Theorem 4nn 9148

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9045	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9147	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 8996	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877  ℕcn 8984  3c3 9036  4c4 9037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045

This theorem is referenced by:  5nn  9149  4nn0  9262  4z  9350  fldiv4p1lem1div2  10377  fldiv4lem1div2uz2  10378  fldiv4lem1div2  10379  iexpcyc  10718  resqrexlemnmsq  11164  ef01bndlem  11902  flodddiv4  12078  flodddiv4t2lthalf  12081  6lcm4e12  12228  starvndx  12759  starvid  12760  starvslid  12761  srngstrd  12766  homid  12849  homslid  12850  dveflem  14905  tan4thpi  15017  gausslemma2dlem0d  15209  gausslemma2dlem3  15220  gausslemma2dlem4  15221  gausslemma2dlem5a  15222  gausslemma2dlem5  15223  gausslemma2dlem6  15224  m1lgs  15242  2lgslem1a2  15244  2lgslem1a  15245  2lgslem1  15248  2lgslem2  15249  2lgslem3a  15250  2lgslem3b  15251  2lgslem3c  15252  2lgslem3d  15253