Theorem 3nn 9400

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9297	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9399	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9249	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2305	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130  ℕcn 9237  2c2 9288  3c3 9289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297

This theorem is referenced by:  4nn  9401  3nn0  9514  3z  9606  ige3m2fz  10383  sin01bnd  12443  5ndvds3  12620  3lcm2e6woprm  12783  3lcm2e6  12857  mulrndx  13343  mulridx  13344  mulrslid  13345  rngstrg  13348  unifndx  13439  unifid  13440  unifndxnn  13441  slotsdifunifndx  13445  cnfldstr  14706  tangtx  15703  lgsdir2lem1  15901  lgsdir2lem5  15905  usgrexmpldifpr  16244