Theorem cnfldstr 14435

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	|- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14434	. 2 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
2		eqid 2207	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
3		cnex 8084	. . . . . 6 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> CC e. _V )
5	3, 3	mpoex 6323	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V )
7	3, 3	mpoex 6323	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V )
9		cjf 11273	. . . . . . 7 |- * : CC --> CC
10		fex 5836	. . . . . . 7 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
11	9, 3, 10	mp2an 426	. . . . . 6 |- * e. _V
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> * e. _V )
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 13093	. . . 4 |- ( T. -> ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >. )
14	13	mptru 1382	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >.
15		cntopex 14431	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V
16		xrex 10013	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
17	16, 16	xpex 4808	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
18		lerelxr 8170	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
19	17, 18	ssexi 4198	. . . . 5 |- <_ e. _V
20		cndsex 14430	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. _V
21		9nn 9240	. . . . . 6 |- 9 e. NN
22		tsetndx 13133	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
23		9lt10 9669	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 0
24		10nn 9554	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN
25		plendx 13147	. . . . . 6 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
26		1nn0 9346	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
27		0nn0 9345	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
28		2nn 9233	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
29		2pos 9162	. . . . . . 7 |- 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9566	. . . . . 6 |- ; 1 0 < ; 1 2
31	26, 28	decnncl 9558	. . . . . 6 |- ; 1 2 e. NN
32		dsndx 13162	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 13055	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V /\ <_ e. _V /\ ( abs o. - ) e. _V ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1350	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >.
35		metuex 14432	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) e. _V -> (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V )
36		3nn 9234	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
37	26, 36	decnncl 9558	. . . . . 6 |- ; 1 3 e. NN
38		unifndx 13173	. . . . . 6 |- ( UnifSet ` ndx ) = ; 1 3
39	37, 38	strle1g 13053	. . . . 5 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) e. _V -> { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >. )
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 |- { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >.
41		2nn0 9347	. . . . 5 |- 2 e. NN0
42		2lt3 9242	. . . . 5 |- 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9566	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 3
44	34, 40, 43	strleun 13051	. . 3 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) Struct <. 9 , ; 1 3 >.
45		4lt9 9273	. . 3 |- 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 13051	. 2 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 3 >.
47	1, 46	eqbrtri 4080	1 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Syntax hints:   T. wtru 1374   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   {csn 3643   {ctp 3645   <.cop 3646   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   o. ccom 4697   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   RR*cxr 8141   <_ cle 8143   - cmin 8278   2c2 9122   3c3 9123   4c4 9124   9c9 9129  ;cdc 9539   *ccj 11265   abscabs 11423   Struct cstr 12943   ndxcnx 12944   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   .rcmulr 13025   *rcstv 13026  TopSetcts 13030   lecple 13031   distcds 13033   UnifSetcunif 13034   MetOpencmopn 14418  metUnifcmetu 14419  ℂ_fldccnfld 14433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-rp 9811  df-fz 10166  df-cj 11268  df-abs 11425  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-starv 13039  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-unif 13047  df-topgen 13207  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-fg 14426  df-metu 14427  df-cnfld 14434

This theorem is referenced by:  cnfldex  14436  cnfldbas  14437  mpocnfldadd  14438  mpocnfldmul  14440  cnfldcj  14442  cnfldtset  14443  cnfldle  14444  cnfldds  14445