Theorem flodddiv4t2lthalf 11801

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 11800	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) )
2		4nn 8975	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
3		znq 9511	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
4	2, 3	mpan2 422	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
5	4	flqcld 10154	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
6	5	zred 9265	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
7	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
8		qre 9512	. . . . . 6 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( N / 4 ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
10	9	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 4 ) e. RR )
11		2re 8882	. . . . . 6 |- 2 e. RR
12		2pos 8903	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
15		ltmul1 8446	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
16	7, 10, 14, 15	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
17	1, 16	mpbid 146	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
18		zcn 9151	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
19	18	halfcld 9056	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. CC )
20		2cnd 8885	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
21		2ap0 8905	. . . . . 6 |- 2 # 0
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
23	19, 20, 22	divcanap1d 8643	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( N / 2 ) )
24	18, 20, 20, 22, 22	divdivap1d 8674	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
25		2t2e4 8966	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
27	26	oveq2d 5830	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 ) )
28	24, 27	eqtrd 2187	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
29	28	oveq1d 5829	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
30	23, 29	eqtr3d 2189	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
31	30	adantr 274	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
32	17, 31	breqtrrd 3988	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   class class class wbr 3961   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   RRcr 7710   0cc0 7711   x. cmul 7716   < clt 7891   # cap 8435   / cdiv 8524   NNcn 8812   2c2 8863   4c4 8865   ZZcz 9146   QQcq 9506   |_cfl 10145   || cdvds 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-q 9507  df-rp 9539  df-fl 10147  df-dvds 11661

This theorem is referenced by: (None)