Theorem flodddiv4 12101

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	|- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5929	. . . 4 |- ( N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) -> ( N / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) )
2		2cnd 9063	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> 2 e. CC )
3		zcn 9331	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
4	2, 3	mulcld 8047	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( 2 x. M ) e. CC )
5		1cnd 8042	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 1 e. CC )
6		4cn 9068	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 4 e. CC )
8		4ap0 9089	. . . . . . 7 |- 4 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 4 # 0 )
10	4, 5, 7, 9	divdirapd 8856	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) )
11		2t2e4 9145	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 2 ) = 4
12	11	eqcomi 2200	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 2 x. 2 )
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 4 = ( 2 x. 2 ) )
14	13	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) )
15		2ap0 9083	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 2 # 0 )
17	3, 2, 2, 16, 16	divcanap5d 8844	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( M / 2 ) )
18	14, 17	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( M / 2 ) )
19	18	oveq1d 5937	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
20	10, 19	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
21	1, 20	sylan9eqr 2251	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( N / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
22	21	fveq2d 5562	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
23		iftrue 3566	. . . . . . . 8 |- ( 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
25		1re 8025	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
26		0le1 8508	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
27		4re 9067	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28		4pos 9087	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 4
29		divge0 8900	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	mp4an 427	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
31		1lt4 9165	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 4
32		recgt1 8924	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
33	27, 28, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
34	31, 33	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) < 1
35	30, 34	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 )
36		evend2 12054	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M <-> ( M / 2 ) e. ZZ ) )
37	36	biimpac 298	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
38		4nn 9154	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
39		nnrecq 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. NN -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
41		flqbi2 10381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M / 2 ) e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
42	37, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
43	35, 42	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) )
44	24, 43	eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
45	44	expcom 116	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
46		iffalse 3569	. . . . . . . 8 |- ( -. 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
47	46	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
48		odd2np1 12038	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) )
49		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. CC
50		2cn 9061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. CC
51	50, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
52		divcanap5 8741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
53	49, 51, 51, 52	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
54		2t1e2 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) = 2
55	54, 11	oveq12i 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 / 4 )
56	53, 55	eqtr3i 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) = ( 2 / 4 )
57	56	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
58	50, 49, 6, 8	divdirapi 8796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
59		2p1e3 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 + 1 ) = 3
60	59	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( 3 / 4 )
61	57, 58, 60	3eqtr2i 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 )
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 ) )
63	62	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( x + ( 3 / 4 ) ) )
64	63	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) )
65		3re 9064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. RR
66		0re 8026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
67		3pos 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 8129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 3
69		divge0 8900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 3 / 4 ) )
70	65, 68, 27, 28, 69	mp4an 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ ( 3 / 4 )
71		3lt4 9163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
72		nnrp 9738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
73	38, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR+
74		divlt1lt 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR+ ) -> ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 ) )
75	65, 73, 74	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 )
76	71, 75	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 3 / 4 ) < 1
77	70, 76	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 )
78		3z 9355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. ZZ
79		znq 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 3 / 4 ) e. QQ )
80	78, 38, 79	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 3 / 4 ) e. QQ
81		flqbi2 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ ( 3 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
82	80, 81	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
83	77, 82	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x )
84	64, 83	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
85	84	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
86		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
87	86	eqcoms 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
88		2z 9354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. ZZ
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> 2 e. ZZ )
90		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
91	89, 90	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
92	91	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
93		1cnd 8042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 1 e. CC )
94		2cnd 9063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 e. CC )
95	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 # 0 )
96	92, 93, 94, 95	divdirapd 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
97		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
98	97, 94, 95	divcanap3d 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
99	98	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
100	96, 99	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
101	87, 100	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
102	101	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) )
103		halfcn 9205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 2 ) e. CC
104	103	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. CC )
105	6, 8	recclapi 8769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 4 ) e. CC
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 4 ) e. CC )
107	97, 104, 106	addassd 8049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
109	102, 108	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
110	109	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
111		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
112	111	eqcoms 2199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
113		pncan1 8403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
114	92, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
115	112, 114	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M - 1 ) = ( 2 x. x ) )
116	115	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. x ) / 2 ) )
117	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
118	116, 117	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = x )
119	85, 110, 118	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
120	119	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
121	120	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
122	121	rexlimdva 2614	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
123	48, 122	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
124	123	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
125	47, 124	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
126	125	expcom 116	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
127		zeo3 12033	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M \/ -. 2 || M ) )
128	45, 126, 127	mpjaod 719	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
129	128	eqcomd 2202	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
130	129	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
131	22, 130	eqtrd 2229	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   ifcif 3561   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   3c3 9042   4c4 9043   ZZcz 9326   QQcq 9693   RR+crp 9728   |_cfl 10358   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  15331