Theorem cnfldstr 14654

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	|- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14653	. 2 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
3		cnex 8216	. . . . . 6 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> CC e. _V )
5	3, 3	mpoex 6388	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V )
7	3, 3	mpoex 6388	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V )
9		cjf 11487	. . . . . . 7 |- * : CC --> CC
10		fex 5893	. . . . . . 7 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
11	9, 3, 10	mp2an 426	. . . . . 6 |- * e. _V
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> * e. _V )
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 13309	. . . 4 |- ( T. -> ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >. )
14	13	mptru 1407	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >.
15		cntopex 14650	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V
16		xrex 10152	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
17	16, 16	xpex 4848	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
18		lerelxr 8301	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
19	17, 18	ssexi 4232	. . . . 5 |- <_ e. _V
20		cndsex 14649	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. _V
21		9nn 9371	. . . . . 6 |- 9 e. NN
22		tsetndx 13349	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
23		9lt10 9802	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 0
24		10nn 9687	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN
25		plendx 13363	. . . . . 6 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
26		1nn0 9477	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
27		0nn0 9476	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
28		2nn 9364	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
29		2pos 9293	. . . . . . 7 |- 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9699	. . . . . 6 |- ; 1 0 < ; 1 2
31	26, 28	decnncl 9691	. . . . . 6 |- ; 1 2 e. NN
32		dsndx 13378	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 13271	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V /\ <_ e. _V /\ ( abs o. - ) e. _V ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1374	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >.
35		metuex 14651	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) e. _V -> (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V )
36		3nn 9365	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
37	26, 36	decnncl 9691	. . . . . 6 |- ; 1 3 e. NN
38		unifndx 13389	. . . . . 6 |- ( UnifSet ` ndx ) = ; 1 3
39	37, 38	strle1g 13269	. . . . 5 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V -> { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >. )
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 |- { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >.
41		2nn0 9478	. . . . 5 |- 2 e. NN0
42		2lt3 9373	. . . . 5 |- 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9699	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 3
44	34, 40, 43	strleun 13267	. . 3 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) Struct <. 9 , ; 1 3 >.
45		4lt9 9404	. . 3 |- 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 13267	. 2 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 3 >.
47	1, 46	eqbrtri 4114	1 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Syntax hints:   T. wtru 1399   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   {csn 3673   {ctp 3675   <.cop 3676   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   RR*cxr 8272   <_ cle 8274   - cmin 8409   2c2 9253   3c3 9254   4c4 9255   9c9 9260  ;cdc 9672   *ccj 11479   abscabs 11637   Struct cstr 13158   ndxcnx 13159   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241   *rcstv 13242  TopSetcts 13246   lecple 13247   distcds 13249   UnifSetcunif 13250   MetOpencmopn 14637  metUnifcmetu 14638  ℂ_fldccnfld 14652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-uz 9817  df-rp 9950  df-fz 10306  df-cj 11482  df-abs 11639  df-struct 13164  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-starv 13255  df-tset 13259  df-ple 13260  df-ds 13262  df-unif 13263  df-topgen 13423  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-fg 14645  df-metu 14646  df-cnfld 14653

This theorem is referenced by:  cnfldex  14655  cnfldbas  14656  mpocnfldadd  14657  mpocnfldmul  14659  cnfldcj  14661  cnfldtset  14662  cnfldle  14663  cnfldds  14664