Theorem apsscn 8976

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4133	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 𝐵 ↔ 𝑦 # 𝐵))
2	1	elrab 2982	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 # 𝐵))
3		aprcl 8975	. . . 4 ⊢ (𝑦 # 𝐵 → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	2, 3	simplbiim 391	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → 𝑦 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 3252	1 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ℂcc 8177   # cap 8910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-resscn 8271  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-ap 8911

This theorem is used by:  expghmap  14944  maxcncf  15718  mincncf  15719  limccoap  15781  dveflem  15829