tangtx - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > tangtx		Unicode version

Theorem tangtx 13926

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9899	. . . . 5
2	1	recoscld 11716	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 7978	. . . 4
4		1re 7947	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9135	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10665	. . . . . . . 8
8		3nn 9070	. . . . . . . 8
9		nndivre 8944	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8211	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 7978	. . . . 5
14		2re 8978	. . . . . . 7
15		remulcl 7930	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8211	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 7978	. . . 4
20	1	resincld 11715	. . . 4
21	12	resqcld 10665	. . . . . . . . 9
22		remulcl 7930	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8211	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 7978	. . . . . . 7
27	1	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 8979	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9001	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 7976	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11742	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11716	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10665	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 7930	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 9915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 8999	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8881	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 13874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 13872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mulid2i 7951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4042	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8066	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 7994	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 9923	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11754	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 7948	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8073	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8066	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10670	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8802	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8504	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4022	. . . . . . 7
92		3re 8982	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 7930	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 8985	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 7930	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10665	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 7930	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 7928	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9080	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8576	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10667	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9002	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8881	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8539	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8505	. . . . . . . 8
115	42	recnd 7976	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7895	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 7927	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 7976	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8258	. . . . . . . . 9
122		sq1 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 7966	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10619	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8279	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10
136		addcl 7927	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8361	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 7972	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9038	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 7970	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 7971	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2225	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8315	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8314	. . . . . . . 8
152		subcl 8146	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8361	. . . . . . . . 9
155	153	mulid1d 7965	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8362	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 7966	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8099	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10636	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8306	. . . . . . . . . 10
166		df-3 8968	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8091	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2198	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 7975	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2214	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4032	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8073	. . . . . 6
178		ltmul2 8802	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1242	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 7976	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 7971	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4028	. . . 4
184	13, 38	remulcld 7978	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8070	. . . . . . 7
187		ltmul2 8802	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1242	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 7971	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8361	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulid1d 7965	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 8983	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8576	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8772	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11749	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9183	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10523	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 8944	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8328	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11715	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8802	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1242	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4022	. . . . . . 7
226		remulcl 7930	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8539	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1242	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 7976	. . . . . . . 8
232	38	recnd 7976	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 7971	. . . . . . 7
234		sin2t 11741	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5515	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2217	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4028	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8073	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8073	. . 3
241		sincosq1sgn 13914	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 8820	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1242	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8576	. . 3 #
247		tanvalap 11700	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4028	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148 class class class wbr 4000

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

cxr 7981

clt 7982

cle 7983

cmin 8118 # cap 8528

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

c3 8960

c4 8961

cn0 9165

cioo 9875

cioc 9876

cexp 10505

csin 11636

ccos 11637

ctan 11638

cpi 11639

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922 ax-pre-suploc 7923 ax-addf 7924 ax-mulf 7925

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-disj 3978 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-of 6077 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-frec 6386 df-1o 6411 df-oadd 6415 df-er 6529 df-map 6644 df-pm 6645 df-en 6735 df-dom 6736 df-fin 6737 df-sup 6977 df-inf 6978 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-5 8970 df-6 8971 df-7 8972 df-8 8973 df-9 8974 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-xneg 9759 df-xadd 9760 df-ioo 9879 df-ioc 9880 df-ico 9881 df-icc 9882 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-fac 10690 df-bc 10712 df-ihash 10740 df-shft 10808 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 df-sumdc 11346 df-ef 11640 df-sin 11642 df-cos 11643 df-tan 11644 df-pi 11645 df-rest 12638 df-topgen 12657 df-psmet 13154 df-xmet 13155 df-met 13156 df-bl 13157 df-mopn 13158 df-top 13163 df-topon 13176 df-bases 13208 df-ntr 13263 df-cn 13355 df-cnp 13356 df-tx 13420 df-cncf 13725 df-limced 13792 df-dvap 13793

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator