Theorem 3nn 9172

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9069	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9171	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9021	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7899   + caddc 7901  ℕcn 9009  2c2 9060  3c3 9061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069

This theorem is referenced by:  4nn  9173  3nn0  9286  3z  9374  ige3m2fz  10143  sin01bnd  11941  5ndvds3  12118  3lcm2e6woprm  12281  3lcm2e6  12355  mulrndx  12834  mulridx  12835  mulrslid  12836  rngstrg  12839  unifndx  12930  unifid  12931  unifndxnn  12932  slotsdifunifndx  12936  cnfldstr  14192  tangtx  15182  lgsdir2lem1  15377  lgsdir2lem5  15381