Theorem 6lcm4e12 12722

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	|- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 9267	. . . 4 |- 6 e. CC
2		4cn 9263	. . . 4 |- 4 e. CC
3	1, 2	mulcli 8227	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) e. CC
4		6nn0 9465	. . . . 5 |- 6 e. NN0
5	4	nn0zi 9545	. . . 4 |- 6 e. ZZ
6		4z 9553	. . . 4 |- 4 e. ZZ
7		lcmcl 12707	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 9501	. . . 4 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. CC )
9	5, 6, 8	mp2an 426	. . 3 |- ( 6 lcm 4 ) e. CC
10		gcdcl 12600	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9501	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. CC )
12	5, 6, 11	mp2an 426	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) e. CC
13	5, 6	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ )
14		4ne0 9283	. . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
15	14	neii 2405	. . . . . . . 8 |- -. 4 = 0
16	15	intnan 937	. . . . . . 7 |- -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 )
17		gcdn0cl 12596	. . . . . . 7 |- ( ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) /\ -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 ) ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN )
18	13, 16, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. NN
19	18	nnne0i 9217	. . . . 5 |- ( 6 gcd 4 ) =/= 0
20	18	nnzi 9544	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. ZZ
21		0z 9534	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
22		zapne 9598	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 gcd 4 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) )
23	20, 21, 22	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 )
24	19, 23	mpbir 146	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) # 0
25	12, 24	pm3.2i 272	. . 3 |- ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 )
26		6nn 9351	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN
27		4nn 9349	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
28	26, 27	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 6 e. NN /\ 4 e. NN )
29		lcmgcdnn 12717	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
31	30	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) )
32		divmulap3 8899	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) <-> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) ) )
33	31, 32	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) )
34	33	eqcomd 2237	. . 3 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) )
35	3, 9, 25, 34	mp3an 1374	. 2 |- ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) )
36		6gcd4e2 12629	. . 3 |- ( 6 gcd 4 ) = 2
37	36	oveq2i 6039	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( ( 6 x. 4 ) / 2 )
38		2cn 9256	. . . 4 |- 2 e. CC
39		2ap0 9278	. . . 4 |- 2 # 0
40	1, 2, 38, 39	divassapi 8990	. . 3 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ( 6 x. ( 4 / 2 ) )
41		4d2e2 9346	. . . 4 |- ( 4 / 2 ) = 2
42	41	oveq2i 6039	. . 3 |- ( 6 x. ( 4 / 2 ) ) = ( 6 x. 2 )
43		6t2e12 9758	. . 3 |- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
44	40, 42, 43	3eqtri 2256	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ; 1 2
45	35, 37, 44	3eqtri 2256	1 |- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   # cap 8803   / cdiv 8894   NNcn 9185   2c2 9236   4c4 9238   6c6 9240   ZZcz 9523  ;cdc 9655   gcd cgcd 12587   lcm clcm 12695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-dvds 12412  df-gcd 12588  df-lcm 12696

This theorem is referenced by: (None)