Theorem 4nn 9418

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9315	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9417	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9266	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2307	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   NNcn 9254   3c3 9306   4c4 9307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315

This theorem is referenced by:  5nn  9419  4nn0  9532  4z  9624  fldiv4p1lem1div2  10689  fldiv4lem1div2uz2  10690  fldiv4lem1div2  10691  iexpcyc  11030  resqrexlemnmsq  11727  ef01bndlem  12467  flodddiv4  12647  flodddiv4t2lthalf  12650  6lcm4e12  12809  2expltfac  13162  starvndx  13436  starvid  13437  starvslid  13438  srngstrd  13443  homndx  13530  homid  13531  homslid  13532  prdsvalstrd  13563  dveflem  15717  tan4thpi  15832  gausslemma2dlem0d  16051  gausslemma2dlem3  16062  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem5  16065  gausslemma2dlem6  16066  m1lgs  16084  2lgslem1a2  16086  2lgslem1a  16087  2lgslem1  16090  2lgslem2  16091  2lgslem3a  16092  2lgslem3b  16093  2lgslem3c  16094  2lgslem3d  16095