Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm Unicode version

Theorem 3lcm2e6woprm 11560
 Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm lcm

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 8653 . . . 4
2 2cn 8649 . . . 4
31, 2mulcli 7643 . . 3
4 3z 8935 . . . 4
5 2z 8934 . . . 4
6 lcmcl 11546 . . . . 5 lcm
76nn0cnd 8884 . . . 4 lcm
84, 5, 7mp2an 420 . . 3 lcm
94, 5pm3.2i 268 . . . . 5
10 2ne0 8670 . . . . . . 7
1110neii 2269 . . . . . 6
1211intnan 882 . . . . 5
13 gcdn0cl 11446 . . . . . 6
1413nncnd 8592 . . . . 5
159, 12, 14mp2an 420 . . . 4
169, 12, 13mp2an 420 . . . . . 6
1716nnne0i 8610 . . . . 5
1816nnzi 8927 . . . . . 6
19 0z 8917 . . . . . 6
20 zapne 8977 . . . . . 6 #
2118, 19, 20mp2an 420 . . . . 5 #
2217, 21mpbir 145 . . . 4 #
2315, 22pm3.2i 268 . . 3 #
24 3nn 8734 . . . . . . 7
25 2nn 8733 . . . . . . 7
2624, 25pm3.2i 268 . . . . . 6
27 lcmgcdnn 11556 . . . . . . 7 lcm
2827eqcomd 2105 . . . . . 6 lcm
2926, 28mp1i 10 . . . . 5 lcm # lcm
30 divmulap3 8298 . . . . 5 lcm # lcm lcm
3129, 30mpbird 166 . . . 4 lcm # lcm
3231eqcomd 2105 . . 3 lcm # lcm
333, 8, 23, 32mp3an 1283 . 2 lcm
34 gcdcom 11457 . . . . 5
354, 5, 34mp2an 420 . . . 4
36 1z 8932 . . . . . . . . 9
37 gcdid 11469 . . . . . . . . 9
3836, 37ax-mp 7 . . . . . . . 8
39 abs1 10684 . . . . . . . 8
4038, 39eqtr2i 2121 . . . . . . 7
41 gcdadd 11468 . . . . . . . 8
4236, 36, 41mp2an 420 . . . . . . 7
43 1p1e2 8695 . . . . . . . 8
4443oveq2i 5717 . . . . . . 7
4540, 42, 443eqtri 2124 . . . . . 6
46 gcdcom 11457 . . . . . . 7
4736, 5, 46mp2an 420 . . . . . 6
48 gcdadd 11468 . . . . . . 7
495, 36, 48mp2an 420 . . . . . 6
5045, 47, 493eqtri 2124 . . . . 5
51 1p2e3 8706 . . . . . 6
5251oveq2i 5717 . . . . 5
5350, 52eqtr2i 2121 . . . 4
5435, 53eqtri 2120 . . 3
5554oveq2i 5717 . 2
56 3t2e6 8728 . . . 4
5756oveq1i 5716 . . 3
58 6cn 8660 . . . 4
5958div1i 8361 . . 3
6057, 59eqtri 2120 . 2
6133, 55, 603eqtri 2124 1 lcm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 103   wb 104   w3a 930   wceq 1299   wcel 1448   wne 2267   class class class wbr 3875  cfv 5059  (class class class)co 5706  cc 7498  cc0 7500  c1 7501   caddc 7503   cmul 7505   # cap 8209   cdiv 8293  cn 8578  c2 8629  c3 8630  c6 8633  cz 8906  cabs 10609   cgcd 11430   lcm clcm 11534 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289  df-gcd 11431  df-lcm 11535 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator