * e. _V
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> * e. _V )
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 12850	. . . 4 |- ( T. -> ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >. )
14	13	mptru 1373	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >.
15		cntopex 14188	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V
16		xrex 9950	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
17	16, 16	xpex 4779	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
18		lerelxr 8108	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
19	17, 18	ssexi 4172	. . . . 5 |- <_ e. _V
20		cndsex 14187	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. _V
21		9nn 9178	. . . . . 6 |- 9 e. NN
22		tsetndx 12890	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
23		9lt10 9606	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 0
24		10nn 9491	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN
25		plendx 12904	. . . . . 6 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
26		1nn0 9284	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
27		0nn0 9283	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
28		2nn 9171	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
29		2pos 9100	. . . . . . 7 |- 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9503	. . . . . 6 |- ; 1 0 < ; 1 2
31	26, 28	decnncl 9495	. . . . . 6 |- ; 1 2 e. NN
32		dsndx 12919	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 12813	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V /\ <_ e. _V /\ ( abs o. - ) e. _V ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1348	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >.
35		metuex 14189	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) e. _V -> (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V )
36		3nn 9172	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
37	26, 36	decnncl 9495	. . . . . 6 |- ; 1 3 e. NN
38		unifndx 12930	. . . . . 6 |- ( UnifSet ` ndx ) = ; 1 3
39	37, 38	strle1g 12811	. . . . 5 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V -> { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >. )
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 |- { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >.
41		2nn0 9285	. . . . 5 |- 2 e. NN0
42		2lt3 9180	. . . . 5 |- 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9503	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 3
44	34, 40, 43	strleun 12809	. . 3 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) Struct <. 9 , ; 1 3 >.
45		4lt9 9211	. . 3 |- 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 12809	. 2 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 3 >.
47	1, 46	eqbrtri 4055	1 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Syntax hints:   T. wtru 1365   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   {csn 3623   {ctp 3625   <.cop 3626   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   CCcc 7896   0cc0 7898   1c1 7899   + caddc 7901   x. cmul 7903   RR*cxr 8079   <_ cle 8081   - cmin 8216   2c2 9060   3c3 9061   4c4 9062   9c9 9067  ;cdc 9476   *ccj 11023   abscabs 11181   Struct cstr 12701   ndxcnx 12702   Basecbs 12705   +g cplusg 12782   .rcmulr 12783   *rcstv 12784  TopSetcts 12788   lecple 12789   distcds 12791   UnifSetcunif 12792   MetOpencmopn 14175  metUnifcmetu 14176  ℂ_fldccnfld 14190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-rp 9748  df-fz 10103  df-cj 11026  df-abs 11183  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-starv 12797  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-unif 12805  df-topgen 12964  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-fg 14183  df-metu 14184  df-cnfld 14191

This theorem is referenced by:  cnfldex  14193  cnfldbas  14194  mpocnfldadd  14195  mpocnfldmul  14197  cnfldcj  14199  cnfldtset  14200  cnfldle  14201  cnfldds  14202