Theorem 6lcm4e12 10847

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	|- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 8396	. . . 4 |- 6 e. CC
2		4cn 8392	. . . 4 |- 4 e. CC
3	1, 2	mulcli 7394	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) e. CC
4		6nn0 8584	. . . . 5 |- 6 e. NN0
5	4	nn0zi 8666	. . . 4 |- 6 e. ZZ
6		4z 8674	. . . 4 |- 4 e. ZZ
7		lcmcl 10832	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 8618	. . . 4 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. CC )
9	5, 6, 8	mp2an 417	. . 3 |- ( 6 lcm 4 ) e. CC
10		gcdcl 10736	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 8618	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. CC )
12	5, 6, 11	mp2an 417	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) e. CC
13	5, 6	pm3.2i 266	. . . . . . 7 |- ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ )
14		4ne0 8412	. . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
15	14	neii 2251	. . . . . . . 8 |- -. 4 = 0
16	15	intnan 872	. . . . . . 7 |- -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 )
17		gcdn0cl 10732	. . . . . . 7 |- ( ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) /\ -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 ) ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN )
18	13, 16, 17	mp2an 417	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. NN
19	18	nnne0i 8345	. . . . 5 |- ( 6 gcd 4 ) =/= 0
20	18	nnzi 8665	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. ZZ
21		0z 8655	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
22		zapne 8715	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 gcd 4 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) )
23	20, 21, 22	mp2an 417	. . . . 5 |- ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 )
24	19, 23	mpbir 144	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) # 0
25	12, 24	pm3.2i 266	. . 3 |- ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 )
26		6nn 8472	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN
27		4nn 8470	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
28	26, 27	pm3.2i 266	. . . . . . 7 |- ( 6 e. NN /\ 4 e. NN )
29		lcmgcdnn 10842	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
31	30	eqcomd 2088	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) )
32		divmulap3 8040	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) <-> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) ) )
33	31, 32	mpbird 165	. . . 4 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) )
34	33	eqcomd 2088	. . 3 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) )
35	3, 9, 25, 34	mp3an 1269	. 2 |- ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) )
36		6gcd4e2 10762	. . 3 |- ( 6 gcd 4 ) = 2
37	36	oveq2i 5600	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( ( 6 x. 4 ) / 2 )
38		2cn 8385	. . . 4 |- 2 e. CC
39		2ap0 8407	. . . 4 |- 2 # 0
40	1, 2, 38, 39	divassapi 8131	. . 3 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ( 6 x. ( 4 / 2 ) )
41		4d2e2 8467	. . . 4 |- ( 4 / 2 ) = 2
42	41	oveq2i 5600	. . 3 |- ( 6 x. ( 4 / 2 ) ) = ( 6 x. 2 )
43		6t2e12 8873	. . 3 |- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
44	40, 42, 43	3eqtri 2107	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ; 1 2
45	35, 37, 44	3eqtri 2107	1 |- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   =/= wne 2249   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589   CCcc 7249   0cc0 7251   1c1 7252   x. cmul 7256   # cap 7956   / cdiv 8035   NNcn 8314   2c2 8364   4c4 8366   6c6 8368   ZZcz 8644  ;cdc 8770   gcd cgcd 10716   lcm clcm 10820

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365  ax-caucvg 7366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-isom 4976  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-sup 6584  df-inf 6585  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-2 8373  df-3 8374  df-4 8375  df-5 8376  df-6 8377  df-7 8378  df-8 8379  df-9 8380  df-n0 8564  df-z 8645  df-dec 8771  df-uz 8913  df-q 8998  df-rp 9028  df-fz 9318  df-fzo 9442  df-fl 9564  df-mod 9617  df-iseq 9739  df-iexp 9790  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103  df-rsqrt 10256  df-abs 10257  df-dvds 10575  df-gcd 10717  df-lcm 10821

This theorem is referenced by: (None)