Theorem 3nn 9296

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9193	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9295	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9145	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  1c1 8023   + caddc 8025  ℕcn 9133  2c2 9184  3c3 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193

This theorem is referenced by:  4nn  9297  3nn0  9410  3z  9498  ige3m2fz  10274  sin01bnd  12308  5ndvds3  12485  3lcm2e6woprm  12648  3lcm2e6  12722  mulrndx  13203  mulridx  13204  mulrslid  13205  rngstrg  13208  unifndx  13299  unifid  13300  unifndxnn  13301  slotsdifunifndx  13305  cnfldstr  14562  tangtx  15552  lgsdir2lem1  15747  lgsdir2lem5  15751  usgrexmpldifpr  16088