Theorem 6lcm4e12 12409

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	|- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 9118	. . . 4 |- 6 e. CC
2		4cn 9114	. . . 4 |- 4 e. CC
3	1, 2	mulcli 8077	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) e. CC
4		6nn0 9316	. . . . 5 |- 6 e. NN0
5	4	nn0zi 9394	. . . 4 |- 6 e. ZZ
6		4z 9402	. . . 4 |- 4 e. ZZ
7		lcmcl 12394	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 9350	. . . 4 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. CC )
9	5, 6, 8	mp2an 426	. . 3 |- ( 6 lcm 4 ) e. CC
10		gcdcl 12287	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9350	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. CC )
12	5, 6, 11	mp2an 426	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) e. CC
13	5, 6	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ )
14		4ne0 9134	. . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
15	14	neii 2378	. . . . . . . 8 |- -. 4 = 0
16	15	intnan 931	. . . . . . 7 |- -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 )
17		gcdn0cl 12283	. . . . . . 7 |- ( ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) /\ -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 ) ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN )
18	13, 16, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. NN
19	18	nnne0i 9068	. . . . 5 |- ( 6 gcd 4 ) =/= 0
20	18	nnzi 9393	. . . . . 6 |- ( 6 gcd 4 ) e. ZZ
21		0z 9383	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
22		zapne 9447	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 gcd 4 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) )
23	20, 21, 22	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 6 gcd 4 ) # 0 <-> ( 6 gcd 4 ) =/= 0 )
24	19, 23	mpbir 146	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) # 0
25	12, 24	pm3.2i 272	. . 3 |- ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 )
26		6nn 9202	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN
27		4nn 9200	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
28	26, 27	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 6 e. NN /\ 4 e. NN )
29		lcmgcdnn 12404	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
31	30	eqcomd 2211	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) )
32		divmulap3 8750	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) <-> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) ) )
33	31, 32	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) )
34	33	eqcomd 2211	. . 3 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) # 0 ) ) -> ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) )
35	3, 9, 25, 34	mp3an 1350	. 2 |- ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) )
36		6gcd4e2 12316	. . 3 |- ( 6 gcd 4 ) = 2
37	36	oveq2i 5955	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( ( 6 x. 4 ) / 2 )
38		2cn 9107	. . . 4 |- 2 e. CC
39		2ap0 9129	. . . 4 |- 2 # 0
40	1, 2, 38, 39	divassapi 8841	. . 3 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ( 6 x. ( 4 / 2 ) )
41		4d2e2 9197	. . . 4 |- ( 4 / 2 ) = 2
42	41	oveq2i 5955	. . 3 |- ( 6 x. ( 4 / 2 ) ) = ( 6 x. 2 )
43		6t2e12 9607	. . 3 |- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
44	40, 42, 43	3eqtri 2230	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ; 1 2
45	35, 37, 44	3eqtri 2230	1 |- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   x. cmul 7930   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   4c4 9089   6c6 9091   ZZcz 9372  ;cdc 9504   gcd cgcd 12274   lcm clcm 12382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-dvds 12099  df-gcd 12275  df-lcm 12383

This theorem is referenced by: (None)