Theorem 3nn 9170

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9067	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9169	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9019	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7897   + caddc 7899  ℕcn 9007  2c2 9058  3c3 9059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067

This theorem is referenced by:  4nn  9171  3nn0  9284  3z  9372  ige3m2fz  10141  sin01bnd  11939  5ndvds3  12116  3lcm2e6woprm  12279  3lcm2e6  12353  mulrndx  12832  mulridx  12833  mulrslid  12834  rngstrg  12837  unifndx  12928  unifid  12929  unifndxnn  12930  slotsdifunifndx  12934  cnfldstr  14190  tangtx  15158  lgsdir2lem1  15353  lgsdir2lem5  15357