Theorem apsscn 8733

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4051	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 𝐵 ↔ 𝑦 # 𝐵))
2	1	elrab 2931	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 # 𝐵))
3		aprcl 8732	. . . 4 ⊢ (𝑦 # 𝐵 → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	2, 3	simplbiim 387	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → 𝑦 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 3199	1 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  {crab 2489   ⊆ wss 3168   class class class wbr 4048  ℂcc 7936   # cap 8667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-resscn 8030  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-mulcl 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fo 5283  df-fv 5285  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-ap 8668

This theorem is referenced by:  expghmap  14419  maxcncf  15137  mincncf  15138  limccoap  15200  dveflem  15248