Theorem flodddiv4t2lthalf 12731

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 12730	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) )
2		4nn 9479	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
3		znq 10040	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
4	2, 3	mpan2 429	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
5	4	flqcld 10731	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
6	5	zred 9779	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
8		qre 10041	. . . . . 6 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( N / 4 ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 4 ) e. RR )
11		2re 9383	. . . . . 6 |- 2 e. RR
12		2pos 9404	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
15		ltmul1 8928	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
16	7, 10, 14, 15	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
17	1, 16	mpbid 147	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
18		zcn 9660	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
19	18	halfcld 9561	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. CC )
20		2cnd 9386	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
21		2ap0 9406	. . . . . 6 |- 2 # 0
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
23	19, 20, 22	divcanap1d 9129	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( N / 2 ) )
24	18, 20, 20, 22, 22	divdivap1d 9160	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
25		2t2e4 9468	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
27	26	oveq2d 6104	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 ) )
28	24, 27	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
29	28	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
30	23, 29	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
31	30	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
32	17, 31	breqtrrd 4159	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   x. cmul 8190   < clt 8366   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   4c4 9366   ZZcz 9655   QQcq 10035   |_cfl 10720   || cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-q 10036  df-rp 10072  df-fl 10722  df-dvds 12580

This theorem is used by:  gausslemma2dlem0e  16377