Theorem fldiv4p1lem1div2 10374

Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4p1lem1div2	|- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 8591	. . . 4 |- 1 <_ 1
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N = 3 -> 1 <_ 1 )
3		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( N = 3 -> ( N / 4 ) = ( 3 / 4 ) )
4	3	fveq2d 5558	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) )
5		3lt4 9154	. . . . . . 7 |- 3 < 4
6		3nn0 9258	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
7		4nn 9145	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
8		divfl0 10365	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 )
10	5, 9	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0
11	4, 10	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 0 )
12	11	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
13		0p1e1 9096	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 1 )
15		oveq1 5925	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = ( 3 - 1 ) )
16		3m1e2 9102	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
17	15, 16	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = 2 )
18	17	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) )
19		2div2e1 9114	. . . 4 |- ( 2 / 2 ) = 1
20	18, 19	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 1 )
21	2, 14, 20	3brtr4d 4061	. 2 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
22		uzp1 9626	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) )
23		2re 9052	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
24	23	leidi 8504	. . . . . 6 |- 2 <_ 2
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( N = 5 -> 2 <_ 2 )
26		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( N = 5 -> ( N / 4 ) = ( 5 / 4 ) )
27	26	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) )
28		df-5 9044	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 = ( 4 + 1 )
29	28	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 / 4 ) = ( ( 4 + 1 ) / 4 )
30		4cn 9060	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
31		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
32		4ap0 9081	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 # 0
33	30, 31, 30, 32	divdirapi 8788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
34	30, 32	dividapi 8764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 / 4 ) = 1
35	34	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
36	33, 35	eqtri 2214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
37	29, 36	eqtri 2214	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
38	37	fveq2i 5557	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) )
39		1re 8018	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
40		0le1 8500	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
41		4re 9059	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
42		4pos 9079	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
43		divge0 8892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
44	39, 40, 41, 42, 43	mp4an 427	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
45		1lt4 9156	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 4
46		recgt1 8916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
47	41, 42, 46	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 4 ) < 1
49		1z 9343	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
50		znq 9689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
51	49, 7, 50	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
52		flqbi2 10360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
53	49, 51, 52	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) )
54	44, 48, 53	mpbir2an 944	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1
55	38, 54	eqtri 2214	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = 1
56	27, 55	eqtrdi 2242	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 1 )
57	56	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
58		1p1e2 9099	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = 2
59	57, 58	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 2 )
60		oveq1 5925	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = ( 5 - 1 ) )
61	30, 31, 28	mvrraddi 8236	. . . . . . . 8 |- ( 5 - 1 ) = 4
62	60, 61	eqtrdi 2242	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = 4 )
63	62	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 4 / 2 ) )
64		4d2e2 9142	. . . . . 6 |- ( 4 / 2 ) = 2
65	63, 64	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 2 )
66	25, 59, 65	3brtr4d 4061	. . . 4 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
67		eluz2 9598	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) <-> ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) )
68		znq 9689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
69	7, 68	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
70		flqle 10347	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
73	69	flqcld 10346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
74	73	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
75		zre 9321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
76		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> N e. RR )
77	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 e. RR )
78	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 # 0 )
79	76, 77, 78	redivclapd 8854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N / 4 ) e. RR )
80	75, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
81	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
82	74, 80, 81	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
84		leadd1 8449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
86	72, 85	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) )
87		div4p1lem1div2 9236	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
88	75, 87	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
89		peano2re 8155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
90	74, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
91		peano2re 8155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / 4 ) e. RR -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
92	80, 91	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
93		peano2rem 8286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
94	93	rehalfcld 9229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
95	75, 94	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
96	90, 92, 95	3jca 1179	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
97	96	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
98		letr 8102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
100	86, 88, 99	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
101	100	3adant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
102	67, 101	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
103		5p1e6 9119	. . . . . 6 |- ( 5 + 1 ) = 6
104	103	fveq2i 5557	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 6 )
105	102, 104	eleq2s 2288	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
106	66, 105	jaoi 717	. . 3 |- ( ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
107	22, 106	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
108	21, 107	jaoi 717	1 |- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   3c3 9034   4c4 9035   5c5 9036   6c6 9037   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   QQcq 9684   |_cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  15170