ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apsscn Unicode version

Theorem apsscn 8604
Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
apsscn  |-  { x  e.  A  |  x #  B }  C_  CC
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem apsscn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4007 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x #  B  <->  y #  B
) )
21elrab 2894 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  x #  B } 
<->  ( y  e.  A  /\  y #  B )
)
3 aprcl 8603 . . . 4  |-  ( y #  B  ->  ( y  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
42, 3simplbiim 387 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ->  ( y  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
54simpld 112 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ->  y  e.  CC )
65ssriv 3160 1  |-  { x  e.  A  |  x #  B }  C_  CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    e. wcel 2148   {crab 2459    C_ wss 3130   class class class wbr 4004   CCcc 7809   # cap 8538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-resscn 7903  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-mulcl 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fo 5223  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-ap 8539
This theorem is referenced by:  limccoap  14150  dveflem  14190
  Copyright terms: Public domain W3C validator