Theorem 4nn 9307

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9204	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9306	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9155	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035  ℕcn 9143  3c3 9195  4c4 9196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204

This theorem is referenced by:  5nn  9308  4nn0  9421  4z  9509  fldiv4p1lem1div2  10566  fldiv4lem1div2uz2  10567  fldiv4lem1div2  10568  iexpcyc  10907  resqrexlemnmsq  11582  ef01bndlem  12322  flodddiv4  12502  flodddiv4t2lthalf  12505  6lcm4e12  12664  2expltfac  13017  starvndx  13227  starvid  13228  starvslid  13229  srngstrd  13234  homndx  13321  homid  13322  homslid  13323  prdsvalstrd  13359  dveflem  15456  tan4thpi  15571  gausslemma2dlem0d  15787  gausslemma2dlem3  15798  gausslemma2dlem4  15799  gausslemma2dlem5a  15800  gausslemma2dlem5  15801  gausslemma2dlem6  15802  m1lgs  15820  2lgslem1a2  15822  2lgslem1a  15823  2lgslem1  15826  2lgslem2  15827  2lgslem3a  15828  2lgslem3b  15829  2lgslem3c  15830  2lgslem3d  15831