Theorem srngstrd 11863

Description: A constructed star ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	|- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
srngstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
srngstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
srngstrd.m	|- ( ph -> .x. e. X )
srngstrd.s	|- ( ph -> .* e. Y )

Assertion

Ref	Expression
srngstrd	|- ( ph -> R Struct <. 1 , 4 >. )

Proof of Theorem srngstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngstr.r	. 2 |- R = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } )
2		srngstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		srngstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
4		srngstrd.m	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. X )
5		eqid 2100	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }
6	5	rngstrg 11856	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
8		srngstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> .* e. Y )
9		4nn 8735	. . . . 5 |- 4 e. NN
10		starvndx 11860	. . . . 5 |- ( *r ` ndx ) = 4
11	9, 10	strle1g 11831	. . . 4 |- ( .* e. Y -> { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } Struct <. 4 , 4 >. )
12	8, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } Struct <. 4 , 4 >. )
13		3lt4 8744	. . . 4 |- 3 < 4
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 3 < 4 )
15	7, 12, 14	strleund 11829	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , .* >. } ) Struct <. 1 , 4 >. )
16	1, 15	syl5eqbr 3908	1 |- ( ph -> R Struct <. 1 , 4 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1299   e. wcel 1448   u. cun 3019   {csn 3474   {ctp 3476   <.cop 3477   class class class wbr 3875   ` cfv 5059   1c1 7501   < clt 7672   3c3 8630   4c4 8631   Struct cstr 11737   ndxcnx 11738   Basecbs 11741   +g cplusg 11803   .rcmulr 11804   *rcstv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-tp 3482  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-struct 11743  df-ndx 11744  df-slot 11745  df-base 11747  df-plusg 11816  df-mulr 11817  df-starv 11818

This theorem is referenced by:  srngbased  11864  srngplusgd  11865  srngmulrd  11866  srnginvld  11867