Theorem iexpcyc 10753

Description: Taking _i to the K-th power is the same as using the K mod 4 -th power instead, by i4 10751. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	|- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9717	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
2		4z 9373	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
3		zq 9717	. . . . . 6 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. QQ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- 4 e. QQ
5		4pos 9104	. . . . 5 |- 0 < 4
6		modqval 10433	. . . . 5 |- ( ( K e. QQ /\ 4 e. QQ /\ 0 < 4 ) -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
7	4, 5, 6	mp3an23 1340	. . . 4 |- ( K e. QQ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
9	8	oveq2d 5941	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
10		4nn 9171	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
11		znq 9715	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( K / 4 ) e. QQ )
12	10, 11	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10384	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ )
14		zmulcl 9396	. . . . 5 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
16		ax-icn 7991	. . . . 5 |- _i e. CC
17		iap0 9231	. . . . 5 |- _i # 0
18		expsubap 10696	. . . . 5 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
19	16, 17, 18	mpanl12 436	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
20	15, 19	mpdan 421	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
21		expmulzap 10694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
22	16, 17, 21	mpanl12 436	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
23	2, 13, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
24		i4 10751	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 4 ) = 1
25	24	oveq1i 5935	. . . . . . 7 |- ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) )
26		1exp 10677	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
28	25, 27	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
29	23, 28	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = 1 )
30	29	oveq2d 5941	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / 1 ) )
31		expclzap 10673	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ _i # 0 /\ K e. ZZ ) -> ( _i ^ K ) e. CC )
32	16, 17, 31	mp3an12 1338	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ K ) e. CC )
33	32	div1d 8824	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / 1 ) = ( _i ^ K ) )
34	30, 33	eqtrd 2229	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
35	20, 34	eqtrd 2229	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
36	9, 35	eqtrd 2229	1 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   _ici 7898   x. cmul 7901   < clt 8078   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   4c4 9060   ZZcz 9343   QQcq 9710   |_cfl 10375   mod cmo 10431   ^cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by: (None)