Theorem flodddiv4t2lthalf 11634

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 11633	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) )
2		4nn 8883	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
3		znq 9416	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
4	2, 3	mpan2 421	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
5	4	flqcld 10050	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
6	5	zred 9173	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
7	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
8		qre 9417	. . . . . 6 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( N / 4 ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
10	9	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 4 ) e. RR )
11		2re 8790	. . . . . 6 |- 2 e. RR
12		2pos 8811	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
15		ltmul1 8354	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
16	7, 10, 14, 15	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
17	1, 16	mpbid 146	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
18		zcn 9059	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
19	18	halfcld 8964	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. CC )
20		2cnd 8793	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
21		2ap0 8813	. . . . . 6 |- 2 # 0
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
23	19, 20, 22	divcanap1d 8551	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( N / 2 ) )
24	18, 20, 20, 22, 22	divdivap1d 8582	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
25		2t2e4 8874	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
27	26	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 ) )
28	24, 27	eqtrd 2172	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
29	28	oveq1d 5789	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
30	23, 29	eqtr3d 2174	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
31	30	adantr 274	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
32	17, 31	breqtrrd 3956	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   x. cmul 7625   < clt 7800   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   4c4 8773   ZZcz 9054   QQcq 9411   |_cfl 10041   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412  df-rp 9442  df-fl 10043  df-dvds 11494

This theorem is referenced by: (None)