Theorem 4nn 9270

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9167	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9269	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9118	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  1c1 7996   + caddc 7998  ℕcn 9106  3c3 9158  4c4 9159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167

This theorem is referenced by:  5nn  9271  4nn0  9384  4z  9472  fldiv4p1lem1div2  10520  fldiv4lem1div2uz2  10521  fldiv4lem1div2  10522  iexpcyc  10861  resqrexlemnmsq  11523  ef01bndlem  12262  flodddiv4  12442  flodddiv4t2lthalf  12445  6lcm4e12  12604  2expltfac  12957  starvndx  13167  starvid  13168  starvslid  13169  srngstrd  13174  homndx  13261  homid  13262  homslid  13263  prdsvalstrd  13299  dveflem  15394  tan4thpi  15509  gausslemma2dlem0d  15725  gausslemma2dlem3  15736  gausslemma2dlem4  15737  gausslemma2dlem5a  15738  gausslemma2dlem5  15739  gausslemma2dlem6  15740  m1lgs  15758  2lgslem1a2  15760  2lgslem1a  15761  2lgslem1  15764  2lgslem2  15765  2lgslem3a  15766  2lgslem3b  15767  2lgslem3c  15768  2lgslem3d  15769