Theorem 3nn 9305

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9202	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9304	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9154	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034  ℕcn 9142  2c2 9193  3c3 9194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202

This theorem is referenced by:  4nn  9306  3nn0  9419  3z  9507  ige3m2fz  10283  sin01bnd  12317  5ndvds3  12494  3lcm2e6woprm  12657  3lcm2e6  12731  mulrndx  13212  mulridx  13213  mulrslid  13214  rngstrg  13217  unifndx  13308  unifid  13309  unifndxnn  13310  slotsdifunifndx  13314  cnfldstr  14571  tangtx  15561  lgsdir2lem1  15756  lgsdir2lem5  15760  usgrexmpldifpr  16099