Theorem add20i 8173

Description: Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	|- A e. RR
lt2.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
add20i	|- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( ( A + B ) = 0 <-> ( A = 0 /\ B = 0 ) ) )

Proof of Theorem add20i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2.1	. 2 |- A e. RR
2		lt2.2	. 2 |- B e. RR
3		add20 8155	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A + B ) = 0 <-> ( A = 0 /\ B = 0 ) ) )
4	3	an4s 560	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A + B ) = 0 <-> ( A = 0 /\ B = 0 ) ) )
5	1, 2, 4	mpanl12 430	1 |- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( ( A + B ) = 0 <-> ( A = 0 /\ B = 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   + caddc 7550   <_ cle 7725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-i2m1 7650  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730

This theorem is referenced by: (None)