Theorem 4nn 9472

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9367	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9471	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9318	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2311	1 |- 4 e. NN

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   NNcn 9306   3c3 9358   4c4 9359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367

This theorem is used by:  5nn  9473  4nn0  9586  4z  9678  fldiv4p1lem1div2  10753  fldiv4lem1div2uz2  10754  fldiv4lem1div2  10755  iexpcyc  11094  resqrexlemnmsq  11797  ef01bndlem  12539  flodddiv4  12719  flodddiv4t2lthalf  12722  6lcm4e12  12881  2expltfac  13239  8nprm  13246  37prm  13255  43prm  13256  83prm  13257  139prm  13258  631prm  13261  1259prm  13267  starvndx  13542  starvid  13543  starvslid  13544  srngstrd  13549  homndx  13636  homid  13637  homslid  13638  prdsvalstrd  13669  dveflem  15876  tan4thpi  15992  log2tlbndlog2  16139  log2ublog2  16143  bclbnd  16205  bpos1  16208  gausslemma2dlem0d  16269  gausslemma2dlem3  16280  gausslemma2dlem4  16281  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem5  16283  gausslemma2dlem6  16284  m1lgs  16302  2lgslem1a2  16304  2lgslem1a  16305  2lgslem1  16308  2lgslem2  16309  2lgslem3a  16310  2lgslem3b  16311  2lgslem3c  16312  2lgslem3d  16313