ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Unicode version

Theorem iexpcyc 10532
Description: Taking  _i to the  K-th power is the same as using the  K  mod  4 -th power instead, by i4 10530. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zq 9541 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
2 4z 9202 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
3 zq 9541 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  QQ )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  4  e.  QQ
5 4pos 8935 . . . . 5  |-  0  <  4
6 modqval 10232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  4  e.  QQ  /\  0  <  4 )  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
74, 5, 6mp3an23 1311 . . . 4  |-  ( K  e.  QQ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
81, 7syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
98oveq2d 5842 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
10 4nn 9001 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
11 znq 9539 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  /  4
)  e.  QQ )
1210, 11mpan2 422 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  /  4 )  e.  QQ )
1312flqcld 10185 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( K  / 
4 ) )  e.  ZZ )
14 zmulcl 9225 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
152, 13, 14sylancr 411 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
16 ax-icn 7829 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
17 iap0 9061 . . . . 5  |-  _i #  0
18 expsubap 10476 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) ) )
1916, 17, 18mpanl12 433 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
2015, 19mpdan 418 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) ) )
21 expmulzap 10474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 )  /\  ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
2216, 17, 21mpanl12 433 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
232, 13, 22sylancr 411 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  ( ( _i
^ 4 ) ^
( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) )
24 i4 10530 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
2524oveq1i 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) )  =  ( 1 ^ ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )
26 1exp 10457 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2713, 26syl 14 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2825, 27syl5eq 2202 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ 4 ) ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2923, 28eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  1 )
3029oveq2d 5842 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  1
) )
31 expclzap 10453 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3216, 17, 31mp3an12 1309 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3332div1d 8657 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  1 )  =  ( _i ^ K ) )
3430, 33eqtrd 2190 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
3520, 34eqtrd 2190 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
369, 35eqtrd 2190 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   0cc0 7734   1c1 7735   _ici 7736    x. cmul 7739    < clt 7914    - cmin 8050   # cap 8460    / cdiv 8549   NNcn 8838   4c4 8891   ZZcz 9172   QQcq 9534   |_cfl 10176    mod cmo 10230   ^cexp 10427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231  df-seqfrec 10354  df-exp 10428
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator