ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Unicode version

Theorem iexpcyc 10580
Description: Taking  _i to the  K-th power is the same as using the  K  mod  4 -th power instead, by i4 10578. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zq 9585 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
2 4z 9242 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
3 zq 9585 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  QQ )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  4  e.  QQ
5 4pos 8975 . . . . 5  |-  0  <  4
6 modqval 10280 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  4  e.  QQ  /\  0  <  4 )  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
74, 5, 6mp3an23 1324 . . . 4  |-  ( K  e.  QQ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
81, 7syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
98oveq2d 5869 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
10 4nn 9041 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
11 znq 9583 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  /  4
)  e.  QQ )
1210, 11mpan2 423 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  /  4 )  e.  QQ )
1312flqcld 10233 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( K  / 
4 ) )  e.  ZZ )
14 zmulcl 9265 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
152, 13, 14sylancr 412 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
16 ax-icn 7869 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
17 iap0 9101 . . . . 5  |-  _i #  0
18 expsubap 10524 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) ) )
1916, 17, 18mpanl12 434 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
2015, 19mpdan 419 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) ) )
21 expmulzap 10522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 )  /\  ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
2216, 17, 21mpanl12 434 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
232, 13, 22sylancr 412 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  ( ( _i
^ 4 ) ^
( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) )
24 i4 10578 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
2524oveq1i 5863 . . . . . . 7  |-  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) )  =  ( 1 ^ ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )
26 1exp 10505 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2713, 26syl 14 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2825, 27eqtrid 2215 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ 4 ) ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2923, 28eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  1 )
3029oveq2d 5869 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  1
) )
31 expclzap 10501 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3216, 17, 31mp3an12 1322 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3332div1d 8697 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  1 )  =  ( _i ^ K ) )
3430, 33eqtrd 2203 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
3520, 34eqtrd 2203 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
369, 35eqtrd 2203 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   _ici 7776    x. cmul 7779    < clt 7954    - cmin 8090   # cap 8500    / cdiv 8589   NNcn 8878   4c4 8931   ZZcz 9212   QQcq 9578   |_cfl 10224    mod cmo 10278   ^cexp 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator