Theorem apsscn 8604

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4007	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 𝐵 ↔ 𝑦 # 𝐵))
2	1	elrab 2894	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 # 𝐵))
3		aprcl 8603	. . . 4 ⊢ (𝑦 # 𝐵 → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	2, 3	simplbiim 387	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → 𝑦 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 3160	1 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  {crab 2459   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004  ℂcc 7809   # cap 8538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-resscn 7903  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-mulcl 7909

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fo 5223  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-ap 8539

This theorem is referenced by:  limccoap  14150  dveflem  14190