Theorem 4nn 9199

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9096	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9198	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9047	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2277	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  1c1 7925   + caddc 7927  ℕcn 9035  3c3 9087  4c4 9088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096

This theorem is referenced by:  5nn  9200  4nn0  9313  4z  9401  fldiv4p1lem1div2  10446  fldiv4lem1div2uz2  10447  fldiv4lem1div2  10448  iexpcyc  10787  resqrexlemnmsq  11270  ef01bndlem  12009  flodddiv4  12189  flodddiv4t2lthalf  12192  6lcm4e12  12351  2expltfac  12704  starvndx  12913  starvid  12914  starvslid  12915  srngstrd  12920  homndx  13007  homid  13008  homslid  13009  prdsvalstrd  13045  dveflem  15140  tan4thpi  15255  gausslemma2dlem0d  15471  gausslemma2dlem3  15482  gausslemma2dlem4  15483  gausslemma2dlem5a  15484  gausslemma2dlem5  15485  gausslemma2dlem6  15486  m1lgs  15504  2lgslem1a2  15506  2lgslem1a  15507  2lgslem1  15510  2lgslem2  15511  2lgslem3a  15512  2lgslem3b  15513  2lgslem3c  15514  2lgslem3d  15515