Theorem 3nn 9471

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9366	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9470	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9318	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℕcn 9306  2c2 9357  3c3 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366

This theorem is used by:  4nn  9472  3nn0  9585  3z  9677  ige3m2fz  10464  sin01bnd  12540  5ndvds3  12717  3lcm2e6woprm  12880  3lcm2e6  12955  5prm  13243  6nprm  13244  7prm  13245  9nprm  13247  11prm  13249  13prm  13250  17prm  13251  19prm  13252  23prm  13253  prmlem2  13254  37prm  13255  43prm  13256  83prm  13257  139prm  13258  163prm  13259  317prm  13260  631prm  13261  1259lem5  13266  mulrndx  13533  mulridx  13534  mulrslid  13535  rngstrg  13538  unifndx  13629  unifid  13630  unifndxnn  13631  slotsdifunifndx  13635  cnfldstr  14944  tangtx  15989  log2tlbndlog2  16139  log2ublem1  16140  log2ublem2  16141  log2ublog2  16143  ppiublem1  16192  ppiqub  16194  bposlem3  16211  bposlem4  16212  bposlem5  16213  lgsdir2lem1  16245  lgsdir2lem5  16249  usgrexmpldifpr  16588