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Theorem tangtx 15581

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10147	. . . . 5
2	1	recoscld 12303	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8210	. . . 4
4		1re 8178	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9371	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10962	. . . . . . . 8
8		3nn 9306	. . . . . . . 8
9		nndivre 9179	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8443	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8210	. . . . 5
14		2re 9213	. . . . . . 7
15		remulcl 8160	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8443	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8210	. . . 4
20	1	resincld 12302	. . . 4
21	12	resqcld 10962	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8160	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8443	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8210	. . . . . . 7
27	1	recnd 8208	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9214	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9236	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8972	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8208	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 12329	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 12303	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10962	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8160	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 10163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9234	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 9115	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 15529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 15527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 9056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4130	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8298	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8226	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10171	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 12337	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 12342	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8179	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8305	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8298	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10967	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 9036	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1277	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8737	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4110	. . . . . . 7
92		3re 9217	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8160	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 9220	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8160	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10962	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8160	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 8158	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9316	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8809	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10964	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9237	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 9115	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8772	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1277	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8738	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8208	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 8125	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8208	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 8157	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8208	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8490	. . . . . . . . 9
122		sq1 10896	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 8198	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10916	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8208	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8208	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8511	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 6034	. . . . . . . . . 10
136		addcl 8157	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8593	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8204	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9273	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 6028	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8202	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8203	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 6028	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2279	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8547	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2268	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8546	. . . . . . . 8
152		subcl 8378	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8593	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8196	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8594	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 8198	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8331	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10933	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 6036	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8538	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9203	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8323	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 6028	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8207	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 6034	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2268	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4120	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8305	. . . . . 6
178		ltmul2 9036	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1277	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8208	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8203	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4116	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8210	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8302	. . . . . . 7
187		ltmul2 9036	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1277	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8203	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8593	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8196	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9218	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8809	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 9006	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 12336	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9420	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10819	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9179	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8560	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 12302	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 9036	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1277	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4110	. . . . . . 7
226		remulcl 8160	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8772	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1277	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8208	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8208	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8203	. . . . . . 7
234		sin2t 12328	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5643	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2271	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4116	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8305	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8305	. . 3
241		sincosq1sgn 15569	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 9054	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1277	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8809	. . 3 #
247		tanvalap 12287	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4116	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6018

cc 8030

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

cxr 8213

clt 8214

cle 8215

cmin 8350 # cap 8761

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

c3 9195

c4 9196

cn0 9402

cioo 10123

cioc 10124

cexp 10801

csin 12223

ccos 12224

ctan 12225

cpi 12226

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152 ax-pre-suploc 8153 ax-addf 8154 ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-disj 4065 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-of 6235 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-frec 6557 df-1o 6582 df-oadd 6586 df-er 6702 df-map 6819 df-pm 6820 df-en 6910 df-dom 6911 df-fin 6912 df-sup 7183 df-inf 7184 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-5 9205 df-6 9206 df-7 9207 df-8 9208 df-9 9209 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-xneg 10007 df-xadd 10008 df-ioo 10127 df-ioc 10128 df-ico 10129 df-icc 10130 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-fac 10989 df-bc 11011 df-ihash 11039 df-shft 11393 df-cj 11420 df-re 11421 df-im 11422 df-rsqrt 11576 df-abs 11577 df-clim 11857 df-sumdc 11932 df-ef 12227 df-sin 12229 df-cos 12230 df-tan 12231 df-pi 12232 df-rest 13342 df-topgen 13361 df-psmet 14576 df-xmet 14577 df-met 14578 df-bl 14579 df-mopn 14580 df-top 14741 df-topon 14754 df-bases 14786 df-ntr 14839 df-cn 14931 df-cnp 14932 df-tx 14996 df-cncf 15314 df-limced 15399 df-dvap 15400

This theorem is referenced by: (None)

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