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Theorem tangtx 15074

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9987	. . . . 5
2	1	recoscld 11889	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8057	. . . 4
4		1re 8025	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9218	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10791	. . . . . . . 8
8		3nn 9153	. . . . . . . 8
9		nndivre 9026	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8290	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8057	. . . . 5
14		2re 9060	. . . . . . 7
15		remulcl 8007	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8290	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8057	. . . 4
20	1	resincld 11888	. . . 4
21	12	resqcld 10791	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8007	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8290	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8057	. . . . . . 7
27	1	recnd 8055	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9061	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9083	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8055	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11915	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11889	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10791	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8007	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 10003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9081	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8962	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 15022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 15020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4075	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8145	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8073	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10011	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11923	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11928	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8026	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8152	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8145	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10796	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8883	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8584	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4055	. . . . . . 7
92		3re 9064	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8007	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 9067	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8007	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10791	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8007	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 8005	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9163	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8656	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10793	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9084	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8962	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8619	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8585	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8055	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8055	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 8004	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8055	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8337	. . . . . . . . 9
122		sq1 10725	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 8045	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10745	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8358	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10
136		addcl 8004	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8440	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8051	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9120	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8049	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8050	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2244	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8394	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8393	. . . . . . . 8
152		subcl 8225	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8440	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8043	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8441	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 8045	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8178	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8385	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9050	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8170	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8054	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4065	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8152	. . . . . 6
178		ltmul2 8883	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1253	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8055	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8050	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4061	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8057	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8149	. . . . . . 7
187		ltmul2 8883	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1253	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8050	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8440	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8043	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9065	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8656	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8853	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2230	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2237	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11922	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9267	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10648	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9026	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8407	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11888	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8883	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4055	. . . . . . 7
226		remulcl 8007	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8619	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1253	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8055	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8055	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8050	. . . . . . 7
234		sin2t 11914	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5562	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2236	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4061	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8152	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8152	. . 3
241		sincosq1sgn 15062	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 8901	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1253	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8656	. . 3 #
247		tanvalap 11873	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4061	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167 class class class wbr 4033

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

cxr 8060

clt 8061

cle 8062

cmin 8197 # cap 8608

cdiv 8699

cn 8990

c2 9041

c3 9042

c4 9043

cn0 9249

cioo 9963

cioc 9964

cexp 10630

csin 11809

ccos 11810

ctan 11811

cpi 11812

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 ax-pre-suploc 8000 ax-addf 8001 ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-disj 4011 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-of 6135 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-oadd 6478 df-er 6592 df-map 6709 df-pm 6710 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-5 9052 df-6 9053 df-7 9054 df-8 9055 df-9 9056 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-xneg 9847 df-xadd 9848 df-ioo 9967 df-ioc 9968 df-ico 9969 df-icc 9970 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-fac 10818 df-bc 10840 df-ihash 10868 df-shft 10980 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-sumdc 11519 df-ef 11813 df-sin 11815 df-cos 11816 df-tan 11817 df-pi 11818 df-rest 12912 df-topgen 12931 df-psmet 14099 df-xmet 14100 df-met 14101 df-bl 14102 df-mopn 14103 df-top 14234 df-topon 14247 df-bases 14279 df-ntr 14332 df-cn 14424 df-cnp 14425 df-tx 14489 df-cncf 14807 df-limced 14892 df-dvap 14893

This theorem is referenced by: (None)

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