Theorem 4nn 9468

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9365	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 9467	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 9316	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℕcn 9304  3c3 9356  4c4 9357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365

This theorem is used by:  5nn  9469  4nn0  9582  4z  9674  fldiv4p1lem1div2  10740  fldiv4lem1div2uz2  10741  fldiv4lem1div2  10742  iexpcyc  11081  resqrexlemnmsq  11783  ef01bndlem  12523  flodddiv4  12703  flodddiv4t2lthalf  12706  6lcm4e12  12865  2expltfac  13218  starvndx  13493  starvid  13494  starvslid  13495  srngstrd  13500  homndx  13587  homid  13588  homslid  13589  prdsvalstrd  13620  dveflem  15827  tan4thpi  15942  log2tlbndlog2  16082  log2ublog2  16086  gausslemma2dlem0d  16171  gausslemma2dlem3  16182  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem5  16185  gausslemma2dlem6  16186  m1lgs  16204  2lgslem1a2  16206  2lgslem1a  16207  2lgslem1  16210  2lgslem2  16211  2lgslem3a  16212  2lgslem3b  16213  2lgslem3c  16214  2lgslem3d  16215