Theorem 3nn 9348

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9245	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9347	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9197	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  1c1 8076   + caddc 8078  ℕcn 9185  2c2 9236  3c3 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245

This theorem is referenced by:  4nn  9349  3nn0  9462  3z  9552  ige3m2fz  10329  sin01bnd  12381  5ndvds3  12558  3lcm2e6woprm  12721  3lcm2e6  12795  mulrndx  13276  mulridx  13277  mulrslid  13278  rngstrg  13281  unifndx  13372  unifid  13373  unifndxnn  13374  slotsdifunifndx  13378  cnfldstr  14637  tangtx  15632  lgsdir2lem1  15830  lgsdir2lem5  15834  usgrexmpldifpr  16173