ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Unicode version

Theorem 6lcm4e12 11561
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12  |-  ( 6 lcm  4 )  = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 8660 . . . 4  |-  6  e.  CC
2 4cn 8656 . . . 4  |-  4  e.  CC
31, 2mulcli 7643 . . 3  |-  ( 6  x.  4 )  e.  CC
4 6nn0 8850 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
54nn0zi 8928 . . . 4  |-  6  e.  ZZ
6 4z 8936 . . . 4  |-  4  e.  ZZ
7 lcmcl 11546 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6 lcm  4 )  e.  NN0 )
87nn0cnd 8884 . . . 4  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6 lcm  4 )  e.  CC )
95, 6, 8mp2an 420 . . 3  |-  ( 6 lcm  4 )  e.  CC
10 gcdcl 11450 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  4
)  e.  NN0 )
1110nn0cnd 8884 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  4
)  e.  CC )
125, 6, 11mp2an 420 . . . 4  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  CC
135, 6pm3.2i 268 . . . . . . 7  |-  ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )
14 4ne0 8676 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
1514neii 2269 . . . . . . . 8  |-  -.  4  =  0
1615intnan 882 . . . . . . 7  |-  -.  (
6  =  0  /\  4  =  0 )
17 gcdn0cl 11446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  /\  -.  ( 6  =  0  /\  4  =  0 ) )  ->  ( 6  gcd  4 )  e.  NN )
1813, 16, 17mp2an 420 . . . . . 6  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  NN
1918nnne0i 8610 . . . . 5  |-  ( 6  gcd  4 )  =/=  0
2018nnzi 8927 . . . . . 6  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  ZZ
21 0z 8917 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
22 zapne 8977 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  gcd  4
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( 6  gcd  4 ) #  0  <->  (
6  gcd  4 )  =/=  0 ) )
2320, 21, 22mp2an 420 . . . . 5  |-  ( ( 6  gcd  4 ) #  0  <->  ( 6  gcd  4 )  =/=  0
)
2419, 23mpbir 145 . . . 4  |-  ( 6  gcd  4 ) #  0
2512, 24pm3.2i 268 . . 3  |-  ( ( 6  gcd  4 )  e.  CC  /\  (
6  gcd  4 ) #  0 )
26 6nn 8737 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN
27 4nn 8735 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
2826, 27pm3.2i 268 . . . . . . 7  |-  ( 6  e.  NN  /\  4  e.  NN )
29 lcmgcdnn 11556 . . . . . . 7  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  4  e.  NN )  ->  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( 6  x.  4 ) )
3028, 29mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( 6 lcm  4 )  x.  (
6  gcd  4 ) )  =  ( 6  x.  4 ) )
3130eqcomd 2105 . . . . 5  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( 6  x.  4 )  =  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4 ) ) )
32 divmulap3 8298 . . . . 5  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( 6 lcm  4 )  <-> 
( 6  x.  4 )  =  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4
) ) ) )
3331, 32mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( 6  x.  4 )  / 
( 6  gcd  4
) )  =  ( 6 lcm  4 ) )
3433eqcomd 2105 . . 3  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( 6 lcm  4 )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) ) )
353, 9, 25, 34mp3an 1283 . 2  |-  ( 6 lcm  4 )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )
36 6gcd4e2 11476 . . 3  |-  ( 6  gcd  4 )  =  2
3736oveq2i 5717 . 2  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  2
)
38 2cn 8649 . . . 4  |-  2  e.  CC
39 2ap0 8671 . . . 4  |-  2 #  0
401, 2, 38, 39divassapi 8389 . . 3  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  2 )  =  ( 6  x.  (
4  /  2 ) )
41 4d2e2 8732 . . . 4  |-  ( 4  /  2 )  =  2
4241oveq2i 5717 . . 3  |-  ( 6  x.  ( 4  / 
2 ) )  =  ( 6  x.  2 )
43 6t2e12 9137 . . 3  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
4440, 42, 433eqtri 2124 . 2  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  2 )  = ; 1
2
4535, 37, 443eqtri 2124 1  |-  ( 6 lcm  4 )  = ; 1 2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448    =/= wne 2267   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   CCcc 7498   0cc0 7500   1c1 7501    x. cmul 7505   # cap 8209    / cdiv 8293   NNcn 8578   2c2 8629   4c4 8631   6c6 8633   ZZcz 8906  ;cdc 9034    gcd cgcd 11430   lcm clcm 11534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-9 8644  df-n0 8830  df-z 8907  df-dec 9035  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289  df-gcd 11431  df-lcm 11535
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator