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Theorem tangtx 14973

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9978	. . . . 5
2	1	recoscld 11867	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8050	. . . 4
4		1re 8018	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9209	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10770	. . . . . . . 8
8		3nn 9144	. . . . . . . 8
9		nndivre 9018	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8283	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8050	. . . . 5
14		2re 9052	. . . . . . 7
15		remulcl 8000	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8283	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8050	. . . 4
20	1	resincld 11866	. . . 4
21	12	resqcld 10770	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8000	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8283	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8050	. . . . . . 7
27	1	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9053	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9075	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8811	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8048	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11893	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2228	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11867	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10770	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8000	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9073	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8954	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 14921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 14919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4071	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8138	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8066	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10002	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11901	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11906	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8019	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8107	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8145	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8138	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10775	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8875	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8576	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4051	. . . . . . 7
92		3re 9056	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8000	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 9059	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8000	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10770	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8000	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 7998	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9154	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8648	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10772	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9076	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8954	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8611	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8577	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8048	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 7997	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8048	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8330	. . . . . . . . 9
122		sq1 10704	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10724	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8351	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10
136		addcl 7997	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8433	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8044	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9112	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8042	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8043	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2241	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8387	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2230	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8386	. . . . . . . 8
152		subcl 8218	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8433	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8036	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8434	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 8038	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8171	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10741	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5936	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8378	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9042	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8163	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2214	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8047	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2230	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4061	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8145	. . . . . 6
178		ltmul2 8875	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1253	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8048	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8043	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4057	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8050	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8142	. . . . . . 7
187		ltmul2 8875	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1253	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8043	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8433	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8036	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5929	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8041	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9057	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8648	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8845	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2227	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11900	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9258	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10627	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9018	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8400	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11866	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8875	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4051	. . . . . . 7
226		remulcl 8000	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8611	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1253	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8048	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8048	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8043	. . . . . . 7
234		sin2t 11892	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5558	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2233	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4057	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8145	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8145	. . 3
241		sincosq1sgn 14961	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 8893	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1253	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8648	. . 3 #
247		tanvalap 11851	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4057	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164 class class class wbr 4029

cfv 5254 (class class class)co 5918

cc 7870

cr 7871

cc0 7872

c1 7873

caddc 7875

cmul 7877

cxr 8053

clt 8054

cle 8055

cmin 8190 # cap 8600

cdiv 8691

cn 8982

c2 9033

c3 9034

c4 9035

cn0 9240

cioo 9954

cioc 9955

cexp 10609

csin 11787

ccos 11788

ctan 11789

cpi 11790

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992 ax-pre-suploc 7993 ax-addf 7994 ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-disj 4007 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-of 6130 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-oadd 6473 df-er 6587 df-map 6704 df-pm 6705 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-5 9044 df-6 9045 df-7 9046 df-8 9047 df-9 9048 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-xneg 9838 df-xadd 9839 df-ioo 9958 df-ioc 9959 df-ico 9960 df-icc 9961 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-fac 10797 df-bc 10819 df-ihash 10847 df-shft 10959 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-sumdc 11497 df-ef 11791 df-sin 11793 df-cos 11794 df-tan 11795 df-pi 11796 df-rest 12852 df-topgen 12871 df-psmet 14039 df-xmet 14040 df-met 14041 df-bl 14042 df-mopn 14043 df-top 14166 df-topon 14179 df-bases 14211 df-ntr 14264 df-cn 14356 df-cnp 14357 df-tx 14421 df-cncf 14726 df-limced 14810 df-dvap 14811

This theorem is referenced by: (None)

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