Theorem 3nn 9306

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9203	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9305	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9155	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035  ℕcn 9143  2c2 9194  3c3 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203

This theorem is referenced by:  4nn  9307  3nn0  9420  3z  9508  ige3m2fz  10284  sin01bnd  12323  5ndvds3  12500  3lcm2e6woprm  12663  3lcm2e6  12737  mulrndx  13218  mulridx  13219  mulrslid  13220  rngstrg  13223  unifndx  13314  unifid  13315  unifndxnn  13316  slotsdifunifndx  13320  cnfldstr  14578  tangtx  15568  lgsdir2lem1  15763  lgsdir2lem5  15767  usgrexmpldifpr  16106