Theorem 3nn 9040

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8938	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9039	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 8890	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2243	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  1c1 7775   + caddc 7777  ℕcn 8878  2c2 8929  3c3 8930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938

This theorem is referenced by:  4nn  9041  3nn0  9153  3z  9241  ige3m2fz  10005  sin01bnd  11720  3lcm2e6woprm  12040  3lcm2e6  12114  mulrndx  12528  mulrid  12529  mulrslid  12530  rngstrg  12533  tangtx  13553  lgsdir2lem1  13723  lgsdir2lem5  13727