Theorem fldiv4p1lem1div2 10761

Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4p1lem1div2	|- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 8908	. . . 4 |- 1 <_ 1
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N = 3 -> 1 <_ 1 )
3		oveq1 6095	. . . . . . 7 |- ( N = 3 -> ( N / 4 ) = ( 3 / 4 ) )
4	3	fveq2d 5702	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) )
5		3lt4 9488	. . . . . . 7 |- 3 < 4
6		3nn0 9592	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
7		4nn 9479	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
8		divfl0 10752	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 ) )
9	6, 7, 8	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 )
10	5, 9	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0
11	4, 10	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 0 )
12	11	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
13		0p1e1 9427	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 1 )
15		oveq1 6095	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = ( 3 - 1 ) )
16		3m1e2 9433	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
17	15, 16	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = 2 )
18	17	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) )
19		2div2e1 9446	. . . 4 |- ( 2 / 2 ) = 1
20	18, 19	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 1 )
21	2, 14, 20	3brtr4d 4163	. 2 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
22		uzp1 9972	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) )
23		2re 9383	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
24	23	leidi 8820	. . . . . 6 |- 2 <_ 2
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( N = 5 -> 2 <_ 2 )
26		oveq1 6095	. . . . . . . . 9 |- ( N = 5 -> ( N / 4 ) = ( 5 / 4 ) )
27	26	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) )
28		df-5 9375	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 = ( 4 + 1 )
29	28	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 / 4 ) = ( ( 4 + 1 ) / 4 )
30		4cn 9391	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
31		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
32		4ap0 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 # 0
33	30, 31, 30, 32	divdirapi 9107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
34	30, 32	dividapi 9083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 / 4 ) = 1
35	34	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
36	33, 35	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
37	29, 36	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
38	37	fveq2i 5701	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) )
39		1re 8331	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
40		0le1 8816	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
41		4re 9390	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
42		4pos 9410	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
43		divge0 9211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
44	39, 40, 41, 42, 43	mp4an 431	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
45		1lt4 9490	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 4
46		recgt1 9235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
47	41, 42, 46	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 4 ) < 1
49		1z 9681	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
50		znq 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
51	49, 7, 50	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
52		flqbi2 10747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
53	49, 51, 52	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) )
54	44, 48, 53	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1
55	38, 54	eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = 1
56	27, 55	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 1 )
57	56	oveq1d 6103	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
58		1p1e2 9430	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = 2
59	57, 58	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 2 )
60		oveq1 6095	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = ( 5 - 1 ) )
61	30, 31, 28	mvrraddi 8550	. . . . . . . 8 |- ( 5 - 1 ) = 4
62	60, 61	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = 4 )
63	62	oveq1d 6103	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 4 / 2 ) )
64		4d2e2 9476	. . . . . 6 |- ( 4 / 2 ) = 2
65	63, 64	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 2 )
66	25, 59, 65	3brtr4d 4163	. . . 4 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
67		eluz2 9943	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) <-> ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) )
68		znq 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
69	7, 68	mpan2 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
70		flqle 10732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
73	69	flqcld 10731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
74	73	zred 9779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
75		zre 9659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
76		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> N e. RR )
77	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 e. RR )
78	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 # 0 )
79	76, 77, 78	redivclapd 9173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N / 4 ) e. RR )
80	75, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
81	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
82	74, 80, 81	3jca 1208	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
84		leadd1 8765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
86	72, 85	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) )
87		div4p1lem1div2 9570	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
88	75, 87	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
89		peano2re 8469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
90	74, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
91		peano2re 8469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / 4 ) e. RR -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
92	80, 91	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
93		peano2rem 8600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
94	93	rehalfcld 9563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
95	75, 94	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
96	90, 92, 95	3jca 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
97	96	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
98		letr 8414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
100	86, 88, 99	mp2and 437	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
101	100	3adant1 1046	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
102	67, 101	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
103		5p1e6 9451	. . . . . 6 |- ( 5 + 1 ) = 6
104	103	fveq2i 5701	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 6 )
105	102, 104	eleq2s 2333	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
106	66, 105	jaoi 728	. . 3 |- ( ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
107	22, 106	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
108	21, 107	jaoi 728	1 |- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   4c4 9366   5c5 9367   6c6 9368   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   QQcq 10035   |_cfl 10720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fl 10722

This theorem is used by:  gausslemma2dlem0f  16378