ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srngstrd Unicode version

Theorem srngstrd 12576
Description: A constructed star ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
srngstr.r  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
srngstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
srngstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
srngstrd.m  |-  ( ph  ->  .x.  e.  X )
srngstrd.s  |-  ( ph  ->  .*  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
srngstrd  |-  ( ph  ->  R Struct  <. 1 ,  4
>. )

Proof of Theorem srngstrd
StepHypRef Expression
1 srngstr.r . 2  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
2 srngstrd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 srngstrd.p . . . 4  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
4 srngstrd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  .x.  e.  X )
5 eqid 2177 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
65rngstrg 12569 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .x.  e.  X )  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >. )
72, 3, 4, 6syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >. )
8 srngstrd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  .*  e.  Y )
9 4nn 9068 . . . . 5  |-  4  e.  NN
10 starvndx 12573 . . . . 5  |-  ( *r `  ndx )  =  4
119, 10strle1g 12543 . . . 4  |-  (  .*  e.  Y  ->  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } Struct  <. 4 ,  4 >. )
128, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } Struct  <. 4 ,  4 >. )
13 3lt4 9077 . . . 4  |-  3  <  4
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  3  <  4 )
157, 12, 14strleund 12541 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } ) Struct  <. 1 ,  4
>. )
161, 15eqbrtrid 4035 1  |-  ( ph  ->  R Struct  <. 1 ,  4
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3127   {csn 3591   {ctp 3593   <.cop 3594   class class class wbr 4000   ` cfv 5212   1c1 7800    < clt 7979   3c3 8957   4c4 8958   Struct cstr 12438   ndxcnx 12439   Basecbs 12442   +g cplusg 12515   .rcmulr 12516   *rcstv 12517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-tp 3599  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-fz 9993  df-struct 12444  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-mulr 12529  df-starv 12530
This theorem is referenced by:  srngbased  12577  srngplusgd  12578  srngmulrd  12579  srnginvld  12580
  Copyright terms: Public domain W3C validator