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Theorem tangtx 14262

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9912	. . . . 5
2	1	recoscld 11732	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 7988	. . . 4
4		1re 7956	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9146	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10680	. . . . . . . 8
8		3nn 9081	. . . . . . . 8
9		nndivre 8955	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8221	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 7988	. . . . 5
14		2re 8989	. . . . . . 7
15		remulcl 7939	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8221	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 7988	. . . 4
20	1	resincld 11731	. . . 4
21	12	resqcld 10680	. . . . . . . . 9
22		remulcl 7939	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8221	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 7988	. . . . . . 7
27	1	recnd 7986	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 8990	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9012	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8749	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5520	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 7986	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11758	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11732	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10680	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 7939	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 9928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9010	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8892	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 14210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 7960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4046	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8076	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8004	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11770	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 7957	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8045	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8083	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8076	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10685	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8813	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8514	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4026	. . . . . . 7
92		3re 8993	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 7939	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 8996	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 7939	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10680	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 7939	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 7937	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9091	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8586	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10682	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9013	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8892	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8549	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8515	. . . . . . . 8
115	42	recnd 7986	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7904	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 7986	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 7936	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 7986	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8268	. . . . . . . . 9
122		sq1 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 7976	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10634	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8289	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5891	. . . . . . . . . 10
136		addcl 7936	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8371	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 7982	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9049	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 7980	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 7981	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2225	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8325	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8324	. . . . . . . 8
152		subcl 8156	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8371	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 7974	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8372	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 7976	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8109	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10651	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5893	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8316	. . . . . . . . . 10
166		df-3 8979	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8101	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2198	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 7985	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5891	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2214	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4036	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8083	. . . . . 6
178		ltmul2 8813	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1242	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 7986	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 7981	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4032	. . . 4
184	13, 38	remulcld 7988	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8080	. . . . . . 7
187		ltmul2 8813	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1242	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 7981	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8371	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 7974	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5886	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 7979	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 8994	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8586	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8783	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11765	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9194	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10537	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 8955	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8338	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11731	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8813	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1242	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4026	. . . . . . 7
226		remulcl 7939	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8549	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1242	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 7986	. . . . . . . 8
232	38	recnd 7986	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 7981	. . . . . . 7
234		sin2t 11757	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5520	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2217	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4032	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8083	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8083	. . 3
241		sincosq1sgn 14250	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 8831	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1242	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8586	. . 3 #
247		tanvalap 11716	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4032	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148 class class class wbr 4004

cfv 5217 (class class class)co 5875

cc 7809

cr 7810

cc0 7811

c1 7812

caddc 7814

cmul 7816

cxr 7991

clt 7992

cle 7993

cmin 8128 # cap 8538

cdiv 8629

cn 8919

c2 8970

c3 8971

c4 8972

cn0 9176

cioo 9888

cioc 9889

cexp 10519

csin 11652

ccos 11653

ctan 11654

cpi 11655

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931 ax-pre-suploc 7932 ax-addf 7933 ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-disj 3982 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-of 6083 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-oadd 6421 df-er 6535 df-map 6650 df-pm 6651 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-sup 6983 df-inf 6984 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-5 8981 df-6 8982 df-7 8983 df-8 8984 df-9 8985 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-xneg 9772 df-xadd 9773 df-ioo 9892 df-ioc 9893 df-ico 9894 df-icc 9895 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-fac 10706 df-bc 10728 df-ihash 10756 df-shft 10824 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-sumdc 11362 df-ef 11656 df-sin 11658 df-cos 11659 df-tan 11660 df-pi 11661 df-rest 12690 df-topgen 12709 df-psmet 13450 df-xmet 13451 df-met 13452 df-bl 13453 df-mopn 13454 df-top 13501 df-topon 13514 df-bases 13546 df-ntr 13599 df-cn 13691 df-cnp 13692 df-tx 13756 df-cncf 14061 df-limced 14128 df-dvap 14129

This theorem is referenced by: (None)

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