ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Unicode version

Theorem 6lcm4e12 10847
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12  |-  ( 6 lcm  4 )  = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 8396 . . . 4  |-  6  e.  CC
2 4cn 8392 . . . 4  |-  4  e.  CC
31, 2mulcli 7394 . . 3  |-  ( 6  x.  4 )  e.  CC
4 6nn0 8584 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
54nn0zi 8666 . . . 4  |-  6  e.  ZZ
6 4z 8674 . . . 4  |-  4  e.  ZZ
7 lcmcl 10832 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6 lcm  4 )  e.  NN0 )
87nn0cnd 8618 . . . 4  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6 lcm  4 )  e.  CC )
95, 6, 8mp2an 417 . . 3  |-  ( 6 lcm  4 )  e.  CC
10 gcdcl 10736 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  4
)  e.  NN0 )
1110nn0cnd 8618 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  4
)  e.  CC )
125, 6, 11mp2an 417 . . . 4  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  CC
135, 6pm3.2i 266 . . . . . . 7  |-  ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )
14 4ne0 8412 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
1514neii 2251 . . . . . . . 8  |-  -.  4  =  0
1615intnan 872 . . . . . . 7  |-  -.  (
6  =  0  /\  4  =  0 )
17 gcdn0cl 10732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  /\  -.  ( 6  =  0  /\  4  =  0 ) )  ->  ( 6  gcd  4 )  e.  NN )
1813, 16, 17mp2an 417 . . . . . 6  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  NN
1918nnne0i 8345 . . . . 5  |-  ( 6  gcd  4 )  =/=  0
2018nnzi 8665 . . . . . 6  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  ZZ
21 0z 8655 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
22 zapne 8715 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  gcd  4
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( 6  gcd  4 ) #  0  <->  (
6  gcd  4 )  =/=  0 ) )
2320, 21, 22mp2an 417 . . . . 5  |-  ( ( 6  gcd  4 ) #  0  <->  ( 6  gcd  4 )  =/=  0
)
2419, 23mpbir 144 . . . 4  |-  ( 6  gcd  4 ) #  0
2512, 24pm3.2i 266 . . 3  |-  ( ( 6  gcd  4 )  e.  CC  /\  (
6  gcd  4 ) #  0 )
26 6nn 8472 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN
27 4nn 8470 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
2826, 27pm3.2i 266 . . . . . . 7  |-  ( 6  e.  NN  /\  4  e.  NN )
29 lcmgcdnn 10842 . . . . . . 7  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  4  e.  NN )  ->  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( 6  x.  4 ) )
3028, 29mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( 6 lcm  4 )  x.  (
6  gcd  4 ) )  =  ( 6  x.  4 ) )
3130eqcomd 2088 . . . . 5  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( 6  x.  4 )  =  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4 ) ) )
32 divmulap3 8040 . . . . 5  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( 6 lcm  4 )  <-> 
( 6  x.  4 )  =  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4
) ) ) )
3331, 32mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( 6  x.  4 )  / 
( 6  gcd  4
) )  =  ( 6 lcm  4 ) )
3433eqcomd 2088 . . 3  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( 6 lcm  4 )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) ) )
353, 9, 25, 34mp3an 1269 . 2  |-  ( 6 lcm  4 )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )
36 6gcd4e2 10762 . . 3  |-  ( 6  gcd  4 )  =  2
3736oveq2i 5600 . 2  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  2
)
38 2cn 8385 . . . 4  |-  2  e.  CC
39 2ap0 8407 . . . 4  |-  2 #  0
401, 2, 38, 39divassapi 8131 . . 3  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  2 )  =  ( 6  x.  (
4  /  2 ) )
41 4d2e2 8467 . . . 4  |-  ( 4  /  2 )  =  2
4241oveq2i 5600 . . 3  |-  ( 6  x.  ( 4  / 
2 ) )  =  ( 6  x.  2 )
43 6t2e12 8873 . . 3  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
4440, 42, 433eqtri 2107 . 2  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  2 )  = ; 1
2
4535, 37, 443eqtri 2107 1  |-  ( 6 lcm  4 )  = ; 1 2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589   CCcc 7249   0cc0 7251   1c1 7252    x. cmul 7256   # cap 7956    / cdiv 8035   NNcn 8314   2c2 8364   4c4 8366   6c6 8368   ZZcz 8644  ;cdc 8770    gcd cgcd 10716   lcm clcm 10820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365  ax-caucvg 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-isom 4976  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-sup 6584  df-inf 6585  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-2 8373  df-3 8374  df-4 8375  df-5 8376  df-6 8377  df-7 8378  df-8 8379  df-9 8380  df-n0 8564  df-z 8645  df-dec 8771  df-uz 8913  df-q 8998  df-rp 9028  df-fz 9318  df-fzo 9442  df-fl 9564  df-mod 9617  df-iseq 9739  df-iexp 9790  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103  df-rsqrt 10256  df-abs 10257  df-dvds 10575  df-gcd 10717  df-lcm 10821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator