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Theorem tangtx 13399

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9848	. . . . 5
2	1	recoscld 11665	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 7929	. . . 4
4		1re 7898	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9084	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10614	. . . . . . . 8
8		3nn 9019	. . . . . . . 8
9		nndivre 8893	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 410	. . . . . . 7
11		resubcl 8162	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 411	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 7929	. . . . 5
14		2re 8927	. . . . . . 7
15		remulcl 7881	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 411	. . . . . 6
17		resubcl 8162	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 411	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 7929	. . . 4
20	1	resincld 11664	. . . 4
21	12	resqcld 10614	. . . . . . . . 9
22		remulcl 7881	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 411	. . . . . . . 8
24		resubcl 8162	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 410	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 7929	. . . . . . 7
27	1	recnd 7927	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 8928	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 8950	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 7927	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11691	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2200	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11665	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10614	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 7881	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 411	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 9864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 8948	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8830	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 13347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 13345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mulid2i 7902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4024	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8017	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 7945	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 9872	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11699	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 113	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11703	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 7899	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 7986	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8024	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8017	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10619	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 146	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1232	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 146	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8455	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4004	. . . . . . 7
92		3re 8931	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 7881	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 411	. . . . . . . . 9
95		4re 8934	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 7881	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 411	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10614	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 7881	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 411	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 7879	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 411	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9029	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8527	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10616	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 8951	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8830	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1232	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 147	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8456	. . . . . . . 8
115	42	recnd 7927	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 7927	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 7878	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 411	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 7927	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8209	. . . . . . . . 9
122		sq1 10548	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 7917	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10568	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 411	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8230	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10
136		addcl 7878	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 411	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8312	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 7923	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 8987	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 7921	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 7922	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2214	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8266	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2202	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8265	. . . . . . . 8
152		subcl 8097	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 411	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8312	. . . . . . . . 9
155	153	mulid1d 7916	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8313	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 7917	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8050	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10585	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5860	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8257	. . . . . . . . . 10
166		df-3 8917	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8042	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2186	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 7926	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2201	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2202	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4014	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8024	. . . . . 6
178		ltmul2 8751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1232	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 146	. . . . 5
181	18	recnd 7927	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 7922	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4010	. . . 4
184	13, 38	remulcld 7929	. . . . 5
185	74	simpld 111	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8021	. . . . . . 7
187		ltmul2 8751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1232	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 146	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 7922	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8312	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulid1d 7916	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 7920	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 8932	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8527	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8722	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2199	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2206	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11698	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 111	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9132	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10472	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 8893	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8279	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11664	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1232	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 146	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4004	. . . . . . 7
226		remulcl 7881	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 411	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8490	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1232	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 146	. . . . . 6
231	221	recnd 7927	. . . . . . . 8
232	38	recnd 7927	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 7922	. . . . . . 7
234		sin2t 11690	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5490	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2205	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4010	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8024	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8024	. . 3
241		sincosq1sgn 13387	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 113	. . . 4
243		ltmuldiv 8769	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1232	. . 3
245	240, 244	mpbid 146	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8527	. . 3 #
247		tanvalap 11649	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 409	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4010	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136 class class class wbr 3982

cfv 5188 (class class class)co 5842

cc 7751

cr 7752

cc0 7753

c1 7754

caddc 7756

cmul 7758

cxr 7932

clt 7933

cle 7934

cmin 8069 # cap 8479

cdiv 8568

cn 8857

c2 8908

c3 8909

c4 8910

cn0 9114

cioo 9824

cioc 9825

cexp 10454

csin 11585

ccos 11586

ctan 11587

cpi 11588

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873 ax-pre-suploc 7874 ax-addf 7875 ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-disj 3960 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-of 6050 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-frec 6359 df-1o 6384 df-oadd 6388 df-er 6501 df-map 6616 df-pm 6617 df-en 6707 df-dom 6708 df-fin 6709 df-sup 6949 df-inf 6950 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-5 8919 df-6 8920 df-7 8921 df-8 8922 df-9 8923 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-xneg 9708 df-xadd 9709 df-ioo 9828 df-ioc 9829 df-ico 9830 df-icc 9831 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-fac 10639 df-bc 10661 df-ihash 10689 df-shft 10757 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-clim 11220 df-sumdc 11295 df-ef 11589 df-sin 11591 df-cos 11592 df-tan 11593 df-pi 11594 df-rest 12558 df-topgen 12577 df-psmet 12627 df-xmet 12628 df-met 12629 df-bl 12630 df-mopn 12631 df-top 12636 df-topon 12649 df-bases 12681 df-ntr 12736 df-cn 12828 df-cnp 12829 df-tx 12893 df-cncf 13198 df-limced 13265 df-dvap 13266

This theorem is referenced by: (None)

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