Theorem 3nn 9472

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9367	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9471	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9319	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8181   + caddc 8183  ℕcn 9307  2c2 9358  3c3 9359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367

This theorem is used by:  4nn  9473  3nn0  9586  3z  9678  ige3m2fz  10465  sin01bnd  12543  5ndvds3  12720  3lcm2e6woprm  12883  3lcm2e6  12958  5prm  13246  6nprm  13247  7prm  13248  9nprm  13250  11prm  13252  13prm  13253  17prm  13254  19prm  13255  23prm  13256  prmlem2  13257  37prm  13258  43prm  13259  83prm  13260  139prm  13261  163prm  13262  317prm  13263  631prm  13264  1259lem5  13269  mulrndx  13537  mulridx  13538  mulrslid  13539  rngstrg  13542  unifndx  13633  unifid  13634  unifndxnn  13635  slotsdifunifndx  13639  cnfldstr  14979  tangtx  16031  log2tlbndlog2  16181  log2ublem1  16182  log2ublem2  16183  log2ublog2  16185  ppiublem1  16252  ppiqub  16254  chtqub  16257  bposlem3  16274  bposlem4  16275  bposlem5  16276  bposlem6  16277  bposlem9  16280  lgsdir2lem1  16313  lgsdir2lem5  16317  usgrexmpldifpr  16656