Theorem 4nn 9020

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 8918	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9019	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 8869	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2239	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  1c1 7754   + caddc 7756  ℕcn 8857  3c3 8909  4c4 8910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918

This theorem is referenced by:  5nn  9021  4nn0  9133  4z  9221  fldiv4p1lem1div2  10240  iexpcyc  10559  resqrexlemnmsq  10959  ef01bndlem  11697  flodddiv4  11871  flodddiv4t2lthalf  11874  6lcm4e12  12019  starvndx  12514  starvid  12515  starvslid  12516  srngstrd  12517  dveflem  13327  tan4thpi  13402