Theorem tan4thpi 15255

Description: The tangent of pi / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tan4thpi	|- ( tan ` ( pi / 4 ) ) = 1

Proof of Theorem tan4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15200	. . . . 5 |- pi e. RR
2		4nn 9199	. . . . 5 |- 4 e. NN
3		nndivre 9071	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( pi / 4 ) e. RR )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . 4 |- ( pi / 4 ) e. RR
5	4	recni 8083	. . 3 |- ( pi / 4 ) e. CC
6		sincos4thpi 15254	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) /\ ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) )
7	6	simpri 113	. . . 4 |- ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) )
8		sqrt2re 12427	. . . . . 6 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
9	8	recni 8083	. . . . 5 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
10		2re 9105	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
11		2pos 9126	. . . . . . 7 |- 0 < 2
12	10, 11	sqrtgt0ii 11384	. . . . . 6 |- 0 < ( sqr ` 2 )
13	8, 12	gt0ap0ii 8700	. . . . 5 |- ( sqr ` 2 ) # 0
14		recap0 8757	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) # 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) # 0 )
15	9, 13, 14	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) # 0
16	7, 15	eqbrtri 4064	. . 3 |- ( cos ` ( pi / 4 ) ) # 0
17		tanvalap 11961	. . 3 |- ( ( ( pi / 4 ) e. CC /\ ( cos ` ( pi / 4 ) ) # 0 ) -> ( tan ` ( pi / 4 ) ) = ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) / ( cos ` ( pi / 4 ) ) ) )
18	5, 16, 17	mp2an 426	. 2 |- ( tan ` ( pi / 4 ) ) = ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) / ( cos ` ( pi / 4 ) ) )
19	6	simpli 111	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) )
20	19, 7	oveq12i 5955	. 2 |- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) / ( cos ` ( pi / 4 ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) / ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) )
21	9, 13	recclapi 8814	. . 3 |- ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) e. CC
22	21, 15	dividapi 8817	. 2 |- ( ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) / ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) ) = 1
23	18, 20, 22	3eqtri 2229	1 |- ( tan ` ( pi / 4 ) ) = 1

Syntax hints:   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925   # cap 8653   / cdiv 8744   NNcn 9035   2c2 9086   4c4 9088   sqrcsqrt 11249   sincsin 11897   cosccos 11898   tanctan 11899   picpi 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ioc 10014  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11068  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607  df-ef 11901  df-sin 11903  df-cos 11904  df-tan 11905  df-pi 11906  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-ntr 14510  df-cn 14602  df-cnp 14603  df-tx 14667  df-cncf 14985  df-limced 15070  df-dvap 15071

This theorem is referenced by: (None)