Theorem 4nn 9479

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9374	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9478	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9325	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℕcn 9313  3c3 9365  4c4 9366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374

This theorem is used by:  5nn  9480  4nn0  9593  4z  9683  fldiv4p1lem1div2  10760  fldiv4lem1div2uz2  10761  fldiv4lem1div2  10762  iexpcyc  11101  resqrexlemnmsq  11804  ef01bndlem  12547  flodddiv4  12727  flodddiv4t2lthalf  12730  6lcm4e12  12889  2expltfac  13247  8nprm  13254  37prm  13263  43prm  13264  83prm  13265  139prm  13266  631prm  13269  1259prm  13275  starvndx  13551  starvid  13552  starvslid  13553  srngstrd  13558  homndx  13645  homid  13646  homslid  13647  prdsvalstrd  13678  dveflem  15969  tan4thpi  16085  log2tlbndlog2  16237  log2ublog2  16241  bclbnd  16324  bpos1  16327  bposlem6  16333  bposlem7  16334  bposlem8  16335  bposlem9  16336  gausslemma2dlem0d  16393  gausslemma2dlem3  16404  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  m1lgs  16426  2lgslem1a2  16428  2lgslem1a  16429  2lgslem1  16432  2lgslem2  16433  2lgslem3a  16434  2lgslem3b  16435  2lgslem3c  16436  2lgslem3d  16437