Theorem tangtx 15281

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tangtx	|- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Proof of Theorem tangtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10033	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
2	1	recoscld 12006	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
3	1, 2	remulcld 8102	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) e. RR )
4		1re 8070	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
5		rehalfcl 9263	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
7	6	resqcld 10842	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
8		3nn 9198	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
9		nndivre 9071	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
11		resubcl 8335	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
13	1, 12	remulcld 8102	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
14		2re 9105	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
15		remulcl 8052	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
17		resubcl 8335	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
19	13, 18	remulcld 8102	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
20	1	resincld 12005	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) e. RR )
21	12	resqcld 10842	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR )
22		remulcl 8052	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
24		resubcl 8335	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
26	12, 18	remulcld 8102	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
27	1	recnd 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
28		2cn 9106	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. CC )
30		2ap0 9128	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 # 0 )
32	27, 29, 31	divcanap2d 8864	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( A / 2 ) ) = A )
33	32	fveq2d 5579	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) )
34	6	recnd 8100	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. CC )
35		cos2t 12032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
37	33, 36	eqtr3d 2239	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
38	6	recoscld 12006	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR )
39	38	resqcld 10842	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR )
40		remulcl 8052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. RR )
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. RR )
44		eliooord 10049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < A )
46		2pos 9126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 2 )
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 9007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A / 2 ) )
49		pire 15229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi e. RR
50		rehalfcl 9263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR )
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
53		pigt2lt4 15227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- pi < 4
55		2t2e4 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 2 ) = 4
56	54, 55	breqtrri 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- pi < ( 2 x. 2 )
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
58		ltdivmul 8948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) ) )
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) )
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi / 2 ) < 2
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) < 2 )
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < 2 )
63	28	mullidi 8074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 x. 2 ) = 2
64	62, 63	breqtrrdi 4085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( 1 x. 2 ) )
65		ltdivmul2 8950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) < 1 )
68	6, 42, 67	ltled 8190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) <_ 1 )
69		0xr 8118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
70		elioc2 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) ) )
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) )
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) )
73		cos01bnd 12040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
76		cos01gt0 12045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
78		0re 8071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
79		ltle 8159	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) )
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 e. RR )
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
84	82, 12, 83	ltled 8190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10847	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) <-> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) )
87		ltmul2 8928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8629	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
91	37, 90	eqbrtrd 4065	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
92		3re 9109	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
93		remulcl 8052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 3 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
95		4re 9112	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
96		remulcl 8052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
98	10	resqcld 10842	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR )
99		remulcl 8052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
101		readdcl 8050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
103		3lt4 9208	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. RR )
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 4 e. RR )
106	6, 48	gt0ap0d 8701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) # 0 )
107	6, 106	sqgt0apd 10844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( A / 2 ) ^ 2 ) )
108		3pos 9129	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 3
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 3 )
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 9007	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
111		ltmul1 8664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR /\ 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8630	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
115	42	recnd 8100	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. CC )
116		ax-1cn 8017	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
117	100	recnd 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
118		addcl 8049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
120	97	recnd 8100	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
121	119, 120	subcld 8382	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
122		sq1 10776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
124	10	recnd 8100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
125	124	mulid2d 8090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
126	125	oveq2d 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
127	123, 126	oveq12d 5961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
128	127	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
129		binom2sub 10796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
131	98	recnd 8100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC )
132	16	recnd 8100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
133	115, 131, 132	addsubd 8403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
135	134	oveq2d 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
136		addcl 8049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
138	29, 137, 132	subdid 8485	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
139	29, 115, 131	adddid 8096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
140	116	2timesi 9165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
141	140	oveq1i 5953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
142	115, 115, 117	addassd 8094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
143	141, 142	eqtrid 2249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
144	139, 143	eqtrd 2237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
145	29, 29, 124	mulassd 8095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
146	55	oveq1i 5953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
147	145, 146	eqtr3di 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
148	144, 147	oveq12d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8439	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
150	135, 138, 149	3eqtrd 2241	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
151	115, 121, 150	mvrladdd 8438	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
152		subcl 8270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
154	153, 115, 132	subdid 8485	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
155	153	mulridd 8088	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) = ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
156	115, 124, 132	subdird 8486	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
157	132	mulid2d 8090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
158	124, 29, 124	mul12d 8223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
159	124	sqvald 10813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
160	159	oveq2d 5959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
161	158, 160	eqtr4d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
162	157, 161	oveq12d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
163	156, 162	eqtrd 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
164	155, 163	oveq12d 5961	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8430	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
166		df-3 9095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 = ( 2 + 1 )
167	28, 116	addcomi 8215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 1 ) = ( 1 + 2 )
168	166, 167	eqtri 2225	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 1 + 2 )
169	168	oveq1i 5953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
170	125	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
172	169, 171	eqtrid 2249	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
173	172	oveq2d 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
174	165, 173	eqtr4d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
175	154, 164, 174	3eqtrd 2241	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
176	114, 151, 175	3brtr4d 4075	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8197	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
178		ltmul2 8928	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` A ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1253	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
181	18	recnd 8100	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
182	27, 153, 181	mulassd 8095	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
183	180, 182	breqtrrd 4071	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
184	13, 38	remulcld 8102	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
185	74	simpld 112	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8194	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
187		ltmul2 8928	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1253	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
190	29, 34, 153	mulassd 8095	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
191	32	oveq1d 5958	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
192	34, 115, 124	subdid 8485	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
193	34	mulridd 8088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. 1 ) = ( A / 2 ) )
194	166	oveq2i 5954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) )
195		2nn0 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN0
196		expp1 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A / 2 ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
198	194, 197	eqtrid 2249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
199	7	recnd 8100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
200	199, 34	mulcomd 8093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
201	198, 200	eqtrd 2237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
202	201	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) = ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) )
203		3cn 9110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. CC
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. CC )
205	104, 109	gt0ap0d 8701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 # 0 )
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
207	202, 206	eqtr2d 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) )
208	193, 207	oveq12d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
209	192, 208	eqtrd 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
210	209	oveq2d 5959	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2245	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
212		sin01bnd 12039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) )
215		3nn0 9312	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
216		reexpcl 10699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A / 2 ) e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
218		nndivre 9071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
220	6, 219	resubcld 8452	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR )
221	6	resincld 12005	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR )
222		ltmul2 8928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
225	211, 224	eqbrtrd 4065	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
226		remulcl 8052	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
228		ltmul1 8664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1253	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
231	221	recnd 8100	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. CC )
232	38	recnd 8100	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. CC )
233	29, 231, 232	mulassd 8095	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
234		sin2t 12031	. . . . . . . 8 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
236	32	fveq2d 5579	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( sin ` A ) )
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2244	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) = ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
238	230, 237	breqtrrd 4071	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( sin ` A ) )
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8197	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( sin ` A ) )
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8197	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) )
241		sincosq1sgn 15269	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
242	241	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
243		ltmuldiv 8946	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( sin ` A ) e. RR /\ ( ( cos ` A ) e. RR /\ 0 < ( cos ` A ) ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1253	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
245	240, 244	mpbid 147	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
246	2, 242	gt0ap0d 8701	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) # 0 )
247		tanvalap 11990	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
249	245, 248	breqtrrd 4071	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   RR*cxr 8105   < clt 8106   <_ cle 8107   - cmin 8242   # cap 8653   / cdiv 8744   NNcn 9035   2c2 9086   3c3 9087   4c4 9088   NN0cn0 9294   (,)cioo 10009   (,]cioc 10010   ^cexp 10681   sincsin 11926   cosccos 11927   tanctan 11928   picpi 11929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ioc 10014  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11097  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-clim 11561  df-sumdc 11636  df-ef 11930  df-sin 11932  df-cos 11933  df-tan 11934  df-pi 11935  df-rest 13044  df-topgen 13063  df-psmet 14276  df-xmet 14277  df-met 14278  df-bl 14279  df-mopn 14280  df-top 14441  df-topon 14454  df-bases 14486  df-ntr 14539  df-cn 14631  df-cnp 14632  df-tx 14696  df-cncf 15014  df-limced 15099  df-dvap 15100

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