Theorem 4nn 9157

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9054	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9156	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9005	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2269	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2167  (class class class)co 5923   1c1 7883   + caddc 7885   NNcn 8993   3c3 9045   4c4 9046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1re 7976  ax-addrcl 7979

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054

This theorem is referenced by:  5nn  9158  4nn0  9271  4z  9359  fldiv4p1lem1div2  10398  fldiv4lem1div2uz2  10399  fldiv4lem1div2  10400  iexpcyc  10739  resqrexlemnmsq  11185  ef01bndlem  11924  flodddiv4  12104  flodddiv4t2lthalf  12107  6lcm4e12  12266  2expltfac  12619  starvndx  12827  starvid  12828  starvslid  12829  srngstrd  12834  homndx  12921  homid  12922  homslid  12923  prdsvalstrd  12959  dveflem  14988  tan4thpi  15103  gausslemma2dlem0d  15319  gausslemma2dlem3  15330  gausslemma2dlem4  15331  gausslemma2dlem5a  15332  gausslemma2dlem5  15333  gausslemma2dlem6  15334  m1lgs  15352  2lgslem1a2  15354  2lgslem1a  15355  2lgslem1  15358  2lgslem2  15359  2lgslem3a  15360  2lgslem3b  15361  2lgslem3c  15362  2lgslem3d  15363