Theorem 4nn 9401

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9298	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9400	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9249	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2305	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130  ℕcn 9237  3c3 9289  4c4 9290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298

This theorem is referenced by:  5nn  9402  4nn0  9515  4z  9607  fldiv4p1lem1div2  10665  fldiv4lem1div2uz2  10666  fldiv4lem1div2  10667  iexpcyc  11006  resqrexlemnmsq  11702  ef01bndlem  12442  flodddiv4  12622  flodddiv4t2lthalf  12625  6lcm4e12  12784  2expltfac  13137  starvndx  13352  starvid  13353  starvslid  13354  srngstrd  13359  homndx  13446  homid  13447  homslid  13448  prdsvalstrd  13484  dveflem  15591  tan4thpi  15706  gausslemma2dlem0d  15925  gausslemma2dlem3  15936  gausslemma2dlem4  15937  gausslemma2dlem5a  15938  gausslemma2dlem5  15939  gausslemma2dlem6  15940  m1lgs  15958  2lgslem1a2  15960  2lgslem1a  15961  2lgslem1  15964  2lgslem2  15965  2lgslem3a  15966  2lgslem3b  15967  2lgslem3c  15968  2lgslem3d  15969