Theorem apsscn 8545

Description: The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
apsscn	⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem apsscn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3985	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 𝐵 ↔ 𝑦 # 𝐵))
2	1	elrab 2882	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 # 𝐵))
3		aprcl 8544	. . . 4 ⊢ (𝑦 # 𝐵 → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	2, 3	simplbiim 385	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	simpld 111	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → 𝑦 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 3146	1 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  {crab 2448   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982  ℂcc 7751   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-resscn 7845  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-mulcl 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fo 5194  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  limccoap  13287  dveflem  13327