Theorem iexpcyc 10610

Description: Taking _i to the K-th power is the same as using the K mod 4 -th power instead, by i4 10608. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	|- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9615	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
2		4z 9272	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
3		zq 9615	. . . . . 6 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. QQ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- 4 e. QQ
5		4pos 9005	. . . . 5 |- 0 < 4
6		modqval 10310	. . . . 5 |- ( ( K e. QQ /\ 4 e. QQ /\ 0 < 4 ) -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
7	4, 5, 6	mp3an23 1329	. . . 4 |- ( K e. QQ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
9	8	oveq2d 5885	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
10		4nn 9071	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
11		znq 9613	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( K / 4 ) e. QQ )
12	10, 11	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10263	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ )
14		zmulcl 9295	. . . . 5 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
16		ax-icn 7897	. . . . 5 |- _i e. CC
17		iap0 9131	. . . . 5 |- _i # 0
18		expsubap 10554	. . . . 5 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
19	16, 17, 18	mpanl12 436	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
20	15, 19	mpdan 421	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
21		expmulzap 10552	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i # 0 ) /\ ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
22	16, 17, 21	mpanl12 436	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
23	2, 13, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
24		i4 10608	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 4 ) = 1
25	24	oveq1i 5879	. . . . . . 7 |- ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) )
26		1exp 10535	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
28	25, 27	eqtrid 2222	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
29	23, 28	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = 1 )
30	29	oveq2d 5885	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / 1 ) )
31		expclzap 10531	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ _i # 0 /\ K e. ZZ ) -> ( _i ^ K ) e. CC )
32	16, 17, 31	mp3an12 1327	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ K ) e. CC )
33	32	div1d 8726	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / 1 ) = ( _i ^ K ) )
34	30, 33	eqtrd 2210	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
35	20, 34	eqtrd 2210	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
36	9, 35	eqtrd 2210	1 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   1c1 7803   _ici 7804   x. cmul 7807   < clt 7982   - cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618   NNcn 8908   4c4 8961   ZZcz 9242   QQcq 9608   |_cfl 10254   mod cmo 10308   ^cexp 10505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506

This theorem is referenced by: (None)