Theorem 4nn 9285

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9182	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9284	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9133	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  ℕcn 9121  3c3 9173  4c4 9174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182

This theorem is referenced by:  5nn  9286  4nn0  9399  4z  9487  fldiv4p1lem1div2  10537  fldiv4lem1div2uz2  10538  fldiv4lem1div2  10539  iexpcyc  10878  resqrexlemnmsq  11543  ef01bndlem  12282  flodddiv4  12462  flodddiv4t2lthalf  12465  6lcm4e12  12624  2expltfac  12977  starvndx  13187  starvid  13188  starvslid  13189  srngstrd  13194  homndx  13281  homid  13282  homslid  13283  prdsvalstrd  13319  dveflem  15415  tan4thpi  15530  gausslemma2dlem0d  15746  gausslemma2dlem3  15757  gausslemma2dlem4  15758  gausslemma2dlem5a  15759  gausslemma2dlem5  15760  gausslemma2dlem6  15761  m1lgs  15779  2lgslem1a2  15781  2lgslem1a  15782  2lgslem1  15785  2lgslem2  15786  2lgslem3a  15787  2lgslem3b  15788  2lgslem3c  15789  2lgslem3d  15790