Theorem 3lcm2e6 12125

Description: The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6	|- ( 3 lcm 2 ) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8960	. . . . . 6 |- 2 e. RR
2		2lt3 9060	. . . . . 6 |- 2 < 3
3	1, 2	gtneii 8027	. . . . 5 |- 3 =/= 2
4		3prm 12093	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
5		2prm 12092	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
6		prmrp 12110	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
8	3, 7	mpbir 146	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
9	8	oveq2i 5876	. . 3 |- ( ( 3 lcm 2 ) x. ( 3 gcd 2 ) ) = ( ( 3 lcm 2 ) x. 1 )
10		3nn 9052	. . . 4 |- 3 e. NN
11		2nn 9051	. . . 4 |- 2 e. NN
12		lcmgcdnn 12047	. . . 4 |- ( ( 3 e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( ( 3 lcm 2 ) x. ( 3 gcd 2 ) ) = ( 3 x. 2 ) )
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . 3 |- ( ( 3 lcm 2 ) x. ( 3 gcd 2 ) ) = ( 3 x. 2 )
14	10	nnzi 9245	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
15	11	nnzi 9245	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
16		lcmcl 12037	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 3 lcm 2 ) e. NN0 )
17	14, 15, 16	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 3 lcm 2 ) e. NN0
18	17	nn0cni 9159	. . . 4 |- ( 3 lcm 2 ) e. CC
19	18	mulid1i 7934	. . 3 |- ( ( 3 lcm 2 ) x. 1 ) = ( 3 lcm 2 )
20	9, 13, 19	3eqtr3ri 2205	. 2 |- ( 3 lcm 2 ) = ( 3 x. 2 )
21		3t2e6 9046	. 2 |- ( 3 x. 2 ) = 6
22	20, 21	eqtri 2196	1 |- ( 3 lcm 2 ) = 6

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345  (class class class)co 5865   1c1 7787   x. cmul 7791   NNcn 8890   2c2 8941   3c3 8942   6c6 8945   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   gcd cgcd 11908   lcm clcm 12025   Primecprime 12072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-lcm 12026  df-prm 12073

This theorem is referenced by: (None)