Theorem 3nn 9284

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9181	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9283	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9133	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  ℕcn 9121  2c2 9172  3c3 9173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181

This theorem is referenced by:  4nn  9285  3nn0  9398  3z  9486  ige3m2fz  10257  sin01bnd  12283  5ndvds3  12460  3lcm2e6woprm  12623  3lcm2e6  12697  mulrndx  13178  mulridx  13179  mulrslid  13180  rngstrg  13183  unifndx  13274  unifid  13275  unifndxnn  13276  slotsdifunifndx  13280  cnfldstr  14537  tangtx  15527  lgsdir2lem1  15722  lgsdir2lem5  15726