Theorem cnfldstr 14571

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	|- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14570	. 2 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
3		cnex 8155	. . . . . 6 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> CC e. _V )
5	3, 3	mpoex 6378	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V )
7	3, 3	mpoex 6378	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V )
9		cjf 11407	. . . . . . 7 |- * : CC --> CC
10		fex 5882	. . . . . . 7 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
11	9, 3, 10	mp2an 426	. . . . . 6 |- * e. _V
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> * e. _V )
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 13228	. . . 4 |- ( T. -> ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >. )
14	13	mptru 1406	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >.
15		cntopex 14567	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V
16		xrex 10090	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
17	16, 16	xpex 4842	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
18		lerelxr 8241	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
19	17, 18	ssexi 4227	. . . . 5 |- <_ e. _V
20		cndsex 14566	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. _V
21		9nn 9311	. . . . . 6 |- 9 e. NN
22		tsetndx 13268	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
23		9lt10 9740	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 0
24		10nn 9625	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN
25		plendx 13282	. . . . . 6 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
26		1nn0 9417	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
27		0nn0 9416	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
28		2nn 9304	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
29		2pos 9233	. . . . . . 7 |- 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9637	. . . . . 6 |- ; 1 0 < ; 1 2
31	26, 28	decnncl 9629	. . . . . 6 |- ; 1 2 e. NN
32		dsndx 13297	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 13190	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V /\ <_ e. _V /\ ( abs o. - ) e. _V ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1373	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >.
35		metuex 14568	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) e. _V -> (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V )
36		3nn 9305	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
37	26, 36	decnncl 9629	. . . . . 6 |- ; 1 3 e. NN
38		unifndx 13308	. . . . . 6 |- ( UnifSet ` ndx ) = ; 1 3
39	37, 38	strle1g 13188	. . . . 5 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V -> { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >. )
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 |- { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >.
41		2nn0 9418	. . . . 5 |- 2 e. NN0
42		2lt3 9313	. . . . 5 |- 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9637	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 3
44	34, 40, 43	strleun 13186	. . 3 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) Struct <. 9 , ; 1 3 >.
45		4lt9 9344	. . 3 |- 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 13186	. 2 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 3 >.
47	1, 46	eqbrtri 4109	1 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Syntax hints:   T. wtru 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   {csn 3669   {ctp 3671   <.cop 3672   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   RR*cxr 8212   <_ cle 8214   - cmin 8349   2c2 9193   3c3 9194   4c4 9195   9c9 9200  ;cdc 9610   *ccj 11399   abscabs 11557   Struct cstr 13077   ndxcnx 13078   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   *rcstv 13161  TopSetcts 13165   lecple 13166   distcds 13168   UnifSetcunif 13169   MetOpencmopn 14554  metUnifcmetu 14555  ℂ_fldccnfld 14569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-cj 11402  df-abs 11559  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-topgen 13342  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570

This theorem is referenced by:  cnfldex  14572  cnfldbas  14573  mpocnfldadd  14574  mpocnfldmul  14576  cnfldcj  14578  cnfldtset  14579  cnfldle  14580  cnfldds  14581