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Theorem tangtx 15014

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9981	. . . . 5
2	1	recoscld 11870	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8052	. . . 4
4		1re 8020	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9212	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10773	. . . . . . . 8
8		3nn 9147	. . . . . . . 8
9		nndivre 9020	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8285	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8052	. . . . 5
14		2re 9054	. . . . . . 7
15		remulcl 8002	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8285	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8052	. . . 4
20	1	resincld 11869	. . . 4
21	12	resqcld 10773	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8002	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8285	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8052	. . . . . . 7
27	1	recnd 8050	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9055	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9077	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5559	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8050	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11896	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2228	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11870	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10773	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8002	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 9997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9075	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8956	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 14962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 14960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4072	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8140	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8068	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10005	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11904	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11909	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8021	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8147	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8140	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10778	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8877	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8578	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4052	. . . . . . 7
92		3re 9058	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8002	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 9061	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8002	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10773	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8002	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 8000	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9157	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8650	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10775	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9078	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8956	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8613	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8579	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8050	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8050	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 7999	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8050	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8332	. . . . . . . . 9
122		sq1 10707	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 8040	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10727	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8353	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5935	. . . . . . . . . 10
136		addcl 7999	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8435	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8046	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9114	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8044	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8045	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2241	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8389	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2230	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8388	. . . . . . . 8
152		subcl 8220	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8435	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8038	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8436	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 8040	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8173	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10744	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5937	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8380	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9044	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8165	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2214	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8049	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5935	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2230	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4062	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8147	. . . . . 6
178		ltmul2 8877	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1253	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8050	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8045	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4058	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8052	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8144	. . . . . . 7
187		ltmul2 8877	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1253	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8045	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8435	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8038	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5930	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8043	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9059	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8650	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8847	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2227	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11903	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9261	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10630	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8402	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11869	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8877	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4052	. . . . . . 7
226		remulcl 8002	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8613	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1253	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8050	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8050	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8045	. . . . . . 7
234		sin2t 11895	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5559	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2233	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4058	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8147	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8147	. . 3
241		sincosq1sgn 15002	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 8895	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1253	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8650	. . 3 #
247		tanvalap 11854	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4058	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164 class class class wbr 4030

cfv 5255 (class class class)co 5919

cc 7872

cr 7873

cc0 7874

c1 7875

caddc 7877

cmul 7879

cxr 8055

clt 8056

cle 8057

cmin 8192 # cap 8602

cdiv 8693

cn 8984

c2 9035

c3 9036

c4 9037

cn0 9243

cioo 9957

cioc 9958

cexp 10612

csin 11790

ccos 11791

ctan 11792

cpi 11793

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994 ax-pre-suploc 7995 ax-addf 7996 ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-disj 4008 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-of 6132 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-irdg 6425 df-frec 6446 df-1o 6471 df-oadd 6475 df-er 6589 df-map 6706 df-pm 6707 df-en 6797 df-dom 6798 df-fin 6799 df-sup 7045 df-inf 7046 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-5 9046 df-6 9047 df-7 9048 df-8 9049 df-9 9050 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-xneg 9841 df-xadd 9842 df-ioo 9961 df-ioc 9962 df-ico 9963 df-icc 9964 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-fac 10800 df-bc 10822 df-ihash 10850 df-shft 10962 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-clim 11425 df-sumdc 11500 df-ef 11794 df-sin 11796 df-cos 11797 df-tan 11798 df-pi 11799 df-rest 12855 df-topgen 12874 df-psmet 14042 df-xmet 14043 df-met 14044 df-bl 14045 df-mopn 14046 df-top 14177 df-topon 14190 df-bases 14222 df-ntr 14275 df-cn 14367 df-cnp 14368 df-tx 14432 df-cncf 14750 df-limced 14835 df-dvap 14836

This theorem is referenced by: (None)

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