Theorem flodddiv4 12247

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	|- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5951	. . . 4 |- ( N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) -> ( N / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) )
2		2cnd 9109	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> 2 e. CC )
3		zcn 9377	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
4	2, 3	mulcld 8093	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( 2 x. M ) e. CC )
5		1cnd 8088	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 1 e. CC )
6		4cn 9114	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 4 e. CC )
8		4ap0 9135	. . . . . . 7 |- 4 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 4 # 0 )
10	4, 5, 7, 9	divdirapd 8902	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) )
11		2t2e4 9191	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 2 ) = 4
12	11	eqcomi 2209	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 2 x. 2 )
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 4 = ( 2 x. 2 ) )
14	13	oveq2d 5960	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) )
15		2ap0 9129	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 2 # 0 )
17	3, 2, 2, 16, 16	divcanap5d 8890	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( M / 2 ) )
18	14, 17	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( M / 2 ) )
19	18	oveq1d 5959	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
20	10, 19	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
21	1, 20	sylan9eqr 2260	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( N / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
22	21	fveq2d 5580	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
23		iftrue 3576	. . . . . . . 8 |- ( 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
25		1re 8071	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
26		0le1 8554	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
27		4re 9113	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28		4pos 9133	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 4
29		divge0 8946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	mp4an 427	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
31		1lt4 9211	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 4
32		recgt1 8970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
33	27, 28, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
34	31, 33	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) < 1
35	30, 34	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 )
36		evend2 12200	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M <-> ( M / 2 ) e. ZZ ) )
37	36	biimpac 298	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
38		4nn 9200	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
39		nnrecq 9766	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. NN -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
41		flqbi2 10434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M / 2 ) e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
42	37, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
43	35, 42	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) )
44	24, 43	eqtr4d 2241	. . . . . 6 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
45	44	expcom 116	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
46		iffalse 3579	. . . . . . . 8 |- ( -. 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
47	46	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
48		odd2np1 12184	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) )
49		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. CC
50		2cn 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. CC
51	50, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
52		divcanap5 8787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
53	49, 51, 51, 52	mp3an 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
54		2t1e2 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) = 2
55	54, 11	oveq12i 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 / 4 )
56	53, 55	eqtr3i 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) = ( 2 / 4 )
57	56	oveq1i 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
58	50, 49, 6, 8	divdirapi 8842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
59		2p1e3 9170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 + 1 ) = 3
60	59	oveq1i 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( 3 / 4 )
61	57, 58, 60	3eqtr2i 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 )
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 ) )
63	62	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( x + ( 3 / 4 ) ) )
64	63	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) )
65		3re 9110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. RR
66		0re 8072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
67		3pos 9130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 8175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 3
69		divge0 8946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 3 / 4 ) )
70	65, 68, 27, 28, 69	mp4an 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ ( 3 / 4 )
71		3lt4 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
72		nnrp 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
73	38, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR+
74		divlt1lt 9846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR+ ) -> ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 ) )
75	65, 73, 74	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 )
76	71, 75	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 3 / 4 ) < 1
77	70, 76	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 )
78		3z 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. ZZ
79		znq 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 3 / 4 ) e. QQ )
80	78, 38, 79	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 3 / 4 ) e. QQ
81		flqbi2 10434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ ( 3 / 4 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
82	80, 81	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
83	77, 82	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x )
84	64, 83	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
85	84	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
86		oveq1 5951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
87	86	eqcoms 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
88		2z 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. ZZ
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> 2 e. ZZ )
90		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
91	89, 90	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
92	91	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
93		1cnd 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 1 e. CC )
94		2cnd 9109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 e. CC )
95	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 # 0 )
96	92, 93, 94, 95	divdirapd 8902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
97		zcn 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
98	97, 94, 95	divcanap3d 8868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
99	98	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
100	96, 99	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
101	87, 100	sylan9eqr 2260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
102	101	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) )
103		halfcn 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 2 ) e. CC
104	103	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. CC )
105	6, 8	recclapi 8815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 4 ) e. CC
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 4 ) e. CC )
107	97, 104, 106	addassd 8095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
109	102, 108	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
110	109	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
111		oveq1 5951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
112	111	eqcoms 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
113		pncan1 8449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
114	92, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
115	112, 114	sylan9eqr 2260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M - 1 ) = ( 2 x. x ) )
116	115	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. x ) / 2 ) )
117	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
118	116, 117	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = x )
119	85, 110, 118	3eqtr4rd 2249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
120	119	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
121	120	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
122	121	rexlimdva 2623	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
123	48, 122	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
124	123	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
125	47, 124	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
126	125	expcom 116	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
127		zeo3 12179	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M \/ -. 2 || M ) )
128	45, 126, 127	mpjaod 720	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
129	128	eqcomd 2211	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
130	129	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
131	22, 130	eqtrd 2238	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   ifcif 3571   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   3c3 9088   4c4 9089   ZZcz 9372   QQcq 9740   RR+crp 9775   |_cfl 10411   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  15567