Theorem apsscn 8603

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	|- { x e. A | x # B } C_ CC

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4006	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x # B <-> y # B ) )
2	1	elrab 2893	. . . 4 |- ( y e. { x e. A | x # B } <-> ( y e. A /\ y # B ) )
3		aprcl 8602	. . . 4 |- ( y # B -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
4	2, 3	simplbiim 387	. . 3 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
5	4	simpld 112	. 2 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> y e. CC )
6	5	ssriv 3159	1 |- { x e. A | x # B } C_ CC

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2148   {crab 2459   C_ wss 3129   class class class wbr 4003   CCcc 7808   # cap 8537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-resscn 7902  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-mulcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fo 5222  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-ap 8538

This theorem is referenced by:  limccoap  14117  dveflem  14157