Theorem apsscn 8566

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	|- { x e. A | x # B } C_ CC

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3992	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x # B <-> y # B ) )
2	1	elrab 2886	. . . 4 |- ( y e. { x e. A | x # B } <-> ( y e. A /\ y # B ) )
3		aprcl 8565	. . . 4 |- ( y # B -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
4	2, 3	simplbiim 385	. . 3 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
5	4	simpld 111	. 2 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> y e. CC )
6	5	ssriv 3151	1 |- { x e. A | x # B } C_ CC

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 2141   {crab 2452   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   CCcc 7772   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-resscn 7866  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-mulcl 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fo 5204  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  limccoap  13441  dveflem  13481