Theorem cnfldstr 13739

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	|- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icnfld 13738	. . . 4 |- ℂfld = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
2		cnex 7949	. . . . 5 |- CC e. _V
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> CC e. _V )
4		addex 9665	. . . . 5 |- + e. _V
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> + e. _V )
6		mulex 9666	. . . . 5 |- x. e. _V
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. e. _V )
8		cjf 10870	. . . . . 6 |- * : CC --> CC
9		fex 5758	. . . . . 6 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
10	8, 2, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- * e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> * e. _V )
12	1, 3, 5, 7, 11	srngstrd 12619	. . 3 |- ( T. -> ℂfld Struct <. 1 , 4 >. )
13		4z 9297	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
14		1nn0 9206	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
15		3nn 9095	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
16	14, 15	decnncl 9417	. . . . . 6 |- ; 1 3 e. NN
17	16	nnzi 9288	. . . . 5 |- ; 1 3 e. ZZ
18		1nn 8944	. . . . . 6 |- 1 e. NN
19		3nn0 9208	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
20		4nn0 9209	. . . . . 6 |- 4 e. NN0
21		4re 9010	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
22		9re 9020	. . . . . . 7 |- 9 e. RR
23		4lt9 9134	. . . . . . 7 |- 4 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 8074	. . . . . 6 |- 4 <_ 9
25	18, 19, 20, 24	declei 9433	. . . . 5 |- 4 <_ ; 1 3
26		eluz2 9548	. . . . 5 |- (; 1 3 e. ( ZZ>= ` 4 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ ; 1 3 e. ZZ /\ 4 <_ ; 1 3 ) )
27	13, 17, 25, 26	mpbir3an 1180	. . . 4 |- ; 1 3 e. ( ZZ>= ` 4 )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ; 1 3 e. ( ZZ>= ` 4 ) )
29	12, 28	strext 12579	. 2 |- ( T. -> ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >. )
30	29	mptru 1372	1 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Syntax hints:   T. wtru 1364   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   <.cop 3607   class class class wbr 4015   -->wf 5224   ` cfv 5228   CCcc 7823   1c1 7826   + caddc 7828   x. cmul 7830   <_ cle 8007   3c3 8985   4c4 8986   9c9 8991   ZZcz 9267  ;cdc 9398   ZZ>=cuz 9542   *ccj 10862   Struct cstr 12472  ℂ_fldccnfld 13737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-addf 7947  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-dec 9399  df-uz 9543  df-fz 10023  df-cj 10865  df-struct 12478  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-starv 12566  df-icnfld 13738

This theorem is referenced by:  cnfldex  13740  cnfldbas  13741  cnfldadd  13742  cnfldmul  13743  cnfldcj  13744