Theorem 3nn 9156

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9053	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9155	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9005	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5923  1c1 7883   + caddc 7885  ℕcn 8993  2c2 9044  3c3 9045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1re 7976  ax-addrcl 7979

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053

This theorem is referenced by:  4nn  9157  3nn0  9270  3z  9358  ige3m2fz  10127  sin01bnd  11925  5ndvds3  12102  3lcm2e6woprm  12265  3lcm2e6  12339  mulrndx  12818  mulridx  12819  mulrslid  12820  rngstrg  12823  unifndx  12914  unifid  12915  unifndxnn  12916  slotsdifunifndx  12920  cnfldstr  14140  tangtx  15100  lgsdir2lem1  15295  lgsdir2lem5  15299