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Theorem flodddiv4 11938
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )  ->  ( N  /  4 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  /  4
) )
2 2cnd 8991 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
3 zcn 9257 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
42, 3mulcld 7977 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
5 1cnd 7972 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
6 4cn 8996 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
76a1i 9 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  4  e.  CC )
8 4ap0 9017 . . . . . . 7  |-  4 #  0
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  4 #  0 )
104, 5, 7, 9divdirapd 8785 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  /  4 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  /  4 )  +  ( 1  /  4
) ) )
11 2t2e4 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1211eqcomi 2181 . . . . . . . . 9  |-  4  =  ( 2  x.  2 )
1312a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  4  =  ( 2  x.  2 ) )
1413oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  M
)  /  4 )  =  ( ( 2  x.  M )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
15 2ap0 9011 . . . . . . . . 9  |-  2 #  0
1615a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
173, 2, 2, 16, 16divcanap5d 8773 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  M
)  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( M  / 
2 ) )
1814, 17eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  M
)  /  4 )  =  ( M  / 
2 ) )
1918oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  4
)  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )
2010, 19eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  /  4 )  =  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )
211, 20sylan9eqr 2232 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( N  / 
4 )  =  ( ( M  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) )
2221fveq2d 5519 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
23 iftrue 3539 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( M  /  2 ) )
2423adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  - 
1 )  /  2
) )  =  ( M  /  2 ) )
25 1re 7955 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
26 0le1 8437 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
27 4re 8995 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
28 4pos 9015 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
29 divge0 8829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  4 ) )
3025, 26, 27, 28, 29mp4an 427 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  ( 1  /  4
)
31 1lt4 9092 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  4
32 recgt1 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
3327, 28, 32mp2an 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
3431, 33mpbi 145 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  <  1
3530, 34pm3.2i 272 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  ( 1  / 
4 )  /\  (
1  /  4 )  <  1 )
36 evend2 11893 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  ||  M  <->  ( M  /  2 )  e.  ZZ ) )
3736biimpac 298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  /  2
)  e.  ZZ )
38 4nn 9081 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
39 nnrecq 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  QQ )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  e.  QQ
41 flqbi2 10290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( 1  /  4
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )  =  ( M  /  2
)  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  4
)  /\  ( 1  /  4 )  <  1 ) ) )
4237, 40, 41sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( M  /  2 )  <-> 
( 0  <_  (
1  /  4 )  /\  ( 1  / 
4 )  <  1
) ) )
4335, 42mpbiri 168 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( M  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( M  /  2 ) )
4424, 43eqtr4d 2213 . . . . . 6  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  - 
1 )  /  2
) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
4544expcom 116 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  ||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
46 iffalse 3542 . . . . . . . 8  |-  ( -.  2  ||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )
4746adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2 
||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( M  - 
1 )  /  2
) )
48 odd2np1 11877 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  M  <->  E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M ) )
49 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
50 2cn 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  CC
5150, 15pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
52 divcanap5 8670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  1 )  / 
( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
5349, 51, 51, 52mp3an 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
54 2t1e2 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
5554, 11oveq12i 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  /  4
)
5653, 55eqtr3i 2200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  /  2 )  =  ( 2  /  4
)
5756oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 2  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
5850, 49, 6, 8divdirapi 8725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 2  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
59 2p1e3 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  +  1 )  =  3
6059oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  +  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
6157, 58, 603eqtr2i 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( 3  / 
4 ) )
6362oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( x  +  ( 3  /  4
) ) )
6463fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( x  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  =  ( |_ `  (
x  +  ( 3  /  4 ) ) ) )
65 3re 8992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
66 0re 7956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
67 3pos 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  3
6866, 65, 67ltleii 8059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  3
69 divge0 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  -> 
0  <_  ( 3  /  4 ) )
7065, 68, 27, 28, 69mp4an 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  ( 3  /  4
)
71 3lt4 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  <  4
72 nnrp 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
7338, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  RR+
74 divlt1lt 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  -> 
( ( 3  / 
4 )  <  1  <->  3  <  4 ) )
7565, 73, 74mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  4 )
7671, 75mpbir 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  /  4 )  <  1
7770, 76pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( 3  / 
4 )  /\  (
3  /  4 )  <  1 )
78 3z 9281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  ZZ
79 znq 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( 3  /  4
)  e.  QQ )
8078, 38, 79mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  /  4 )  e.  QQ
81 flqbi2 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( 3  /  4
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( x  +  ( 3  /  4
) ) )  =  x  <->  ( 0  <_ 
( 3  /  4
)  /\  ( 3  /  4 )  <  1 ) ) )
8280, 81mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  (
x  +  ( 3  /  4 ) ) )  =  x  <->  ( 0  <_  ( 3  / 
4 )  /\  (
3  /  4 )  <  1 ) ) )
8377, 82mpbiri 168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( x  +  ( 3  /  4
) ) )  =  x )
8464, 83eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( x  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  =  x )
8584adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( |_ `  ( x  +  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  =  x )
86 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  ->  ( M  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2
) )
8786eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  =  M  ->  ( M  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2
) )
88 2z 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  ZZ
8988a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
90 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  ZZ )
9189, 90zmulcld 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  ZZ )
9291zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
93 1cnd 7972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
94 2cnd 8991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
9515a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
9692, 93, 94, 95divdirapd 8785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
97 zcn 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
9897, 94, 95divcanap3d 8751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  /  2 )  =  x )
9998oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( x  +  ( 1  /  2
) ) )
10096, 99eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2 )  =  ( x  +  ( 1  /  2
) ) )
10187, 100sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( M  / 
2 )  =  ( x  +  ( 1  /  2 ) ) )
102101oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) )  =  ( ( x  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  4 ) ) )
103 halfcn 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
104103a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
1056, 8recclapi 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
106105a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
10797, 104, 106addassd 7979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( x  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) ) )
108107adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( x  +  ( 1  / 
2 ) )  +  ( 1  /  4
) )  =  ( x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
109102, 108eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) )  =  ( x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
110109fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( |_ `  ( x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
111 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  - 
1 ) )
112111eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  =  M  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  - 
1 ) )
113 pncan1 8333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
11492, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
115112, 114sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( M  - 
1 )  =  ( 2  x.  x ) )
116115oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( ( 2  x.  x
)  /  2 ) )
11798adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( 2  x.  x )  / 
2 )  =  x )
118116, 117eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  x )
11985, 110, 1183eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
120119ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M  -> 
( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
121120adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
122121rexlimdva 2594 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M  -> 
( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
12348, 122sylbid 150 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  M  -> 
( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
124123impcom 125 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
12547, 124eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( -.  2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2 
||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( |_ `  (
( M  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) ) )
126125expcom 116 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
127 zeo3 11872 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  ||  M  \/  -.  2  ||  M ) )
12845, 126, 127mpjaod 718 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) )
129128eqcomd 2183 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  - 
1 )  /  2
) ) )
130129adantr 276 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) ) )
13122, 130eqtrd 2210 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   ifcif 3534   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7991    <_ cle 7992    - cmin 8127   # cap 8537    / cdiv 8628   NNcn 8918   2c2 8969   3c3 8970   4c4 8971   ZZcz 9252   QQcq 9618   RR+crp 9652   |_cfl 10267    || cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-dvds 11794
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