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Theorem tangtx 15182

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10006	. . . . 5
2	1	recoscld 11908	. . . . 5
3	1, 2	remulcld 8076	. . . 4
4		1re 8044	. . . . . . 7
5		rehalfcl 9237	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9
7	6	resqcld 10810	. . . . . . . 8
8		3nn 9172	. . . . . . . 8
9		nndivre 9045	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7
11		resubcl 8309	. . . . . . 7 $/\$
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6
13	1, 12	remulcld 8076	. . . . 5
14		2re 9079	. . . . . . 7
15		remulcl 8026	. . . . . . 7 $/\$
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6
17		resubcl 8309	. . . . . 6 $/\$
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5
19	13, 18	remulcld 8076	. . . 4
20	1	resincld 11907	. . . 4
21	12	resqcld 10810	. . . . . . . . 9
22		remulcl 8026	. . . . . . . . 9 $/\$
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8
24		resubcl 8309	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7
26	12, 18	remulcld 8076	. . . . . . 7
27	1	recnd 8074	. . . . . . . . . . 11
28		2cn 9080	. . . . . . . . . . . 12
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
30		2ap0 9102	. . . . . . . . . . . 12 #
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 #
32	27, 29, 31	divcanap2d 8838	. . . . . . . . . 10
33	32	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9
34	6	recnd 8074	. . . . . . . . . 10
35		cos2t 11934	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9
37	33, 36	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8
38	6	recoscld 11908	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcld 10810	. . . . . . . . . 10
40		remulcl 8026	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		eliooord 10022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		2pos 9100	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8981	. . . . . . . . . . . . . 14
49		pire 15130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		rehalfcl 9237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		pigt2lt4 15128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55		2t2e4 9164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	breqtrri 4061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
58		ltdivmul 8922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	28	mullidi 8048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	breqtrrdi 4076	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		ltdivmul2 8924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	6, 42, 67	ltled 8164	. . . . . . . . . . . . . 14
69		0xr 8092	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		elioc2 10030	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13
73		cos01bnd 11942	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11
76		cos01gt0 11947	. . . . . . . . . . . . . 14
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
78		0re 8045	. . . . . . . . . . . . . 14
79		ltle 8133	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8171	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 12, 83	ltled 8164	. . . . . . . . . . . 12
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10815	. . . . . . . . . . 11
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10
87		ltmul2 8902	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8603	. . . . . . . 8
91	37, 90	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7
92		3re 9083	. . . . . . . . . 10
93		remulcl 8026	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9
95		4re 9086	. . . . . . . . . 10
96		remulcl 8026	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9
98	10	resqcld 10810	. . . . . . . . . . 11
99		remulcl 8026	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
101		readdcl 8024	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9
103		3lt4 9182	. . . . . . . . . 10
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
106	6, 48	gt0ap0d 8675	. . . . . . . . . . . . 13 #
107	6, 106	sqgt0apd 10812	. . . . . . . . . . . 12
108		3pos 9103	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8981	. . . . . . . . . . 11
111		ltmul1 8638	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8604	. . . . . . . 8
115	42	recnd 8074	. . . . . . . . 9
116		ax-1cn 7991	. . . . . . . . . . 11
117	100	recnd 8074	. . . . . . . . . . 11
118		addcl 8023	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
120	97	recnd 8074	. . . . . . . . . 10
121	119, 120	subcld 8356	. . . . . . . . 9
122		sq1 10744	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
124	10	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	mulid2d 8064	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14
127	123, 126	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12
129		binom2sub 10764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
131	98	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . 13
132	16	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . 13
133	115, 131, 132	addsubd 8377	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10
136		addcl 8023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11
138	29, 137, 132	subdid 8459	. . . . . . . . . 10
139	29, 115, 131	adddid 8070	. . . . . . . . . . . . 13
140	116	2timesi 9139	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . 14
142	115, 115, 117	addassd 8068	. . . . . . . . . . . . . 14
143	141, 142	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . 13
144	139, 143	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12
145	29, 29, 124	mulassd 8069	. . . . . . . . . . . . 13
146	55	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . 13
147	145, 146	eqtr3di 2244	. . . . . . . . . . . 12
148	144, 147	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8413	. . . . . . . . . 10
150	135, 138, 149	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9
151	115, 121, 150	mvrladdd 8412	. . . . . . . 8
152		subcl 8244	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
154	153, 115, 132	subdid 8459	. . . . . . . . 9
155	153	mulridd 8062	. . . . . . . . . 10
156	115, 124, 132	subdird 8460	. . . . . . . . . . 11
157	132	mulid2d 8064	. . . . . . . . . . . 12
158	124, 29, 124	mul12d 8197	. . . . . . . . . . . . 13
159	124	sqvald 10781	. . . . . . . . . . . . . 14
160	159	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
161	158, 160	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . 12
162	157, 161	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11
163	156, 162	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10
164	155, 163	oveq12d 5943	. . . . . . . . 9
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8404	. . . . . . . . . 10
166		df-3 9069	. . . . . . . . . . . . . 14
167	28, 116	addcomi 8189	. . . . . . . . . . . . . 14
168	166, 167	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13
169	168	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . 12
170	125	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8073	. . . . . . . . . . . 12
172	169, 171	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11
173	172	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10
174	165, 173	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9
175	154, 164, 174	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8
176	114, 151, 175	3brtr4d 4066	. . . . . . 7
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8171	. . . . . 6
178		ltmul2 8902	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1253	. . . . . 6
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5
181	18	recnd 8074	. . . . . 6
182	27, 153, 181	mulassd 8069	. . . . 5
183	180, 182	breqtrrd 4062	. . . 4
184	13, 38	remulcld 8076	. . . . 5
185	74	simpld 112	. . . . . 6
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8168	. . . . . . 7
187		ltmul2 8902	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1253	. . . . . 6
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5
190	29, 34, 153	mulassd 8069	. . . . . . . . 9
191	32	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9
192	34, 115, 124	subdid 8459	. . . . . . . . . . 11
193	34	mulridd 8062	. . . . . . . . . . . 12
194	166	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195		2nn0 9285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
196		expp1 10657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198	194, 197	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15
199	7	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	199, 34	mulcomd 8067	. . . . . . . . . . . . . . 15
201	198, 200	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14
202	201	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13
203		3cn 9084	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
205	104, 109	gt0ap0d 8675	. . . . . . . . . . . . . 14 #
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8872	. . . . . . . . . . . . 13
207	202, 206	eqtr2d 2230	. . . . . . . . . . . 12
208	193, 207	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11
209	192, 208	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10
210	209	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2237	. . . . . . . 8
212		sin01bnd 11941	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9
215		3nn0 9286	. . . . . . . . . . . . 13
216		reexpcl 10667	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12
218		nndivre 9045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
220	6, 219	resubcld 8426	. . . . . . . . . 10
221	6	resincld 11907	. . . . . . . . . 10
222		ltmul2 8902	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8
225	211, 224	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7
226		remulcl 8026	. . . . . . . . 9 $/\$
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8
228		ltmul1 8638	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1253	. . . . . . 7
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6
231	221	recnd 8074	. . . . . . . 8
232	38	recnd 8074	. . . . . . . 8
233	29, 231, 232	mulassd 8069	. . . . . . 7
234		sin2t 11933	. . . . . . . 8
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7
236	32	fveq2d 5565	. . . . . . 7
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2236	. . . . . 6
238	230, 237	breqtrrd 4062	. . . . 5
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8171	. . . 4
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8171	. . 3
241		sincosq1sgn 15170	. . . . 5 $/\$
242	241	simprd 114	. . . 4
243		ltmuldiv 8920	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1253	. . 3
245	240, 244	mpbid 147	. 2
246	2, 242	gt0ap0d 8675	. . 3 #
247		tanvalap 11892	. . 3 $/\$ #
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2
249	245, 248	breqtrrd 4062	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167 class class class wbr 4034

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7896

cr 7897

cc0 7898

c1 7899

caddc 7901

cmul 7903

cxr 8079

clt 8080

cle 8081

cmin 8216 # cap 8627

cdiv 8718

cn 9009

c2 9060

c3 9061

c4 9062

cn0 9268

cioo 9982

cioc 9983

cexp 10649

csin 11828

ccos 11829

ctan 11830

cpi 11831

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7989 ax-resscn 7990 ax-1cn 7991 ax-1re 7992 ax-icn 7993 ax-addcl 7994 ax-addrcl 7995 ax-mulcl 7996 ax-mulrcl 7997 ax-addcom 7998 ax-mulcom 7999 ax-addass 8000 ax-mulass 8001 ax-distr 8002 ax-i2m1 8003 ax-0lt1 8004 ax-1rid 8005 ax-0id 8006 ax-rnegex 8007 ax-precex 8008 ax-cnre 8009 ax-pre-ltirr 8010 ax-pre-ltwlin 8011 ax-pre-lttrn 8012 ax-pre-apti 8013 ax-pre-ltadd 8014 ax-pre-mulgt0 8015 ax-pre-mulext 8016 ax-arch 8017 ax-caucvg 8018 ax-pre-suploc 8019 ax-addf 8020 ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-disj 4012 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-of 6139 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-oadd 6487 df-er 6601 df-map 6718 df-pm 6719 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-inf 7060 df-pnf 8082 df-mnf 8083 df-xr 8084 df-ltxr 8085 df-le 8086 df-sub 8218 df-neg 8219 df-reap 8621 df-ap 8628 df-div 8719 df-inn 9010 df-2 9068 df-3 9069 df-4 9070 df-5 9071 df-6 9072 df-7 9073 df-8 9074 df-9 9075 df-n0 9269 df-z 9346 df-uz 9621 df-q 9713 df-rp 9748 df-xneg 9866 df-xadd 9867 df-ioo 9986 df-ioc 9987 df-ico 9988 df-icc 9989 df-fz 10103 df-fzo 10237 df-seqfrec 10559 df-exp 10650 df-fac 10837 df-bc 10859 df-ihash 10887 df-shft 10999 df-cj 11026 df-re 11027 df-im 11028 df-rsqrt 11182 df-abs 11183 df-clim 11463 df-sumdc 11538 df-ef 11832 df-sin 11834 df-cos 11835 df-tan 11836 df-pi 11837 df-rest 12945 df-topgen 12964 df-psmet 14177 df-xmet 14178 df-met 14179 df-bl 14180 df-mopn 14181 df-top 14342 df-topon 14355 df-bases 14387 df-ntr 14440 df-cn 14532 df-cnp 14533 df-tx 14597 df-cncf 14915 df-limced 15000 df-dvap 15001

This theorem is referenced by: (None)

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