Theorem 3nn 9269

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9166	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 9268	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 9118	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  1c1 7996   + caddc 7998  ℕcn 9106  2c2 9157  3c3 9158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166

This theorem is referenced by:  4nn  9270  3nn0  9383  3z  9471  ige3m2fz  10241  sin01bnd  12263  5ndvds3  12440  3lcm2e6woprm  12603  3lcm2e6  12677  mulrndx  13158  mulridx  13159  mulrslid  13160  rngstrg  13163  unifndx  13254  unifid  13255  unifndxnn  13256  slotsdifunifndx  13260  cnfldstr  14516  tangtx  15506  lgsdir2lem1  15701  lgsdir2lem5  15705