Theorem 4nn 9041

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 8939	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9040	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 8890	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2243	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2141  (class class class)co 5853   1c1 7775   + caddc 7777   NNcn 8878   3c3 8930   4c4 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939

This theorem is referenced by:  5nn  9042  4nn0  9154  4z  9242  fldiv4p1lem1div2  10261  iexpcyc  10580  resqrexlemnmsq  10981  ef01bndlem  11719  flodddiv4  11893  flodddiv4t2lthalf  11896  6lcm4e12  12041  starvndx  12537  starvid  12538  starvslid  12539  srngstrd  12540  dveflem  13481  tan4thpi  13556