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Theorem tangtx 15425

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10069	. . . . 5
2	1	recoscld 12150	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8138	. . . 4
4		1re 8106	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9299	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10881	. . . . . . . 8
8		3nn 9234	. . . . . . . 8
9		nndivre 9107	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8371	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8138	. . . . 5
14		2re 9141	. . . . . . 7
15		remulcl 8088	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8371	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8138	. . . 4
20	1	resincld 12149	. . . 4
21	12	resqcld 10881	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8088	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8371	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8138	. . . . . . 7
27	1	recnd 8136	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9142	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9164	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8900	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8136	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 12176	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2242	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 12150	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10881	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8088	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 10085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9162	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 9043	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 15373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 15371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4101	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1254	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8226	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8154	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1184	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 12184	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 12189	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8107	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8233	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8226	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10886	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8964	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1254	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8665	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4081	. . . . . . 7
92		3re 9145	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8088	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 9148	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8088	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10881	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8088	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 8086	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9244	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8737	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10883	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9165	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 9043	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8700	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1254	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8666	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8136	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8136	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 8085	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8136	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8418	. . . . . . . . 9
122		sq1 10815	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 8126	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10835	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8439	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2250	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5983	. . . . . . . . . 10
136		addcl 8085	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8521	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8132	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9201	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8130	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2252	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8131	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2255	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8475	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2244	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8474	. . . . . . . 8
152		subcl 8306	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8521	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8124	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8522	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 8126	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8259	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10852	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2243	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2240	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5985	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8466	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9131	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8251	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2228	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8135	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2252	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5983	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2243	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2244	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4091	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8233	. . . . . 6
178		ltmul2 8964	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1254	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8136	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8131	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4087	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8138	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8230	. . . . . . 7
187		ltmul2 8964	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1254	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8131	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8521	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8124	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5978	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2252	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8129	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9146	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8737	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8934	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2241	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2240	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2248	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 12183	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9348	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10738	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9107	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8488	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 12149	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8964	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1254	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4081	. . . . . . 7
226		remulcl 8088	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8700	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1254	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8136	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8136	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8131	. . . . . . 7
234		sin2t 12175	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5603	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2247	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4087	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8233	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8233	. . 3
241		sincosq1sgn 15413	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 8982	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1254	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8737	. . 3 #
247		tanvalap 12134	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4087	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178 class class class wbr 4059

cfv 5290 (class class class)co 5967

cc 7958

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

cxr 8141

clt 8142

cle 8143

cmin 8278 # cap 8689

cdiv 8780

cn 9071

c2 9122

c3 9123

c4 9124

cn0 9330

cioo 10045

cioc 10046

cexp 10720

csin 12070

ccos 12071

ctan 12072

cpi 12073

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080 ax-pre-suploc 8081 ax-addf 8082 ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-disj 4036 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-isom 5299 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-of 6181 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-irdg 6479 df-frec 6500 df-1o 6525 df-oadd 6529 df-er 6643 df-map 6760 df-pm 6761 df-en 6851 df-dom 6852 df-fin 6853 df-sup 7112 df-inf 7113 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-5 9133 df-6 9134 df-7 9135 df-8 9136 df-9 9137 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-xneg 9929 df-xadd 9930 df-ioo 10049 df-ioc 10050 df-ico 10051 df-icc 10052 df-fz 10166 df-fzo 10300 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-fac 10908 df-bc 10930 df-ihash 10958 df-shft 11241 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425 df-clim 11705 df-sumdc 11780 df-ef 12074 df-sin 12076 df-cos 12077 df-tan 12078 df-pi 12079 df-rest 13188 df-topgen 13207 df-psmet 14420 df-xmet 14421 df-met 14422 df-bl 14423 df-mopn 14424 df-top 14585 df-topon 14598 df-bases 14630 df-ntr 14683 df-cn 14775 df-cnp 14776 df-tx 14840 df-cncf 15158 df-limced 15243 df-dvap 15244

This theorem is referenced by: (None)

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