Theorem 3nn 9181

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9078	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9180	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9030	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2277	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5934  1c1 7908   + caddc 7910  ℕcn 9018  2c2 9069  3c3 9070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5229  df-fv 5276  df-ov 5937  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078

This theorem is referenced by:  4nn  9182  3nn0  9295  3z  9383  ige3m2fz  10153  sin01bnd  11987  5ndvds3  12164  3lcm2e6woprm  12327  3lcm2e6  12401  mulrndx  12880  mulridx  12881  mulrslid  12882  rngstrg  12885  unifndx  12976  unifid  12977  unifndxnn  12978  slotsdifunifndx  12982  cnfldstr  14238  tangtx  15228  lgsdir2lem1  15423  lgsdir2lem5  15427