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Theorem flodddiv4 11027
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5641 . . . 4  |-  ( N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )  ->  ( N  /  4 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  /  4
) )
2 2cnd 8466 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
3 zcn 8725 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
42, 3mulcld 7487 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
5 1cnd 7483 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
6 4cn 8471 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
76a1i 9 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  4  e.  CC )
8 4ap0 8492 . . . . . . 7  |-  4 #  0
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  4 #  0 )
104, 5, 7, 9divdirapd 8268 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  /  4 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  /  4 )  +  ( 1  /  4
) ) )
11 2t2e4 8540 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1211eqcomi 2092 . . . . . . . . 9  |-  4  =  ( 2  x.  2 )
1312a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  4  =  ( 2  x.  2 ) )
1413oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  M
)  /  4 )  =  ( ( 2  x.  M )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
15 2ap0 8486 . . . . . . . . 9  |-  2 #  0
1615a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
173, 2, 2, 16, 16divcanap5d 8256 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  M
)  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( M  / 
2 ) )
1814, 17eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  M
)  /  4 )  =  ( M  / 
2 ) )
1918oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  4
)  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )
2010, 19eqtrd 2120 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  /  4 )  =  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )
211, 20sylan9eqr 2142 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( N  / 
4 )  =  ( ( M  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) )
2221fveq2d 5293 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
23 iftrue 3394 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( M  /  2 ) )
2423adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  - 
1 )  /  2
) )  =  ( M  /  2 ) )
25 1re 7466 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
26 0le1 7938 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
27 4re 8470 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
28 4pos 8490 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
29 divge0 8306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  4 ) )
3025, 26, 27, 28, 29mp4an 418 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  ( 1  /  4
)
31 1lt4 8560 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  4
32 recgt1 8330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
3327, 28, 32mp2an 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
3431, 33mpbi 143 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  <  1
3530, 34pm3.2i 266 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  ( 1  / 
4 )  /\  (
1  /  4 )  <  1 )
36 evend2 10982 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  ||  M  <->  ( M  /  2 )  e.  ZZ ) )
3736biimpac 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  /  2
)  e.  ZZ )
38 4nn 8549 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
39 nnrecq 9099 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  QQ )
4038, 39ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  e.  QQ
41 flqbi2 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( 1  /  4
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )  =  ( M  /  2
)  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  4
)  /\  ( 1  /  4 )  <  1 ) ) )
4237, 40, 41sylancl 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( M  /  2 )  <-> 
( 0  <_  (
1  /  4 )  /\  ( 1  / 
4 )  <  1
) ) )
4335, 42mpbiri 166 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( M  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( M  /  2 ) )
4424, 43eqtr4d 2123 . . . . . 6  |-  ( ( 2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  - 
1 )  /  2
) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
4544expcom 114 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  ||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
46 iffalse 3397 . . . . . . . 8  |-  ( -.  2  ||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )
4746adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2 
||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( M  - 
1 )  /  2
) )
48 odd2np1 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  M  <->  E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M ) )
49 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
50 2cn 8464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  CC
5150, 15pm3.2i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
52 divcanap5 8155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  1 )  / 
( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
5349, 51, 51, 52mp3an 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
54 2t1e2 8539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
5554, 11oveq12i 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 2  /  4
)
5653, 55eqtr3i 2110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  /  2 )  =  ( 2  /  4
)
5756oveq1i 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 2  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
5850, 49, 6, 8divdirapi 8210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 2  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
59 2p1e3 8519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  +  1 )  =  3
6059oveq1i 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  +  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
6157, 58, 603eqtr2i 2114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( 3  / 
4 ) )
6362oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( x  +  ( 3  /  4
) ) )
6463fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( x  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  =  ( |_ `  (
x  +  ( 3  /  4 ) ) ) )
65 3re 8467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
66 0re 7467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
67 3pos 8487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  3
6866, 65, 67ltleii 7566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  3
69 divge0 8306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  -> 
0  <_  ( 3  /  4 ) )
7065, 68, 27, 28, 69mp4an 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  ( 3  /  4
)
71 3lt4 8558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  <  4
72 nnrp 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
7338, 72ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  RR+
74 divlt1lt 9170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  -> 
( ( 3  / 
4 )  <  1  <->  3  <  4 ) )
7565, 73, 74mp2an 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  4 )
7671, 75mpbir 144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  /  4 )  <  1
7770, 76pm3.2i 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( 3  / 
4 )  /\  (
3  /  4 )  <  1 )
78 3z 8749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  ZZ
79 znq 9078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( 3  /  4
)  e.  QQ )
8078, 38, 79mp2an 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  /  4 )  e.  QQ
81 flqbi2 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( 3  /  4
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( x  +  ( 3  /  4
) ) )  =  x  <->  ( 0  <_ 
( 3  /  4
)  /\  ( 3  /  4 )  <  1 ) ) )
8280, 81mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  (
x  +  ( 3  /  4 ) ) )  =  x  <->  ( 0  <_  ( 3  / 
4 )  /\  (
3  /  4 )  <  1 ) ) )
8377, 82mpbiri 166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( x  +  ( 3  /  4
) ) )  =  x )
8464, 83eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( x  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  =  x )
8584adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( |_ `  ( x  +  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  =  x )
86 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  ->  ( M  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2
) )
8786eqcoms 2091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  =  M  ->  ( M  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2
) )
88 2z 8748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  ZZ
8988a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
90 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  ZZ )
9189, 90zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  ZZ )
9291zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
93 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
94 2cnd 8466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
9515a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
9692, 93, 94, 95divdirapd 8268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
97 zcn 8725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
9897, 94, 95divcanap3d 8235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  /  2 )  =  x )
9998oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( x  +  ( 1  /  2
) ) )
10096, 99eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  /  2 )  =  ( x  +  ( 1  /  2
) ) )
10187, 100sylan9eqr 2142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( M  / 
2 )  =  ( x  +  ( 1  /  2 ) ) )
102101oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) )  =  ( ( x  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  4 ) ) )
103 halfcn 8600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
104103a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
1056, 8recclapi 8183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
106105a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
10797, 104, 106addassd 7489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( x  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) ) )
108107adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( x  +  ( 1  / 
2 ) )  +  ( 1  /  4
) )  =  ( x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
109102, 108eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) )  =  ( x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
110109fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( |_ `  ( x  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
111 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  - 
1 ) )
112111eqcoms 2091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  =  M  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  - 
1 ) )
113 pncan1 7834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
11492, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
115112, 114sylan9eqr 2142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( M  - 
1 )  =  ( 2  x.  x ) )
116115oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( ( 2  x.  x
)  /  2 ) )
11798adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( 2  x.  x )  / 
2 )  =  x )
118116, 117eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  x )
11985, 110, 1183eqtr4rd 2131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
120119ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M  -> 
( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
121120adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
122121rexlimdva 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  M  -> 
( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
12348, 122sylbid 148 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  M  -> 
( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
124123impcom 123 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  / 
2 )  =  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
12547, 124eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( ( -.  2  ||  M  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( 2 
||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( |_ `  (
( M  /  2
)  +  ( 1  /  4 ) ) ) )
126125expcom 114 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  M  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) ) )
127 zeo3 10961 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
2  ||  M  \/  -.  2  ||  M ) )
12845, 126, 127mpjaod 673 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) ) )
129128eqcomd 2093 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( M  /  2 )  +  ( 1  /  4
) ) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  /  2 ) ,  ( ( M  - 
1 )  /  2
) ) )
130129adantr 270 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  / 
2 )  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) ) )
13122, 130eqtrd 2120 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  ( (
2  x.  M )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  =  if ( 2  ||  M ,  ( M  / 
2 ) ,  ( ( M  -  1 )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   ifcif 3389   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   # cap 8034    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   3c3 8445   4c4 8446   ZZcz 8720   QQcq 9073   RR+crp 9103   |_cfl 9640    || cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-dvds 10890
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