Theorem 4nn 9306

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9203	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9305	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9154	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034  ℕcn 9142  3c3 9194  4c4 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203

This theorem is referenced by:  5nn  9307  4nn0  9420  4z  9508  fldiv4p1lem1div2  10564  fldiv4lem1div2uz2  10565  fldiv4lem1div2  10566  iexpcyc  10905  resqrexlemnmsq  11577  ef01bndlem  12316  flodddiv4  12496  flodddiv4t2lthalf  12499  6lcm4e12  12658  2expltfac  13011  starvndx  13221  starvid  13222  starvslid  13223  srngstrd  13228  homndx  13315  homid  13316  homslid  13317  prdsvalstrd  13353  dveflem  15449  tan4thpi  15564  gausslemma2dlem0d  15780  gausslemma2dlem3  15791  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem5  15794  gausslemma2dlem6  15795  m1lgs  15813  2lgslem1a2  15815  2lgslem1a  15816  2lgslem1  15819  2lgslem2  15820  2lgslem3a  15821  2lgslem3b  15822  2lgslem3c  15823  2lgslem3d  15824