Theorem apsscn 8666

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	|- { x e. A | x # B } C_ CC

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4032	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x # B <-> y # B ) )
2	1	elrab 2916	. . . 4 |- ( y e. { x e. A | x # B } <-> ( y e. A /\ y # B ) )
3		aprcl 8665	. . . 4 |- ( y # B -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
4	2, 3	simplbiim 387	. . 3 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> ( y e. CC /\ B e. CC ) )
5	4	simpld 112	. 2 |- ( y e. { x e. A | x # B } -> y e. CC )
6	5	ssriv 3183	1 |- { x e. A | x # B } C_ CC

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2164   {crab 2476   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   CCcc 7870   # cap 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-resscn 7964  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-mulcl 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fo 5260  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-ap 8601

This theorem is referenced by:  expghmap  14095  maxcncf  14769  mincncf  14770  limccoap  14832  dveflem  14872