Theorem 3nn 9478

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9373	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9477	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9325	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℕcn 9313  2c2 9364  3c3 9365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373

This theorem is used by:  4nn  9479  3nn0  9592  3z  9682  ige3m2fz  10470  sin01bnd  12548  5ndvds3  12725  3lcm2e6woprm  12888  3lcm2e6  12963  5prm  13251  6nprm  13252  7prm  13253  9nprm  13255  11prm  13257  13prm  13258  17prm  13259  19prm  13260  23prm  13261  prmlem2  13262  37prm  13263  43prm  13264  83prm  13265  139prm  13266  163prm  13267  317prm  13268  631prm  13269  1259lem5  13274  mulrndx  13542  mulridx  13543  mulrslid  13544  rngstrg  13547  unifndx  13638  unifid  13639  unifndxnn  13640  slotsdifunifndx  13644  cnfldstr  15003  tangtx  16082  log2tlbndlog2  16237  log2ublem1  16238  log2ublem2  16239  log2ublog2  16241  ppiublem1  16308  ppiqub  16310  chtqub  16313  bposlem3  16330  bposlem4  16331  bposlem5  16332  bposlem6  16333  bposlem9  16336  lgsdir2lem1  16369  lgsdir2lem5  16373  usgrexmpldifpr  16712