Theorem iexpcyc 10390

Description: Taking _i to the K-th power is the same as using the K mod 4 -th power instead, by i4 10388. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	|- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9411	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
2		4z 9077	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
3		zq 9411	. . . . . 6 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. QQ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- 4 e. QQ
5		4pos 8810	. . . . 5 |- 0 < 4
6		modqval 10090	. . . . 5 |- ( ( K e. QQ /\ 4 e. QQ /\ 0 < 4 ) -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
7	4, 5, 6	mp3an23 1307	. . . 4 |- ( K e. QQ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
9	8	oveq2d 5783	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
10		4nn 8876	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
11		znq 9409	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( K / 4 ) e. QQ )
12	10, 11	mpan2 421	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10043	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ )
14		zmulcl 9100	. . . . 5 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
15	2, 13, 14	sylancr 410	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
16		ax-icn 7708	. . . . 5 |- _i e. CC
17		iap0 8936	. . . . 5 |- _i # 0
18		expsubap 10334	. . . . 5 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
19	16, 17, 18	mpanl12 432	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
20	15, 19	mpdan 417	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
21		expmulzap 10332	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
22	16, 17, 21	mpanl12 432	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
23	2, 13, 22	sylancr 410	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
24		i4 10388	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 4 ) = 1
25	24	oveq1i 5777	. . . . . . 7 |- ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) )
26		1exp 10315	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
28	25, 27	syl5eq 2182	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
29	23, 28	eqtrd 2170	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = 1 )
30	29	oveq2d 5783	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / 1 ) )
31		expclzap 10311	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ _i # 0 /\ K e. ZZ ) -> ( _i ^ K ) e. CC )
32	16, 17, 31	mp3an12 1305	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ K ) e. CC )
33	32	div1d 8533	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / 1 ) = ( _i ^ K ) )
34	30, 33	eqtrd 2170	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
35	20, 34	eqtrd 2170	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
36	9, 35	eqtrd 2170	1 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   1c1 7614   _ici 7615   x. cmul 7618   < clt 7793   - cmin 7926   # cap 8336   / cdiv 8425   NNcn 8713   4c4 8766   ZZcz 9047   QQcq 9404   |_cfl 10034   mod cmo 10088   ^cexp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286

This theorem is referenced by: (None)