ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apsscn Unicode version

Theorem apsscn 8402
Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
apsscn  |-  { x  e.  A  |  x #  B }  C_  CC
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem apsscn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3927 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x #  B  <->  y #  B
) )
21elrab 2835 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  x #  B } 
<->  ( y  e.  A  /\  y #  B )
)
3 aprcl 8401 . . . 4  |-  ( y #  B  ->  ( y  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
42, 3simplbiim 384 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ->  ( y  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
54simpld 111 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  x #  B }  ->  y  e.  CC )
65ssriv 3096 1  |-  { x  e.  A  |  x #  B }  C_  CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    e. wcel 1480   {crab 2418    C_ wss 3066   class class class wbr 3924   CCcc 7611   # cap 8336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-resscn 7705  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-mulcl 7711
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fo 5124  df-fv 5126  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-ap 8337
This theorem is referenced by:  limccoap  12805  dveflem  12844
  Copyright terms: Public domain W3C validator