Theorem 4nn 9171

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9068	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9170	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9019	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2269	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   1c1 7897   + caddc 7899   NNcn 9007   3c3 9059   4c4 9060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068

This theorem is referenced by:  5nn  9172  4nn0  9285  4z  9373  fldiv4p1lem1div2  10412  fldiv4lem1div2uz2  10413  fldiv4lem1div2  10414  iexpcyc  10753  resqrexlemnmsq  11199  ef01bndlem  11938  flodddiv4  12118  flodddiv4t2lthalf  12121  6lcm4e12  12280  2expltfac  12633  starvndx  12841  starvid  12842  starvslid  12843  srngstrd  12848  homndx  12935  homid  12936  homslid  12937  prdsvalstrd  12973  dveflem  15046  tan4thpi  15161  gausslemma2dlem0d  15377  gausslemma2dlem3  15388  gausslemma2dlem4  15389  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem5  15391  gausslemma2dlem6  15392  m1lgs  15410  2lgslem1a2  15412  2lgslem1a  15413  2lgslem1  15416  2lgslem2  15417  2lgslem3a  15418  2lgslem3b  15419  2lgslem3c  15420  2lgslem3d  15421