Theorem 4nn 9447

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9344	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 9446	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 9295	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2311	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   1c1 8170   + caddc 8172   NNcn 9283   3c3 9335   4c4 9336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344

This theorem is referenced by:  5nn  9448  4nn0  9561  4z  9653  fldiv4p1lem1div2  10718  fldiv4lem1div2uz2  10719  fldiv4lem1div2  10720  iexpcyc  11059  resqrexlemnmsq  11761  ef01bndlem  12501  flodddiv4  12681  flodddiv4t2lthalf  12684  6lcm4e12  12843  2expltfac  13196  starvndx  13470  starvid  13471  starvslid  13472  srngstrd  13477  homndx  13564  homid  13565  homslid  13566  prdsvalstrd  13597  dveflem  15750  tan4thpi  15865  gausslemma2dlem0d  16085  gausslemma2dlem3  16096  gausslemma2dlem4  16097  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem5  16099  gausslemma2dlem6  16100  m1lgs  16118  2lgslem1a2  16120  2lgslem1a  16121  2lgslem1  16124  2lgslem2  16125  2lgslem3a  16126  2lgslem3b  16127  2lgslem3c  16128  2lgslem3d  16129