Theorem 3nn 9083

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8981	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9082	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 8933	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2250	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  ℕcn 8921  2c2 8972  3c3 8973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981

This theorem is referenced by:  4nn  9084  3nn0  9196  3z  9284  ige3m2fz  10051  sin01bnd  11767  3lcm2e6woprm  12088  3lcm2e6  12162  mulrndx  12590  mulridx  12591  mulrslid  12592  rngstrg  12595  unifndx  12682  unifid  12683  unifndxnn  12684  slotsdifunifndx  12688  cnfldstr  13542  tangtx  14344  lgsdir2lem1  14514  lgsdir2lem5  14518