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Theorem tangtx 16065

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10331	. . . . 5
2	1	recoscld 12516	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8362	. . . 4
4		1re 8331	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9543	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 11158	. . . . . . . 8
8		3nn 9478	. . . . . . . 8
9		nndivre 9349	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 417	. . . . . . 7
11		resubcl 8597	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 418	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8362	. . . . 5
14		2re 9383	. . . . . . 7
15		remulcl 8313	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 418	. . . . . 6
17		resubcl 8597	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 418	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8362	. . . 4
20	1	resincld 12515	. . . 4
21	12	resqcld 11158	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8313	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 418	. . . . . . . 8
24		resubcl 8597	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 417	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8362	. . . . . . 7
27	1	recnd 8360	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9384	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9406	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 9130	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8360	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 12542	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 12516	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 11158	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8313	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 418	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 10347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9404	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 9273	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 16013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 16011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4173	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8452	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8378	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10355	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 12550	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 12555	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8332	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8419	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8459	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8452	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 11163	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 9194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1282	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8892	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4153	. . . . . . 7
92		3re 9387	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8313	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 418	. . . . . . . . 9
95		4re 9390	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8313	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 418	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 11158	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8313	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 418	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 8311	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 418	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9488	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 11160	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9407	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 9273	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8928	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1282	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8893	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8360	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8360	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 8310	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 418	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8360	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8644	. . . . . . . . 9
122		sq1 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mullidd 8350	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 11111	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8665	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10
136		addcl 8310	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8748	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8356	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9443	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8354	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8355	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2286	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8701	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8700	. . . . . . . 8
152		subcl 8532	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 418	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8748	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8349	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8749	. . . . . . . . . . 11
157	132	mullidd 8350	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8485	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 11129	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 6106	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8692	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9373	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8477	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8359	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4163	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8459	. . . . . 6
178		ltmul2 9194	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1282	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8360	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8355	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4159	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8362	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8456	. . . . . . 7
187		ltmul2 9194	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1282	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8355	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8748	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8349	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9388	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 9164	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 12549	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9592	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 11014	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9349	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8715	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 12515	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 9194	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4153	. . . . . . 7
226		remulcl 8313	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 418	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8928	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1282	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8360	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8360	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8355	. . . . . . 7
234		sin2t 12541	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5702	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2278	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4159	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8459	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8459	. . 3
241		sincosq1sgn 16053	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 9212	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1282	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8965	. . 3 #
247		tanvalap 12500	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 415	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4159	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4131

cfv 5380 (class class class)co 6088

cc 8183

cr 8184

cc0 8185

c1 8186

caddc 8188

cmul 8190

cxr 8365

clt 8366

cle 8367

cmin 8504 # cap 8917

cdiv 9010

cn 9313

c2 9364

c3 9365

c4 9366

cn0 9574

cioo 10307

cioc 10308

cexp 10996

csin 12436

ccos 12437

ctan 12438

cpi 12439

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303 ax-arch 8304 ax-caucvg 8305 ax-pre-suploc 8306 ax-addf 8307 ax-mulf 8308

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-disj 4107 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-isom 5389 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-of 6305 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-irdg 6645 df-frec 6666 df-1o 6691 df-oadd 6695 df-er 6811 df-map 6928 df-pm 6929 df-en 7027 df-dom 7028 df-fin 7029 df-sup 7330 df-inf 7331 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-2 9372 df-3 9373 df-4 9374 df-5 9375 df-6 9376 df-7 9377 df-8 9378 df-9 9379 df-n0 9575 df-z 9656 df-uz 9938 df-q 10036 df-rp 10072 df-xneg 10191 df-xadd 10192 df-ioo 10311 df-ioc 10312 df-ico 10313 df-icc 10314 df-fz 10429 df-fzo 10567 df-seqfrec 10906 df-exp 10997 df-fac 11186 df-bc 11208 df-ihash 11237 df-shft 11602 df-cj 11629 df-re 11630 df-im 11631 df-rsqrt 11786 df-abs 11787 df-clim 12070 df-sumdc 12145 df-ef 12440 df-sin 12442 df-cos 12443 df-tan 12444 df-pi 12445 df-rest 13654 df-topgen 13673 df-psmet 14989 df-xmet 14990 df-met 14991 df-bl 14992 df-mopn 14993 df-top 15224 df-topon 15237 df-bases 15269 df-ntr 15322 df-cn 15414 df-cnp 15415 df-tx 15479 df-cncf 15797 df-limced 15882 df-dvap 15883

This theorem is used by: (None)

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