Theorem 6lcm4e12 11804

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	|- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 8826	. . . 4 |- 6 e. CC
2		4cn 8822	. . . 4 |- 4 e. CC
3	1, 2	mulcli 7795	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) e. CC
4		6nn0 9022	. . . . 5 |- 6 e. NN0
5	4	nn0zi 9100	. . . 4 |- 6 e. ZZ
6		4z 9108	. . . 4 |- 4 e. ZZ
7		lcmcl 11789	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 9056	. . . 4 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. CC )
9	5, 6, 8	mp2an 423	. . 3 |- ( 6 lcm 4 ) e. CC
10		gcdcl 11691	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9056	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. CC )
12	5, 6, 11	mp2an 423	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) e. CC
13	5, 6	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ )
14		4ne0 8842	. . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
15	14	neii 2311	. . . . . . . 8 |- -. 4 = 0
16	15	intnan 915	. . . . . . 7 |- -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 )
17		gcdn0cl 11687	. . . . . . 7 |- ( ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) /\ -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 ) ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN )
18	13, 16, 17	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. NN
19	18	nnne0i 8776	. . . . 5 |- ( 6 gcd 4 ) =/= 0
20	18	nnzi 9099	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. ZZ
21		0z 9089	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
22		zapne 9149	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 gcd 4 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) )
23	20, 21, 22	mp2an 423	. . . . 5 |- ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 )
24	19, 23	mpbir 145	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) # 0
25	12, 24	pm3.2i 270	. . 3 |- ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 )
26		6nn 8909	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN
27		4nn 8907	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
28	26, 27	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 6 e. NN /\ 4 e. NN )
29		lcmgcdnn 11799	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
31	30	eqcomd 2146	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) )
32		divmulap3 8461	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) <-> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) ) )
33	31, 32	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) )
34	33	eqcomd 2146	. . 3 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) )
35	3, 9, 25, 34	mp3an 1316	. 2 |- ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) )
36		6gcd4e2 11719	. . 3 |- ( 6 gcd 4 ) = 2
37	36	oveq2i 5793	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( ( 6 x. 4 ) / 2 )
38		2cn 8815	. . . 4 |- 2 e. CC
39		2ap0 8837	. . . 4 |- 2 # 0
40	1, 2, 38, 39	divassapi 8552	. . 3 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ( 6 x. ( 4 / 2 ) )
41		4d2e2 8904	. . . 4 |- ( 4 / 2 ) = 2
42	41	oveq2i 5793	. . 3 |- ( 6 x. ( 4 / 2 ) ) = ( 6 x. 2 )
43		6t2e12 9309	. . 3 |- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
44	40, 42, 43	3eqtri 2165	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ; 1 2
45	35, 37, 44	3eqtri 2165	1 |- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   4c4 8797   6c6 8799   ZZcz 9078  ;cdc 9206   gcd cgcd 11671   lcm clcm 11777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-dec 9207  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672  df-lcm 11778

This theorem is referenced by: (None)