Theorem 4nn 9473

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9368	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9472	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9319	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8181   + caddc 8183  ℕcn 9307  3c3 9359  4c4 9360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368

This theorem is used by:  5nn  9474  4nn0  9587  4z  9679  fldiv4p1lem1div2  10755  fldiv4lem1div2uz2  10756  fldiv4lem1div2  10757  iexpcyc  11096  resqrexlemnmsq  11799  ef01bndlem  12542  flodddiv4  12722  flodddiv4t2lthalf  12725  6lcm4e12  12884  2expltfac  13242  8nprm  13249  37prm  13258  43prm  13259  83prm  13260  139prm  13261  631prm  13264  1259prm  13270  starvndx  13546  starvid  13547  starvslid  13548  srngstrd  13553  homndx  13640  homid  13641  homslid  13642  prdsvalstrd  13673  dveflem  15918  tan4thpi  16034  log2tlbndlog2  16181  log2ublog2  16185  bclbnd  16268  bpos1  16271  bposlem6  16277  bposlem7  16278  bposlem8  16279  bposlem9  16280  gausslemma2dlem0d  16337  gausslemma2dlem3  16348  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem5  16351  gausslemma2dlem6  16352  m1lgs  16370  2lgslem1a2  16372  2lgslem1a  16373  2lgslem1  16376  2lgslem2  16377  2lgslem3a  16378  2lgslem3b  16379  2lgslem3c  16380  2lgslem3d  16381