Theorem 4nn 8997

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 8895	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 8996	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 8846	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2230	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5825  1c1 7734   + caddc 7736  ℕcn 8834  3c3 8886  4c4 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1re 7827  ax-addrcl 7830

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-iota 5136  df-fv 5179  df-ov 5828  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895

This theorem is referenced by:  5nn  8998  4nn0  9110  4z  9198  fldiv4p1lem1div2  10208  iexpcyc  10527  resqrexlemnmsq  10921  ef01bndlem  11657  flodddiv4  11829  flodddiv4t2lthalf  11832  6lcm4e12  11968  starvndx  12351  starvid  12352  starvslid  12353  srngstrd  12354  dveflem  13129  tan4thpi  13204