Theorem 4nn 9479

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9374	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9478	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9325	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2311	1 |- 4 e. NN

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   NNcn 9313   3c3 9365   4c4 9366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374

This theorem is used by:  5nn  9480  4nn0  9593  4z  9685  fldiv4p1lem1div2  10761  fldiv4lem1div2uz2  10762  fldiv4lem1div2  10763  iexpcyc  11102  resqrexlemnmsq  11805  ef01bndlem  12548  flodddiv4  12728  flodddiv4t2lthalf  12731  6lcm4e12  12890  2expltfac  13248  8nprm  13255  37prm  13264  43prm  13265  83prm  13266  139prm  13267  631prm  13270  1259prm  13276  starvndx  13552  starvid  13553  starvslid  13554  srngstrd  13559  homndx  13646  homid  13647  homslid  13648  prdsvalstrd  13679  dveflem  15952  tan4thpi  16068  log2tlbndlog2  16220  log2ublog2  16224  bclbnd  16307  bpos1  16310  bposlem6  16316  bposlem7  16317  bposlem8  16318  bposlem9  16319  gausslemma2dlem0d  16376  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem5  16390  gausslemma2dlem6  16391  m1lgs  16409  2lgslem1a2  16411  2lgslem1a  16412  2lgslem1  16415  2lgslem2  16416  2lgslem3a  16417  2lgslem3b  16418  2lgslem3c  16419  2lgslem3d  16420