Theorem flodddiv4 11893

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	|- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5860	. . . 4 |- ( N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) -> ( N / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) )
2		2cnd 8951	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> 2 e. CC )
3		zcn 9217	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
4	2, 3	mulcld 7940	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( 2 x. M ) e. CC )
5		1cnd 7936	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 1 e. CC )
6		4cn 8956	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 4 e. CC )
8		4ap0 8977	. . . . . . 7 |- 4 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 4 # 0 )
10	4, 5, 7, 9	divdirapd 8746	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) )
11		2t2e4 9032	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 2 ) = 4
12	11	eqcomi 2174	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 2 x. 2 )
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 4 = ( 2 x. 2 ) )
14	13	oveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) )
15		2ap0 8971	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 2 # 0 )
17	3, 2, 2, 16, 16	divcanap5d 8734	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( M / 2 ) )
18	14, 17	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( M / 2 ) )
19	18	oveq1d 5868	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
20	10, 19	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
21	1, 20	sylan9eqr 2225	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( N / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
22	21	fveq2d 5500	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
23		iftrue 3531	. . . . . . . 8 |- ( 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
24	23	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
25		1re 7919	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
26		0le1 8400	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
27		4re 8955	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28		4pos 8975	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 4
29		divge0 8789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	mp4an 425	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
31		1lt4 9052	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 4
32		recgt1 8813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
33	27, 28, 32	mp2an 424	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
34	31, 33	mpbi 144	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) < 1
35	30, 34	pm3.2i 270	. . . . . . . 8 |- ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 )
36		evend2 11848	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M <-> ( M / 2 ) e. ZZ ) )
37	36	biimpac 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
38		4nn 9041	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
39		nnrecq 9604	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. NN -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
41		flqbi2 10247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M / 2 ) e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
42	37, 40, 41	sylancl 411	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
43	35, 42	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) )
44	24, 43	eqtr4d 2206	. . . . . 6 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
45	44	expcom 115	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
46		iffalse 3534	. . . . . . . 8 |- ( -. 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
47	46	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
48		odd2np1 11832	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) )
49		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. CC
50		2cn 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. CC
51	50, 15	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
52		divcanap5 8631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
53	49, 51, 51, 52	mp3an 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
54		2t1e2 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) = 2
55	54, 11	oveq12i 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 / 4 )
56	53, 55	eqtr3i 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) = ( 2 / 4 )
57	56	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
58	50, 49, 6, 8	divdirapi 8686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
59		2p1e3 9011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 + 1 ) = 3
60	59	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( 3 / 4 )
61	57, 58, 60	3eqtr2i 2197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 )
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 ) )
63	62	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( x + ( 3 / 4 ) ) )
64	63	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) )
65		3re 8952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. RR
66		0re 7920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
67		3pos 8972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 8022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 3
69		divge0 8789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 3 / 4 ) )
70	65, 68, 27, 28, 69	mp4an 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ ( 3 / 4 )
71		3lt4 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
72		nnrp 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
73	38, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR+
74		divlt1lt 9681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR+ ) -> ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 ) )
75	65, 73, 74	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 )
76	71, 75	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 3 / 4 ) < 1
77	70, 76	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 )
78		3z 9241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. ZZ
79		znq 9583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 3 / 4 ) e. QQ )
80	78, 38, 79	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 3 / 4 ) e. QQ
81		flqbi2 10247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ ( 3 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
82	80, 81	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
83	77, 82	mpbiri 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x )
84	64, 83	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
85	84	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
86		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
87	86	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
88		2z 9240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. ZZ
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> 2 e. ZZ )
90		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
91	89, 90	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
92	91	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
93		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 1 e. CC )
94		2cnd 8951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 e. CC )
95	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 # 0 )
96	92, 93, 94, 95	divdirapd 8746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
97		zcn 9217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
98	97, 94, 95	divcanap3d 8712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
99	98	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
100	96, 99	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
101	87, 100	sylan9eqr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
102	101	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) )
103		halfcn 9092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 2 ) e. CC
104	103	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. CC )
105	6, 8	recclapi 8659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 4 ) e. CC
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 4 ) e. CC )
107	97, 104, 106	addassd 7942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
108	107	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
109	102, 108	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
110	109	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
111		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
112	111	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
113		pncan1 8296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
114	92, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
115	112, 114	sylan9eqr 2225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M - 1 ) = ( 2 x. x ) )
116	115	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. x ) / 2 ) )
117	98	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
118	116, 117	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = x )
119	85, 110, 118	3eqtr4rd 2214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
120	119	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
121	120	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
122	121	rexlimdva 2587	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
123	48, 122	sylbid 149	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
124	123	impcom 124	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
125	47, 124	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
126	125	expcom 115	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
127		zeo3 11827	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M \/ -. 2 || M ) )
128	45, 126, 127	mpjaod 713	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
129	128	eqcomd 2176	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
130	129	adantr 274	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
131	22, 130	eqtrd 2203	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   ifcif 3526   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   3c3 8930   4c4 8931   ZZcz 9212   QQcq 9578   RR+crp 9610   |_cfl 10224   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-dvds 11750

This theorem is referenced by: (None)