Theorem 4nn 9173

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9070	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9172	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9021	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7899   + caddc 7901  ℕcn 9009  3c3 9061  4c4 9062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070

This theorem is referenced by:  5nn  9174  4nn0  9287  4z  9375  fldiv4p1lem1div2  10414  fldiv4lem1div2uz2  10415  fldiv4lem1div2  10416  iexpcyc  10755  resqrexlemnmsq  11201  ef01bndlem  11940  flodddiv4  12120  flodddiv4t2lthalf  12123  6lcm4e12  12282  2expltfac  12635  starvndx  12843  starvid  12844  starvslid  12845  srngstrd  12850  homndx  12937  homid  12938  homslid  12939  prdsvalstrd  12975  dveflem  15070  tan4thpi  15185  gausslemma2dlem0d  15401  gausslemma2dlem3  15412  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem5a  15414  gausslemma2dlem5  15415  gausslemma2dlem6  15416  m1lgs  15434  2lgslem1a2  15436  2lgslem1a  15437  2lgslem1  15440  2lgslem2  15441  2lgslem3a  15442  2lgslem3b  15443  2lgslem3c  15444  2lgslem3d  15445