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Theorem tangtx 12967

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9725	. . . . 5
2	1	recoscld 11467	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 7820	. . . 4
4		1re 7789	. . . . . . 7
5		rehalfcl 8971	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10481	. . . . . . . 8
8		3nn 8906	. . . . . . . 8
9		nndivre 8780	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 410	. . . . . . 7
11		resubcl 8050	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 411	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 7820	. . . . 5
14		2re 8814	. . . . . . 7
15		remulcl 7772	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 411	. . . . . 6
17		resubcl 8050	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 411	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 7820	. . . 4
20	1	resincld 11466	. . . 4
21	12	resqcld 10481	. . . . . . . . 9
22		remulcl 7772	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 411	. . . . . . . 8
24		resubcl 8050	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 410	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 7820	. . . . . . 7
27	1	recnd 7818	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 8815	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 8837	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8576	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5433	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 7818	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11493	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2175	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11467	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10481	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 7772	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 411	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 9741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 8835	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8717	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 12915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 8971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 12913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 8898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 7912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mulid2i 7793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 7905	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 7836	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 9749	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1166	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 113	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11505	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 7790	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 7875	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 7912	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 7905	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10486	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 146	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8638	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1221	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 146	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8343	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 3958	. . . . . . 7
92		3re 8818	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 7772	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 411	. . . . . . . . 9
95		4re 8821	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 7772	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 411	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10481	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 7772	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 411	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 7770	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 411	. . . . . . . . 9
103		3lt4 8916	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8415	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10483	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 8838	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8717	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8378	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1221	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 147	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8344	. . . . . . . 8
115	42	recnd 7818	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7737	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 7818	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 7769	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 411	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 7818	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8097	. . . . . . . . 9
122		sq1 10417	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 7808	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10436	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 411	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8118	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2183	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10
136		addcl 7769	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 411	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8200	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 7814	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 8874	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 7812	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	syl5eq 2185	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . 12
145	55	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . 13
146	29, 29, 124	mulassd 7813	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	syl5reqr 2188	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8154	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2177	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8153	. . . . . . . 8
152		subcl 7985	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 411	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8200	. . . . . . . . 9
155	153	mulid1d 7807	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8201	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 7808	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 7938	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10452	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2173	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5800	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8145	. . . . . . . . . 10
166		df-3 8804	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 7930	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2161	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 7817	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	syl5eq 2185	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2176	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2177	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 3968	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 7912	. . . . . 6
178		ltmul2 8638	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1221	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 146	. . . . 5
181	18	recnd 7818	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 7813	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 3964	. . . 4
184	13, 38	remulcld 7820	. . . . 5
185	74	simpld 111	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 7909	. . . . . . 7
187		ltmul2 8638	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1221	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 146	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 7813	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5797	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8200	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulid1d 7807	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5793	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	syl5eq 2185	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 7811	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 8819	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8415	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8610	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2174	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2173	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2181	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11500	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 111	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9019	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10341	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 8780	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8167	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11466	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8638	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1221	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 146	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 3958	. . . . . . 7
226		remulcl 7772	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 411	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8378	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1221	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 146	. . . . . 6
231	221	recnd 7818	. . . . . . . 8
232	38	recnd 7818	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 7813	. . . . . . 7
234		sin2t 11492	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5433	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2180	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 3964	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 7912	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 7912	. . 3
241		sincosq1sgn 12955	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 113	. . . 4
243		ltmuldiv 8656	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1221	. . 3
245	240, 244	mpbid 146	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8415	. . 3 #
247		tanvalap 11451	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 409	. 2
249	245, 248	breqtrrd 3964	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 963

wceq 1332

wcel 1481 class class class wbr 3937

cfv 5131 (class class class)co 5782

cc 7642

cr 7643

cc0 7644

c1 7645

caddc 7647

cmul 7649

cxr 7823

clt 7824

cle 7825

cmin 7957 # cap 8367

cdiv 8456

cn 8744

c2 8795

c3 8796

c4 8797

cn0 9001

cioo 9701

cioc 9702

cexp 10323

csin 11387

ccos 11388

ctan 11389

cpi 11390

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 ax-pre-suploc 7765 ax-addf 7766 ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-disj 3915 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-of 5990 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-map 6552 df-pm 6553 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-sup 6879 df-inf 6880 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-5 8806 df-6 8807 df-7 8808 df-8 8809 df-9 8810 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-xneg 9589 df-xadd 9590 df-ioo 9705 df-ioc 9706 df-ico 9707 df-icc 9708 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-fac 10504 df-bc 10526 df-ihash 10554 df-shft 10619 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 df-ef 11391 df-sin 11393 df-cos 11394 df-tan 11395 df-pi 11396 df-rest 12161 df-topgen 12180 df-psmet 12195 df-xmet 12196 df-met 12197 df-bl 12198 df-mopn 12199 df-top 12204 df-topon 12217 df-bases 12249 df-ntr 12304 df-cn 12396 df-cnp 12397 df-tx 12461 df-cncf 12766 df-limced 12833 df-dvap 12834

This theorem is referenced by: (None)

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