Theorem 4nn 9154

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9051	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9153	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9002	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2269	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   NNcn 8990   3c3 9042   4c4 9043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051

This theorem is referenced by:  5nn  9155  4nn0  9268  4z  9356  fldiv4p1lem1div2  10395  fldiv4lem1div2uz2  10396  fldiv4lem1div2  10397  iexpcyc  10736  resqrexlemnmsq  11182  ef01bndlem  11921  flodddiv4  12101  flodddiv4t2lthalf  12104  6lcm4e12  12255  2expltfac  12608  starvndx  12816  starvid  12817  starvslid  12818  srngstrd  12823  homid  12906  homslid  12907  dveflem  14962  tan4thpi  15077  gausslemma2dlem0d  15293  gausslemma2dlem3  15304  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308  m1lgs  15326  2lgslem1a2  15328  2lgslem1a  15329  2lgslem1  15332  2lgslem2  15333  2lgslem3a  15334  2lgslem3b  15335  2lgslem3c  15336  2lgslem3d  15337