Theorem flodddiv4t2lthalf 12123

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 12122	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) )
2		4nn 9173	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
3		znq 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
4	2, 3	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
5	4	flqcld 10386	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
6	5	zred 9467	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
8		qre 9718	. . . . . 6 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( N / 4 ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 4 ) e. RR )
11		2re 9079	. . . . . 6 |- 2 e. RR
12		2pos 9100	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
15		ltmul1 8638	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
16	7, 10, 14, 15	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
17	1, 16	mpbid 147	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
18		zcn 9350	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
19	18	halfcld 9255	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. CC )
20		2cnd 9082	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
21		2ap0 9102	. . . . . 6 |- 2 # 0
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
23	19, 20, 22	divcanap1d 8837	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( N / 2 ) )
24	18, 20, 20, 22, 22	divdivap1d 8868	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
25		2t2e4 9164	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
27	26	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 ) )
28	24, 27	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
29	28	oveq1d 5940	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
30	23, 29	eqtr3d 2231	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
31	30	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
32	17, 31	breqtrrd 4062	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7897   0cc0 7898   x. cmul 7903   < clt 8080   # cap 8627   / cdiv 8718   NNcn 9009   2c2 9060   4c4 9062   ZZcz 9345   QQcq 9712   |_cfl 10377   || cdvds 11971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-q 9713  df-rp 9748  df-fl 10379  df-dvds 11972

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  15402