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Theorem tangtx 15552

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10137	. . . . 5
2	1	recoscld 12275	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8200	. . . 4
4		1re 8168	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9361	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10951	. . . . . . . 8
8		3nn 9296	. . . . . . . 8
9		nndivre 9169	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8433	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8200	. . . . 5
14		2re 9203	. . . . . . 7
15		remulcl 8150	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8433	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8200	. . . 4
20	1	resincld 12274	. . . 4
21	12	resqcld 10951	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8150	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8433	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8200	. . . . . . 7
27	1	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9204	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9226	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8962	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8198	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 12301	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 12275	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10951	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8150	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 10153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9224	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 9105	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 15500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 15498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4128	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 9048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8288	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8216	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10161	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 12309	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 12314	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8169	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8257	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8295	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8288	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10956	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 9026	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1275	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8727	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4108	. . . . . . 7
92		3re 9207	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8150	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 9210	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8150	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10951	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8150	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 8148	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9306	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8799	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10953	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9227	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 9105	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1275	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8728	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8198	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 8115	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 8147	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8198	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8480	. . . . . . . . 9
122		sq1 10885	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 8188	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10905	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8501	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10
136		addcl 8147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8583	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8194	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9263	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8192	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8193	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2277	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8537	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8536	. . . . . . . 8
152		subcl 8368	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8583	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8186	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8584	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 8188	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8321	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10922	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 6031	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8528	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9193	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8313	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2250	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8197	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4118	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8295	. . . . . 6
178		ltmul2 9026	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1275	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8198	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8193	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4114	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8200	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8292	. . . . . . 7
187		ltmul2 9026	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1275	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8193	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8583	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8186	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 6024	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8191	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9208	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8799	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8996	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2263	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 12308	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9410	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10808	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9169	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8550	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 12274	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 9026	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1275	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4108	. . . . . . 7
226		remulcl 8150	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1275	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8198	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8198	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8193	. . . . . . 7
234		sin2t 12300	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5639	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2269	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4114	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8295	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8295	. . 3
241		sincosq1sgn 15540	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 9044	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1275	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8799	. . 3 #
247		tanvalap 12259	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4114	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200 class class class wbr 4086

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cr 8021

cc0 8022

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

cxr 8203

clt 8204

cle 8205

cmin 8340 # cap 8751

cdiv 8842

cn 9133

c2 9184

c3 9185

c4 9186

cn0 9392

cioo 10113

cioc 10114

cexp 10790

csin 12195

ccos 12196

ctan 12197

cpi 12198

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142 ax-pre-suploc 8143 ax-addf 8144 ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-disj 4063 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-of 6230 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-oadd 6581 df-er 6697 df-map 6814 df-pm 6815 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-sup 7174 df-inf 7175 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-5 9195 df-6 9196 df-7 9197 df-8 9198 df-9 9199 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-xneg 9997 df-xadd 9998 df-ioo 10117 df-ioc 10118 df-ico 10119 df-icc 10120 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-fac 10978 df-bc 11000 df-ihash 11028 df-shft 11366 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-clim 11830 df-sumdc 11905 df-ef 12199 df-sin 12201 df-cos 12202 df-tan 12203 df-pi 12204 df-rest 13314 df-topgen 13333 df-psmet 14547 df-xmet 14548 df-met 14549 df-bl 14550 df-mopn 14551 df-top 14712 df-topon 14725 df-bases 14757 df-ntr 14810 df-cn 14902 df-cnp 14903 df-tx 14967 df-cncf 15285 df-limced 15370 df-dvap 15371

This theorem is referenced by: (None)

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