Theorem srngstrd 13228

Description: A constructed star ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	|- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
srngstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
srngstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
srngstrd.m	|- ( ph -> .x. e. X )
srngstrd.s	|- ( ph -> .* e. Y )

Assertion

Ref	Expression
srngstrd	|- ( ph -> R Struct <. 1 , 4 >. )

Proof of Theorem srngstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngstr.r	. 2 |- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
2		srngstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		srngstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
4		srngstrd.m	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. X )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }
6	5	rngstrg 13217	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
8		srngstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> .* e. Y )
9		4nn 9306	. . . . 5 |- 4 e. NN
10		starvndx 13221	. . . . 5 |- ( *r ` ndx ) = 4
11	9, 10	strle1g 13188	. . . 4 |- ( .* e. Y -> { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } Struct <. 4 , 4 >. )
12	8, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } Struct <. 4 , 4 >. )
13		3lt4 9315	. . . 4 |- 3 < 4
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 3 < 4 )
15	7, 12, 14	strleund 13185	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) Struct <. 1 , 4 >. )
16	1, 15	eqbrtrid 4123	1 |- ( ph -> R Struct <. 1 , 4 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   {csn 3669   {ctp 3671   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   1c1 8032   < clt 8213   3c3 9194   4c4 9195   Struct cstr 13077   ndxcnx 13078   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   *rcstv 13161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174

This theorem is referenced by:  srngbased  13229  srngplusgd  13230  srngmulrd  13231  srnginvld  13232  cnfldstr  14571