Theorem 4nn 9082

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 8980	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9081	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 8931	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2250	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   1c1 7812   + caddc 7814   NNcn 8919   3c3 8971   4c4 8972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980

This theorem is referenced by:  5nn  9083  4nn0  9195  4z  9283  fldiv4p1lem1div2  10305  iexpcyc  10625  resqrexlemnmsq  11026  ef01bndlem  11764  flodddiv4  11939  flodddiv4t2lthalf  11942  6lcm4e12  12087  starvndx  12597  starvid  12598  starvslid  12599  srngstrd  12604  homid  12684  homslid  12685  dveflem  14190  tan4thpi  14265  m1lgs  14455