Theorem 4nn 9297

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9194	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9296	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9145	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  1c1 8023   + caddc 8025  ℕcn 9133  3c3 9185  4c4 9186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194

This theorem is referenced by:  5nn  9298  4nn0  9411  4z  9499  fldiv4p1lem1div2  10555  fldiv4lem1div2uz2  10556  fldiv4lem1div2  10557  iexpcyc  10896  resqrexlemnmsq  11568  ef01bndlem  12307  flodddiv4  12487  flodddiv4t2lthalf  12490  6lcm4e12  12649  2expltfac  13002  starvndx  13212  starvid  13213  starvslid  13214  srngstrd  13219  homndx  13306  homid  13307  homslid  13308  prdsvalstrd  13344  dveflem  15440  tan4thpi  15555  gausslemma2dlem0d  15771  gausslemma2dlem3  15782  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem5  15785  gausslemma2dlem6  15786  m1lgs  15804  2lgslem1a2  15806  2lgslem1a  15807  2lgslem1  15810  2lgslem2  15811  2lgslem3a  15812  2lgslem3b  15813  2lgslem3c  15814  2lgslem3d  15815