Theorem iexpcyc 10532

Description: Taking _i to the K-th power is the same as using the K mod 4 -th power instead, by i4 10530. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	|- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9541	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
2		4z 9202	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
3		zq 9541	. . . . . 6 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. QQ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- 4 e. QQ
5		4pos 8935	. . . . 5 |- 0 < 4
6		modqval 10232	. . . . 5 |- ( ( K e. QQ /\ 4 e. QQ /\ 0 < 4 ) -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
7	4, 5, 6	mp3an23 1311	. . . 4 |- ( K e. QQ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
9	8	oveq2d 5842	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
10		4nn 9001	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
11		znq 9539	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( K / 4 ) e. QQ )
12	10, 11	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10185	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ )
14		zmulcl 9225	. . . . 5 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
15	2, 13, 14	sylancr 411	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
16		ax-icn 7829	. . . . 5 |- _i e. CC
17		iap0 9061	. . . . 5 |- _i # 0
18		expsubap 10476	. . . . 5 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
19	16, 17, 18	mpanl12 433	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
20	15, 19	mpdan 418	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
21		expmulzap 10474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
22	16, 17, 21	mpanl12 433	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
23	2, 13, 22	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
24		i4 10530	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 4 ) = 1
25	24	oveq1i 5836	. . . . . . 7 |- ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) )
26		1exp 10457	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
28	25, 27	syl5eq 2202	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
29	23, 28	eqtrd 2190	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = 1 )
30	29	oveq2d 5842	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / 1 ) )
31		expclzap 10453	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ _i # 0 /\ K e. ZZ ) -> ( _i ^ K ) e. CC )
32	16, 17, 31	mp3an12 1309	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ K ) e. CC )
33	32	div1d 8657	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / 1 ) = ( _i ^ K ) )
34	30, 33	eqtrd 2190	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
35	20, 34	eqtrd 2190	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
36	9, 35	eqtrd 2190	1 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   0cc0 7734   1c1 7735   _ici 7736   x. cmul 7739   < clt 7914   - cmin 8050   # cap 8460   / cdiv 8549   NNcn 8838   4c4 8891   ZZcz 9172   QQcq 9534   |_cfl 10176   mod cmo 10230   ^cexp 10427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231  df-seqfrec 10354  df-exp 10428

This theorem is referenced by: (None)