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Theorem fldiv4p1lem1div2 10029
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2  |-  ( ( N  =  3  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 8297 . . . 4  |-  1  <_  1
21a1i 9 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  1  <_  1 )
3 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( N  =  3  ->  ( N  /  4 )  =  ( 3  /  4
) )
43fveq2d 5391 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  ( |_ `  (
3  /  4 ) ) )
5 3lt4 8846 . . . . . . 7  |-  3  <  4
6 3nn0 8949 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
7 4nn 8837 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
8 divfl0 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  4  e.  NN )  ->  ( 3  <  4  <->  ( |_ `  ( 3  /  4 ) )  =  0 ) )
96, 7, 8mp2an 420 . . . . . . 7  |-  ( 3  <  4  <->  ( |_ `  ( 3  /  4
) )  =  0 )
105, 9mpbi 144 . . . . . 6  |-  ( |_
`  ( 3  / 
4 ) )  =  0
114, 10syl6eq 2164 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  0 )
1211oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
13 0p1e1 8794 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1412, 13syl6eq 2164 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  1 )
15 oveq1 5747 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  ( 3  -  1 ) )
16 3m1e2 8800 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
1715, 16syl6eq 2164 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  2 )
1817oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  ( 2  / 
2 ) )
19 2div2e1 8806 . . . 4  |-  ( 2  /  2 )  =  1
2018, 19syl6eq 2164 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  1 )
212, 14, 203brtr4d 3928 . 2  |-  ( N  =  3  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )
22 uzp1 9311 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  =  5  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( 5  +  1 ) ) ) )
23 2re 8750 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2423leidi 8211 . . . . . 6  |-  2  <_  2
2524a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  =  5  ->  2  <_  2 )
26 oveq1 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  5  ->  ( N  /  4 )  =  ( 5  /  4
) )
2726fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  5  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  ( |_ `  (
5  /  4 ) ) )
28 df-5 8742 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  =  ( 4  +  1 )
2928oveq1i 5750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  /  4 )  =  ( ( 4  +  1 )  /  4
)
30 4cn 8758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
31 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
32 4ap0 8779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4 #  0
3330, 31, 30, 32divdirapi 8492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
3430, 32dividapi 8468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  /  4 )  =  1
3534oveq1i 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  4 ) )
3633, 35eqtri 2136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  +  1 )  /  4 )  =  ( 1  +  ( 1  /  4 ) )
3729, 36eqtri 2136 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  /  4 )  =  ( 1  +  ( 1  /  4 ) )
3837fveq2i 5390 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  ( 5  / 
4 ) )  =  ( |_ `  (
1  +  ( 1  /  4 ) ) )
39 1re 7729 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
40 0le1 8207 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
41 4re 8757 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
42 4pos 8777 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
43 divge0 8591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  4 ) )
4439, 40, 41, 42, 43mp4an 421 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( 1  /  4
)
45 1lt4 8848 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  4
46 recgt1 8615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
4741, 42, 46mp2an 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
4845, 47mpbi 144 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  4 )  <  1
49 1z 9034 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
50 znq 9368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( 1  /  4
)  e.  QQ )
5149, 7, 50mp2an 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  4 )  e.  QQ
52 flqbi2 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 1  /  4
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( 1  +  ( 1  /  4
) ) )  =  1  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  4
)  /\  ( 1  /  4 )  <  1 ) ) )
5349, 51, 52mp2an 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  1  <->  ( 0  <_  ( 1  / 
4 )  /\  (
1  /  4 )  <  1 ) )
5444, 48, 53mpbir2an 909 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  ( 1  +  ( 1  /  4
) ) )  =  1
5538, 54eqtri 2136 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( 5  / 
4 ) )  =  1
5627, 55syl6eq 2164 . . . . . . 7  |-  ( N  =  5  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  1 )
5756oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( N  =  5  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
58 1p1e2 8797 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
5957, 58syl6eq 2164 . . . . 5  |-  ( N  =  5  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  2 )
60 oveq1 5747 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  5  ->  ( N  -  1 )  =  ( 5  -  1 ) )
6130, 31, 28mvrraddi 7943 . . . . . . . 8  |-  ( 5  -  1 )  =  4
6260, 61syl6eq 2164 . . . . . . 7  |-  ( N  =  5  ->  ( N  -  1 )  =  4 )
6362oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( N  =  5  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  ( 4  / 
2 ) )
64 4d2e2 8834 . . . . . 6  |-  ( 4  /  2 )  =  2
6563, 64syl6eq 2164 . . . . 5  |-  ( N  =  5  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  2 )
6625, 59, 653brtr4d 3928 . . . 4  |-  ( N  =  5  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )
67 eluz2 9284 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  6
)  <->  ( 6  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  6  <_  N ) )
68 znq 9368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( N  /  4
)  e.  QQ )
697, 68mpan2 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  4 )  e.  QQ )
70 flqle 10002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  /  4 )  e.  QQ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  <_ 
( N  /  4
) )
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  <_ 
( N  /  4
) )
7271adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  4 ) )  <_  ( N  / 
4 ) )
7369flqcld 10001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  e.  ZZ )
7473zred 9127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  e.  RR )
75 zre 9012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  RR )
7741a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  4  e.  RR )
7832a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  4 #  0 )
7976, 77, 78redivclapd 8557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  4 )  e.  RR )
8075, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  4 )  e.  RR )
8139a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
8274, 80, 813jca 1144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  e.  RR  /\  ( N  /  4 )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
8382adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  e.  RR  /\  ( N  /  4
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
84 leadd1 8156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  e.  RR  /\  ( N  /  4 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  <_  ( N  / 
4 )  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  /  4
)  +  1 ) ) )
8583, 84syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  <_  ( N  /  4 )  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  /  4
)  +  1 ) ) )
8672, 85mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  /  4 )  +  1 ) )
87 div4p1lem1div2 8927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  6  <_  N )  -> 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
8875, 87sylan 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
89 peano2re 7862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  e.  RR )
9074, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  e.  RR )
91 peano2re 7862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  /  4 )  e.  RR  ->  (
( N  /  4
)  +  1 )  e.  RR )
9280, 91syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  4
)  +  1 )  e.  RR )
93 peano2rem 7993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
9493rehalfcld 8920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
9575, 94syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
9690, 92, 953jca 1144 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  / 
4 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  RR ) )
9796adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  / 
4 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  RR ) )
98 letr 7811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  / 
4 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  /\  ( ( N  /  4 )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
9997, 98syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  /\  ( ( N  /  4 )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
10086, 88, 99mp2and 427 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
1011003adant1 982 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )
10267, 101sylbi 120 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  6
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
103 5p1e6 8811 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
104103fveq2i 5390 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 5  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  6 )
105102, 104eleq2s 2210 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
5  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
10666, 105jaoi 688 . . 3  |-  ( ( N  =  5  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( 5  +  1 ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
10722, 106syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
10821, 107jaoi 688 1  |-  ( ( N  =  3  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   # cap 8306    / cdiv 8395   NNcn 8680   2c2 8731   3c3 8732   4c4 8733   5c5 8734   6c6 8735   NN0cn0 8931   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   QQcq 9363   |_cfl 9992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-5 8742  df-6 8743  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994
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