Theorem 4nn 9111

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9009	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9110	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 8960	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2262	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2160  (class class class)co 5895   1c1 7841   + caddc 7843   NNcn 8948   3c3 9000   4c4 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009

This theorem is referenced by:  5nn  9112  4nn0  9224  4z  9312  fldiv4p1lem1div2  10335  iexpcyc  10655  resqrexlemnmsq  11057  ef01bndlem  11795  flodddiv4  11970  flodddiv4t2lthalf  11973  6lcm4e12  12118  starvndx  12647  starvid  12648  starvslid  12649  srngstrd  12654  homid  12737  homslid  12738  dveflem  14639  tan4thpi  14714  m1lgs  14905