ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0ii Unicode version

Theorem addgt0ii 8385
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1  |-  A  e.  RR
lt2.2  |-  B  e.  RR
addgt0i.3  |-  0  <  A
addgt0i.4  |-  0  <  B
Assertion
Ref Expression
addgt0ii  |-  0  <  ( A  +  B
)

Proof of Theorem addgt0ii
StepHypRef Expression
1 addgt0i.3 . 2  |-  0  <  A
2 addgt0i.4 . 2  |-  0  <  B
3 lt2.1 . . 3  |-  A  e.  RR
4 lt2.2 . . 3  |-  B  e.  RR
53, 4addgt0i 8382 . 2  |-  ( ( 0  <  A  /\  0  <  B )  -> 
0  <  ( A  +  B ) )
61, 2, 5mp2an 423 1  |-  0  <  ( A  +  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   RRcr 7748   0cc0 7749    + caddc 7752    < clt 7929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-ltxr 7934
This theorem is referenced by:  eqneg  8624  2pos  8944  3pos  8947  4pos  8950  5pos  8953  6pos  8954  7pos  8955  8pos  8956  9pos  8957
  Copyright terms: Public domain W3C validator