Theorem apsscn 8794

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	|- { x e. A | x # B } C_ CC

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4086	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x # B <-> y # B ) )
2	1	elrab 2959	. . . 4 |- ( y e. { x e. A | x # B } <-> ( y e. A /\ y # B ) )
3		aprcl 8793	. . . 4 |- ( y # B -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
4	2, 3	simplbiim 387	. . 3 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
5	4	simpld 112	. 2 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> y e. CC )
6	5	ssriv 3228	1 |- { x e. A | x # B } C_ CC

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2200   {crab 2512   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   CCcc 7997   # cap 8728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-resscn 8091  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-mulcl 8097

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-ap 8729

This theorem is referenced by:  expghmap  14571  maxcncf  15289  mincncf  15290  limccoap  15352  dveflem  15400