Theorem 3nn 9417

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9314	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9416	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9266	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2307	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  1c1 8144   + caddc 8146  ℕcn 9254  2c2 9305  3c3 9306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314

This theorem is referenced by:  4nn  9418  3nn0  9531  3z  9623  ige3m2fz  10403  sin01bnd  12468  5ndvds3  12645  3lcm2e6woprm  12808  3lcm2e6  12882  mulrndx  13427  mulridx  13428  mulrslid  13429  rngstrg  13432  unifndx  13523  unifid  13524  unifndxnn  13525  slotsdifunifndx  13529  cnfldstr  14832  tangtx  15829  lgsdir2lem1  16027  lgsdir2lem5  16031  usgrexmpldifpr  16370