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Theorem tangtx 12929
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 9702 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  RR )
21recoscld 11438 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
31, 2remulcld 7803 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  e.  RR )
4 1re 7772 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
5 rehalfcl 8954 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
61, 5syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
76resqcld 10457 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
8 3nn 8889 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
9 nndivre 8763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 409 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
11 resubcl 8033 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
124, 10, 11sylancr 410 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
131, 12remulcld 7803 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
14 2re 8797 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
15 remulcl 7755 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
1614, 10, 15sylancr 410 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
17 resubcl 8033 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR )
184, 16, 17sylancr 410 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
1913, 18remulcld 7803 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
201resincld 11437 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
2112resqcld 10457 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
22 remulcl 7755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2314, 21, 22sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
24 resubcl 8033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2523, 4, 24sylancl 409 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2612, 18remulcld 7803 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
271recnd 7801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  CC )
28 2cn 8798 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
2928a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  CC )
30 2ap0 8820 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
3130a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2 #  0 )
3227, 29, 31divcanap2d 8559 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
3332fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
346recnd 7801 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
35 cos2t 11464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3733, 36eqtr3d 2174 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
386recoscld 11438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
3938resqcld 10457 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
40 remulcl 7755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
4114, 39, 40sylancr 410 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
424a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  RR )
4314a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  RR )
44 eliooord 9718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  A  /\  A  <  ( pi  / 
2 ) ) )
4544simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  A )
46 2pos 8818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
4746a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  2 )
481, 43, 45, 47divgt0d 8700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  /  2
) )
49 pire 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
50 rehalfcl 8954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5149, 50mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5244simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( pi  /  2
) )
53 pigt2lt4 12875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
5453simpri 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  <  4
55 2t2e4 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5654, 55breqtrri 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  <  ( 2  x.  2 )
5714, 46pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
58 ltdivmul 8641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) ) )
5949, 14, 57, 58mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( pi  /  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) )
6056, 59mpbir 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  <  2
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  <  2 )
621, 51, 43, 52, 61lttrd 7895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  2 )
6328mulid2i 7776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6462, 63breqtrrdi 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( 1  x.  2 ) )
65 ltdivmul2 8643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
6764, 66mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <  1 )
686, 42, 67ltled 7888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <_ 
1 )
69 0xr 7819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
70 elioc2 9726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) ) )
7169, 4, 70mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) )
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1
) )
73 cos01bnd 11472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7574simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
76 cos01gt0 11476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
7772, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
78 0re 7773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
79 ltle 7858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
8078, 38, 79sylancr 410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
8177, 80mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
8278a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  e.  RR )
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 7895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8482, 12, 83ltled 7888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8538, 12, 81, 84lt2sqd 10462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  <  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <->  ( ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ^
2 )  <  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) )
8675, 85mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )
87 ltmul2 8621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  <  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) ) )
8986, 88mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) )
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 8326 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
9137, 90eqbrtrd 3950 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
92 3re 8801 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
93 remulcl 7755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9492, 10, 93sylancr 410 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
95 4re 8804 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
96 remulcl 7755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9795, 10, 96sylancr 410 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
9810resqcld 10457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  RR )
99 remulcl 7755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
10014, 98, 99sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
101 readdcl 7753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
1024, 100, 101sylancr 410 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  RR )
103 3lt4 8899 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
10492a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  RR )
10595a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  4  e.  RR )
1066, 48gt0ap0d 8398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 ) #  0 )
1076, 106sqgt0apd 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) )
108 3pos 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  3
109108a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  3 )
1107, 104, 107, 109divgt0d 8700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )
111 ltmul1 8361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR  /\  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  ->  ( 3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
113103, 112mpbii 147 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 8327 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
11542recnd 7801 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  CC )
116 ax-1cn 7720 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
117100recnd 7801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
118 addcl 7752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
119116, 117, 118sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
12097recnd 7801 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
121119, 120subcld 8080 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
122 sq1 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
123122a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
12410recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
125124mulid2d 7791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )
126125oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
127123, 126oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
128127oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
129 binom2sub 10412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
130116, 124, 129sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
13198recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  CC )
13216recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
133115, 131, 132addsubd 8101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
134128, 130, 1333eqtr4d 2182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
135134oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
136 addcl 7752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
137116, 131, 136sylancr 410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
13829, 137, 132subdid 8183 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
13929, 115, 131adddid 7797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
1401162timesi 8857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
141140oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
142115, 115, 117addassd 7795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
143141, 142syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
144139, 143eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
14555oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
14629, 29, 124mulassd 7796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
147145, 146syl5reqr 2187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
148144, 147oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
149115, 119, 120, 148assraddsubd 8137 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
150135, 138, 1493eqtrd 2176 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
151115, 121, 150mvrladdd 8136 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
152 subcl 7968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
153116, 124, 152sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
154153, 115, 132subdid 8183 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
155153mulid1d 7790 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  =  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
156115, 124, 132subdird 8184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
157132mulid2d 7791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
158124, 29, 124mul12d 7921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
159124sqvald 10428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
160159oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
161158, 160eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
162157, 161oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  -  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
163156, 162eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
164155, 163oveq12d 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  -  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
165115, 124, 132, 117subadd4d 8128 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
166 df-3 8787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
16728, 116addcomi 7913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
168166, 167eqtri 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 1  +  2 )
169168oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
170125oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
171115, 124, 29, 170joinlmuladdmuld 7800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
172169, 171syl5eq 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
173172oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
174165, 173eqtr4d 2175 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
175154, 164, 1743eqtrd 2176 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
176114, 151, 1753brtr4d 3960 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
1772, 25, 26, 91, 176lttrd 7895 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
178 ltmul2 8621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
1792, 26, 1, 45, 178syl112anc 1220 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  A
)  <  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A
) )  <  ( A  x.  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
180177, 179mpbid 146 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( A  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) ) ) )
18118recnd 7801 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
18227, 153, 181mulassd 7796 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) ) )
183180, 182breqtrrd 3956 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
18413, 38remulcld 7803 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
18574simpld 111 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
1861, 12, 45, 83mulgt0d 7892 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
187 ltmul2 8621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
18818, 38, 13, 186, 187syl112anc 1220 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
189185, 188mpbid 146 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
19029, 34, 153mulassd 7796 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
19132oveq1d 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19234, 115, 124subdid 8183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  1 )  -  ( ( A  / 
2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19334mulid1d 7790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  1 )  =  ( A  / 
2 ) )
194166oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  =  ( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )
195 2nn0 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
196 expp1 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
19734, 195, 196sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
198194, 197syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
1997recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
200199, 34mulcomd 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
201198, 200eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
202201oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  /  2 ) ^
2 ) )  / 
3 ) )
203 3cn 8802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
204203a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  CC )
205104, 109gt0ap0d 8398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3 #  0 )
20634, 199, 204, 205divassapd 8593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  (
( A  /  2
) ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
207202, 206eqtr2d 2173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )
208193, 207oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  1 )  -  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
209192, 208eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
210209oveq2d 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
211190, 191, 2103eqtr3d 2180 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
212 sin01bnd 11471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
21372, 212syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
214213simpld 111 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
215 3nn0 9002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
216 reexpcl 10317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR )
2176, 215, 216sylancl 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  e.  RR )
218 nndivre 8763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
219217, 8, 218sylancl 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
2206, 219resubcld 8150 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR )
2216resincld 11437 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
222 ltmul2 8621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
223220, 221, 43, 47, 222syl112anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  <->  ( 2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )  < 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
224214, 223mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
225211, 224eqbrtrd 3950 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
226 remulcl 7755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR )
22714, 221, 226sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
228 ltmul1 8361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
22913, 227, 38, 77, 228syl112anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
230225, 229mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
231221recnd 7801 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23238recnd 7801 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23329, 231, 232mulassd 7796 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
234 sin2t 11463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
23534, 234syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
23632fveq2d 5425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( sin `  A
) )
237233, 235, 2363eqtr2rd 2179 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
238230, 237breqtrrd 3956 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( sin `  A
) )
23919, 184, 20, 189, 238lttrd 7895 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( sin `  A
) )
2403, 19, 20, 183, 239lttrd 7895 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( sin `  A
) )
241 sincosq1sgn 12917 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
242241simprd 113 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  A
) )
243 ltmuldiv 8639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR  /\  (
( cos `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )  -> 
( ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A )  <->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
2441, 20, 2, 242, 243syl112anc 1220 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A
)  <->  A  <  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) ) )
245240, 244mpbid 146 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
2462, 242gt0ap0d 8398 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A ) #  0 )
247 tanvalap 11422 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
24827, 246, 247syl2anc 408 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
249245, 248breqtrrd 3956 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632   RR*cxr 7806    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   # cap 8350    / cdiv 8439   NNcn 8727   2c2 8778   3c3 8779   4c4 8780   NN0cn0 8984   (,)cioo 9678   (,]cioc 9679   ^cexp 10299   sincsin 11357   cosccos 11358   tanctan 11359   picpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-tan 11365  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
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