Theorem cnfldstr 14320

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	|- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14319	. 2 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
2		eqid 2205	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
3		cnex 8049	. . . . . 6 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> CC e. _V )
5	3, 3	mpoex 6300	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V )
7	3, 3	mpoex 6300	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V )
9		cjf 11158	. . . . . . 7 |- * : CC --> CC
10		fex 5813	. . . . . . 7 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
11	9, 3, 10	mp2an 426	. . . . . 6 |- * e. _V
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> * e. _V )
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 12978	. . . 4 |- ( T. -> ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >. )
14	13	mptru 1382	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >.
15		cntopex 14316	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V
16		xrex 9978	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
17	16, 16	xpex 4790	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
18		lerelxr 8135	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
19	17, 18	ssexi 4182	. . . . 5 |- <_ e. _V
20		cndsex 14315	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. _V
21		9nn 9205	. . . . . 6 |- 9 e. NN
22		tsetndx 13018	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
23		9lt10 9634	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 0
24		10nn 9519	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN
25		plendx 13032	. . . . . 6 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
26		1nn0 9311	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
27		0nn0 9310	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
28		2nn 9198	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
29		2pos 9127	. . . . . . 7 |- 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9531	. . . . . 6 |- ; 1 0 < ; 1 2
31	26, 28	decnncl 9523	. . . . . 6 |- ; 1 2 e. NN
32		dsndx 13047	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 12940	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V /\ <_ e. _V /\ ( abs o. - ) e. _V ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1350	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >.
35		metuex 14317	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) e. _V -> (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V )
36		3nn 9199	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
37	26, 36	decnncl 9523	. . . . . 6 |- ; 1 3 e. NN
38		unifndx 13058	. . . . . 6 |- ( UnifSet ` ndx ) = ; 1 3
39	37, 38	strle1g 12938	. . . . 5 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V -> { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >. )
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 |- { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >.
41		2nn0 9312	. . . . 5 |- 2 e. NN0
42		2lt3 9207	. . . . 5 |- 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9531	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 3
44	34, 40, 43	strleun 12936	. . 3 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) Struct <. 9 , ; 1 3 >.
45		4lt9 9238	. . 3 |- 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 12936	. 2 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 3 >.
47	1, 46	eqbrtri 4065	1 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Syntax hints:   T. wtru 1374   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   {csn 3633   {ctp 3635   <.cop 3636   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   o. ccom 4679   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   RR*cxr 8106   <_ cle 8108   - cmin 8243   2c2 9087   3c3 9088   4c4 9089   9c9 9094  ;cdc 9504   *ccj 11150   abscabs 11308   Struct cstr 12828   ndxcnx 12829   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   *rcstv 12911  TopSetcts 12915   lecple 12916   distcds 12918   UnifSetcunif 12919   MetOpencmopn 14303  metUnifcmetu 14304  ℂ_fldccnfld 14318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-rp 9776  df-fz 10131  df-cj 11153  df-abs 11310  df-struct 12834  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-starv 12924  df-tset 12928  df-ple 12929  df-ds 12931  df-unif 12932  df-topgen 13092  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-fg 14311  df-metu 14312  df-cnfld 14319

This theorem is referenced by:  cnfldex  14321  cnfldbas  14322  mpocnfldadd  14323  mpocnfldmul  14325  cnfldcj  14327  cnfldtset  14328  cnfldle  14329  cnfldds  14330