Theorem peano2nn 9251

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn	|- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem peano2nn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 9241	. . . . . 6 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	eleq2i 2301	. . . . 5 |- ( A e. NN <-> A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
3		elintg 3959	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
4	2, 3	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A e. NN <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
5	4	ibi 176	. . 3 |- ( A e. NN -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z )
6		vex 2818	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7		eleq2 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( 1 e. x <-> 1 e. z ) )
8		eleq2 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. z ) )
9	8	raleqbi1dv 2755	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) ) )
11	6, 10	elab 2963	. . . . . . 7 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> A. y e. z ( y + 1 ) e. z )
13		oveq1 6059	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y + 1 ) = ( A + 1 ) )
14	13	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( y + 1 ) e. z <-> ( A + 1 ) e. z ) )
15	14	rspcva 2921	. . . . . 6 |- ( ( A e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) -> ( A + 1 ) e. z )
16	12, 15	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. z /\ z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ) -> ( A + 1 ) e. z )
17	16	expcom 116	. . . 4 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> ( A e. z -> ( A + 1 ) e. z ) )
18	17	ralimia 2605	. . 3 |- ( A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
19	5, 18	syl 14	. 2 |- ( A e. NN -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
20		nnre 9246	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
21		1red 8291	. . . 4 |- ( A e. NN -> 1 e. RR )
22	20, 21	readdcld 8305	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. RR )
23	1	eleq2i 2301	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. NN <-> ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
24		elintg 3959	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. RR -> ( ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
25	23, 24	bitrid 192	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. RR -> ( ( A + 1 ) e. NN <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
26	22, 25	syl 14	. 2 |- ( A e. NN -> ( ( A + 1 ) e. NN <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
27	19, 26	mpbird 167	1 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   |^|cint 3951  (class class class)co 6052   RRcr 8128   1c1 8130   + caddc 8132   NNcn 9239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240

This theorem is referenced by:  peano2nnd  9254  nnind  9255  nnaddcl  9259  2nn  9401  3nn  9402  4nn  9403  5nn  9404  6nn  9405  7nn  9406  8nn  9407  9nn  9408  nneoor  9683  10nn  9727  nnsplit  10475  fzonn0p1p1  10562  expp1  10912  facp1  11096  resqrexlemfp1  11698  resqrexlemcalc3  11705  trireciplem  12190  trirecip  12191  cvgratnnlemnexp  12214  cvgratz  12222  nno  12596  nnoddm1d2  12600  rplpwr  12727  prmind2  12821  sqrt2irr  12863  pcmpt  13045  pockthi  13060  dec5nprm  13116  mulgnnp1  13864  2sqlem10  16015