Theorem 6lcm4e12 10935

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	|- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 8431	. . . 4 |- 6 e. CC
2		4cn 8427	. . . 4 |- 4 e. CC
3	1, 2	mulcli 7429	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) e. CC
4		6nn0 8619	. . . . 5 |- 6 e. NN0
5	4	nn0zi 8697	. . . 4 |- 6 e. ZZ
6		4z 8705	. . . 4 |- 4 e. ZZ
7		lcmcl 10920	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 8653	. . . 4 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. CC )
9	5, 6, 8	mp2an 417	. . 3 |- ( 6 lcm 4 ) e. CC
10		gcdcl 10824	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 8653	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. CC )
12	5, 6, 11	mp2an 417	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) e. CC
13	5, 6	pm3.2i 266	. . . . . . 7 |- ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ )
14		4ne0 8447	. . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
15	14	neii 2253	. . . . . . . 8 |- -. 4 = 0
16	15	intnan 874	. . . . . . 7 |- -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 )
17		gcdn0cl 10820	. . . . . . 7 |- ( ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) /\ -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 ) ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN )
18	13, 16, 17	mp2an 417	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. NN
19	18	nnne0i 8380	. . . . 5 |- ( 6 gcd 4 ) =/= 0
20	18	nnzi 8696	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. ZZ
21		0z 8686	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
22		zapne 8746	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 gcd 4 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) )
23	20, 21, 22	mp2an 417	. . . . 5 |- ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 )
24	19, 23	mpbir 144	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) # 0
25	12, 24	pm3.2i 266	. . 3 |- ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 )
26		6nn 8507	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN
27		4nn 8505	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
28	26, 27	pm3.2i 266	. . . . . . 7 |- ( 6 e. NN /\ 4 e. NN )
29		lcmgcdnn 10930	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
31	30	eqcomd 2090	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) )
32		divmulap3 8075	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) <-> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) ) )
33	31, 32	mpbird 165	. . . 4 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) )
34	33	eqcomd 2090	. . 3 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) )
35	3, 9, 25, 34	mp3an 1271	. 2 |- ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) )
36		6gcd4e2 10850	. . 3 |- ( 6 gcd 4 ) = 2
37	36	oveq2i 5617	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( ( 6 x. 4 ) / 2 )
38		2cn 8420	. . . 4 |- 2 e. CC
39		2ap0 8442	. . . 4 |- 2 # 0
40	1, 2, 38, 39	divassapi 8166	. . 3 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ( 6 x. ( 4 / 2 ) )
41		4d2e2 8502	. . . 4 |- ( 4 / 2 ) = 2
42	41	oveq2i 5617	. . 3 |- ( 6 x. ( 4 / 2 ) ) = ( 6 x. 2 )
43		6t2e12 8904	. . 3 |- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
44	40, 42, 43	3eqtri 2109	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ; 1 2
45	35, 37, 44	3eqtri 2109	1 |- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 922   = wceq 1287   e. wcel 1436   =/= wne 2251   class class class wbr 3819  (class class class)co 5606   CCcc 7284   0cc0 7286   1c1 7287   x. cmul 7291   # cap 7991   / cdiv 8070   NNcn 8349   2c2 8399   4c4 8401   6c6 8403   ZZcz 8675  ;cdc 8801   gcd cgcd 10804   lcm clcm 10908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-mulrcl 7380  ax-addcom 7381  ax-mulcom 7382  ax-addass 7383  ax-mulass 7384  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-1rid 7388  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-precex 7391  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-apti 7396  ax-pre-ltadd 7397  ax-pre-mulgt0 7398  ax-pre-mulext 7399  ax-arch 7400  ax-caucvg 7401

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-po 4095  df-iso 4096  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-isom 4986  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1st 5861  df-2nd 5862  df-recs 6017  df-frec 6103  df-sup 6615  df-inf 6616  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-reap 7985  df-ap 7992  df-div 8071  df-inn 8350  df-2 8408  df-3 8409  df-4 8410  df-5 8411  df-6 8412  df-7 8413  df-8 8414  df-9 8415  df-n0 8599  df-z 8676  df-dec 8802  df-uz 8944  df-q 9029  df-rp 9059  df-fz 9349  df-fzo 9474  df-fl 9597  df-mod 9650  df-iseq 9772  df-iexp 9845  df-cj 10163  df-re 10164  df-im 10165  df-rsqrt 10318  df-abs 10319  df-dvds 10663  df-gcd 10805  df-lcm 10909

This theorem is referenced by: (None)