Theorem fldiv4p1lem1div2 10537

Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4p1lem1div2	|- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 8730	. . . 4 |- 1 <_ 1
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N = 3 -> 1 <_ 1 )
3		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( N = 3 -> ( N / 4 ) = ( 3 / 4 ) )
4	3	fveq2d 5633	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) )
5		3lt4 9294	. . . . . . 7 |- 3 < 4
6		3nn0 9398	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
7		4nn 9285	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
8		divfl0 10528	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 )
10	5, 9	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0
11	4, 10	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 0 )
12	11	oveq1d 6022	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
13		0p1e1 9235	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 1 )
15		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = ( 3 - 1 ) )
16		3m1e2 9241	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
17	15, 16	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = 2 )
18	17	oveq1d 6022	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) )
19		2div2e1 9254	. . . 4 |- ( 2 / 2 ) = 1
20	18, 19	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 1 )
21	2, 14, 20	3brtr4d 4115	. 2 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
22		uzp1 9768	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) )
23		2re 9191	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
24	23	leidi 8643	. . . . . 6 |- 2 <_ 2
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( N = 5 -> 2 <_ 2 )
26		oveq1 6014	. . . . . . . . 9 |- ( N = 5 -> ( N / 4 ) = ( 5 / 4 ) )
27	26	fveq2d 5633	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) )
28		df-5 9183	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 = ( 4 + 1 )
29	28	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 / 4 ) = ( ( 4 + 1 ) / 4 )
30		4cn 9199	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
31		ax-1cn 8103	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
32		4ap0 9220	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 # 0
33	30, 31, 30, 32	divdirapi 8927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
34	30, 32	dividapi 8903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 / 4 ) = 1
35	34	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
36	33, 35	eqtri 2250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
37	29, 36	eqtri 2250	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
38	37	fveq2i 5632	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) )
39		1re 8156	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
40		0le1 8639	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
41		4re 9198	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
42		4pos 9218	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
43		divge0 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
44	39, 40, 41, 42, 43	mp4an 427	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
45		1lt4 9296	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 4
46		recgt1 9055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
47	41, 42, 46	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 4 ) < 1
49		1z 9483	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
50		znq 9831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
51	49, 7, 50	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
52		flqbi2 10523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
53	49, 51, 52	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) )
54	44, 48, 53	mpbir2an 948	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1
55	38, 54	eqtri 2250	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = 1
56	27, 55	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 1 )
57	56	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
58		1p1e2 9238	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = 2
59	57, 58	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 2 )
60		oveq1 6014	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = ( 5 - 1 ) )
61	30, 31, 28	mvrraddi 8374	. . . . . . . 8 |- ( 5 - 1 ) = 4
62	60, 61	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = 4 )
63	62	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 4 / 2 ) )
64		4d2e2 9282	. . . . . 6 |- ( 4 / 2 ) = 2
65	63, 64	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 2 )
66	25, 59, 65	3brtr4d 4115	. . . 4 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
67		eluz2 9739	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) <-> ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) )
68		znq 9831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
69	7, 68	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
70		flqle 10510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
73	69	flqcld 10509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
74	73	zred 9580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
75		zre 9461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
76		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> N e. RR )
77	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 e. RR )
78	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> 4 # 0 )
79	76, 77, 78	redivclapd 8993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N / 4 ) e. RR )
80	75, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
81	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
82	74, 80, 81	3jca 1201	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
84		leadd1 8588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
86	72, 85	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) )
87		div4p1lem1div2 9376	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
88	75, 87	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
89		peano2re 8293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
90	74, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
91		peano2re 8293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / 4 ) e. RR -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
92	80, 91	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
93		peano2rem 8424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
94	93	rehalfcld 9369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
95	75, 94	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
96	90, 92, 95	3jca 1201	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
97	96	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
98		letr 8240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
100	86, 88, 99	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
101	100	3adant1 1039	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
102	67, 101	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
103		5p1e6 9259	. . . . . 6 |- ( 5 + 1 ) = 6
104	103	fveq2i 5632	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 6 )
105	102, 104	eleq2s 2324	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
106	66, 105	jaoi 721	. . 3 |- ( ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
107	22, 106	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
108	21, 107	jaoi 721	1 |- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   # cap 8739   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   3c3 9173   4c4 9174   5c5 9175   6c6 9176   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   QQcq 9826   |_cfl 10500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fl 10502

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  15749