Theorem 4nn 9235

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9132	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9234	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9083	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2280	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   1c1 7961   + caddc 7963   NNcn 9071   3c3 9123   4c4 9124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132

This theorem is referenced by:  5nn  9236  4nn0  9349  4z  9437  fldiv4p1lem1div2  10485  fldiv4lem1div2uz2  10486  fldiv4lem1div2  10487  iexpcyc  10826  resqrexlemnmsq  11443  ef01bndlem  12182  flodddiv4  12362  flodddiv4t2lthalf  12365  6lcm4e12  12524  2expltfac  12877  starvndx  13086  starvid  13087  starvslid  13088  srngstrd  13093  homndx  13180  homid  13181  homslid  13182  prdsvalstrd  13218  dveflem  15313  tan4thpi  15428  gausslemma2dlem0d  15644  gausslemma2dlem3  15655  gausslemma2dlem4  15656  gausslemma2dlem5a  15657  gausslemma2dlem5  15658  gausslemma2dlem6  15659  m1lgs  15677  2lgslem1a2  15679  2lgslem1a  15680  2lgslem1  15683  2lgslem2  15684  2lgslem3a  15685  2lgslem3b  15686  2lgslem3c  15687  2lgslem3d  15688