Theorem 3nn 9147

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9044	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9146	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 8996	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877  ℕcn 8984  2c2 9035  3c3 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044

This theorem is referenced by:  4nn  9148  3nn0  9261  3z  9349  ige3m2fz  10118  sin01bnd  11903  3lcm2e6woprm  12227  3lcm2e6  12301  mulrndx  12750  mulridx  12751  mulrslid  12752  rngstrg  12755  unifndx  12842  unifid  12843  unifndxnn  12844  slotsdifunifndx  12848  cnfldstr  14057  tangtx  15014  lgsdir2lem1  15185  lgsdir2lem5  15189