ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apsscn GIF version

Theorem apsscn 8416
Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
apsscn {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem apsscn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3932 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 𝐵𝑦 # 𝐵))
21elrab 2840 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ↔ (𝑦𝐴𝑦 # 𝐵))
3 aprcl 8415 . . . 4 (𝑦 # 𝐵 → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
42, 3simplbiim 384 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
54simpld 111 . 2 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} → 𝑦 ∈ ℂ)
65ssriv 3101 1 {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wcel 1480  {crab 2420  wss 3071   class class class wbr 3929  cc 7625   # cap 8350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-resscn 7719  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-mulcl 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fo 5129  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-ap 8351
This theorem is referenced by:  limccoap  12826  dveflem  12865
  Copyright terms: Public domain W3C validator