Theorem 4nn 9145

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9043	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9144	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 8994	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875  ℕcn 8982  3c3 9034  4c4 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043

This theorem is referenced by:  5nn  9146  4nn0  9259  4z  9347  fldiv4p1lem1div2  10374  fldiv4lem1div2uz2  10375  fldiv4lem1div2  10376  iexpcyc  10715  resqrexlemnmsq  11161  ef01bndlem  11899  flodddiv4  12075  flodddiv4t2lthalf  12078  6lcm4e12  12225  starvndx  12756  starvid  12757  starvslid  12758  srngstrd  12763  homid  12846  homslid  12847  dveflem  14872  tan4thpi  14976  gausslemma2dlem0d  15168  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  m1lgs  15192