Theorem apsscn 8983

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	|- { x e. A | x # B } C_ CC

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4134	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x # B <-> y # B ) )
2	1	elrab 2982	. . . 4 |- ( y e. { x e. A | x # B } <-> ( y e. A /\ y # B ) )
3		aprcl 8982	. . . 4 |- ( y # B -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
4	2, 3	simplbiim 391	. . 3 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
5	4	simpld 112	. 2 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> y e. CC )
6	5	ssriv 3252	1 |- { x e. A | x # B } C_ CC

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   CCcc 8183   # cap 8917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-resscn 8277  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-mulcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-ap 8918

This theorem is used by:  expghmap  15051  maxcncf  15841  mincncf  15842  limccoap  15904  dveflem  15952