Theorem fldiv4p1lem1div2 10377

Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4p1lem1div2	|- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 8593	. . . 4 |- 1 <_ 1
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N = 3 -> 1 <_ 1 )
3		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( N = 3 -> ( N / 4 ) = ( 3 / 4 ) )
4	3	fveq2d 5559	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) )
5		3lt4 9157	. . . . . . 7 |- 3 < 4
6		3nn0 9261	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
7		4nn 9148	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
8		divfl0 10368	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 )
10	5, 9	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0
11	4, 10	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 0 )
12	11	oveq1d 5934	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
13		0p1e1 9098	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 1 )
15		oveq1 5926	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = ( 3 - 1 ) )
16		3m1e2 9104	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
17	15, 16	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = 2 )
18	17	oveq1d 5934	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) )
19		2div2e1 9117	. . . 4 |- ( 2 / 2 ) = 1
20	18, 19	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 1 )
21	2, 14, 20	3brtr4d 4062	. 2 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
22		uzp1 9629	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) )
23		2re 9054	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
24	23	leidi 8506	. . . . . 6 |- 2 <_ 2
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( N = 5 -> 2 <_ 2 )
26		oveq1 5926	. . . . . . . . 9 |- ( N = 5 -> ( N / 4 ) = ( 5 / 4 ) )
27	26	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) )
28		df-5 9046	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 = ( 4 + 1 )
29	28	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 / 4 ) = ( ( 4 + 1 ) / 4 )
30		4cn 9062	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
31		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
32		4ap0 9083	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 # 0
33	30, 31, 30, 32	divdirapi 8790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
34	30, 32	dividapi 8766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 / 4 ) = 1
35	34	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
36	33, 35	eqtri 2214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
37	29, 36	eqtri 2214	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
38	37	fveq2i 5558	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) )
39		1re 8020	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
40		0le1 8502	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
41		4re 9061	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
42		4pos 9081	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
43		divge0 8894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
44	39, 40, 41, 42, 43	mp4an 427	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
45		1lt4 9159	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 4
46		recgt1 8918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
47	41, 42, 46	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 4 ) < 1
49		1z 9346	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
50		znq 9692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
51	49, 7, 50	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
52		flqbi2 10363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
53	49, 51, 52	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) )
54	44, 48, 53	mpbir2an 944	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1
55	38, 54	eqtri 2214	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = 1
56	27, 55	eqtrdi 2242	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 1 )
57	56	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
58		1p1e2 9101	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = 2
59	57, 58	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 2 )
60		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = ( 5 - 1 ) )
61	30, 31, 28	mvrraddi 8238	. . . . . . . 8 |- ( 5 - 1 ) = 4
62	60, 61	eqtrdi 2242	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = 4 )
63	62	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 4 / 2 ) )
64		4d2e2 9145	. . . . . 6 |- ( 4 / 2 ) = 2
65	63, 64	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 2 )
66	25, 59, 65	3brtr4d 4062	. . . 4 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
67		eluz2 9601	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) <-> ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) )
68		znq 9692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
69	7, 68	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
70		flqle 10350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
73	69	flqcld 10349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
74	73	zred 9442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
75		zre 9324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
76		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> N e. RR )
77	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 e. RR )
78	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 # 0 )
79	76, 77, 78	redivclapd 8856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N / 4 ) e. RR )
80	75, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
81	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
82	74, 80, 81	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
84		leadd1 8451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
86	72, 85	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) )
87		div4p1lem1div2 9239	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
88	75, 87	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
89		peano2re 8157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
90	74, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
91		peano2re 8157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / 4 ) e. RR -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
92	80, 91	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
93		peano2rem 8288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
94	93	rehalfcld 9232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
95	75, 94	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
96	90, 92, 95	3jca 1179	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
97	96	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
98		letr 8104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
100	86, 88, 99	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
101	100	3adant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
102	67, 101	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
103		5p1e6 9122	. . . . . 6 |- ( 5 + 1 ) = 6
104	103	fveq2i 5558	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 6 )
105	102, 104	eleq2s 2288	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
106	66, 105	jaoi 717	. . 3 |- ( ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
107	22, 106	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
108	21, 107	jaoi 717	1 |- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   3c3 9036   4c4 9037   5c5 9038   6c6 9039   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   QQcq 9687   |_cfl 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  15211