Theorem 3nn 9019

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8917	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9018	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 8869	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2239	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  1c1 7754   + caddc 7756  ℕcn 8857  2c2 8908  3c3 8909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917

This theorem is referenced by:  4nn  9020  3nn0  9132  3z  9220  ige3m2fz  9984  sin01bnd  11698  3lcm2e6woprm  12018  3lcm2e6  12092  mulrndx  12505  mulrid  12506  mulrslid  12507  rngstrg  12510  tangtx  13399  lgsdir2lem1  13569  lgsdir2lem5  13573