Theorem limccoap 15121

Description: Composition of two limits. This theorem is only usable in the case where x # X implies R(x) # C so it is less general than might appear at first. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccoap.r	|- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. { w e. B | w # C } )
limccoap.s	|- ( ( ph /\ y e. { w e. B | w # C } ) -> S e. CC )
limccoap.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) )
limccoap.d	|- ( ph -> D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) )
limcco.1	|- ( y = R -> S = T )

Assertion

Ref	Expression
limccoap	|- ( ph -> D e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> T ) lim CC X ) )

Distinct variable groups:   w, A, x   w, B, x, y   w, C, x, y   x, D, y   w, R, y   x, S   y, T   w, X, x   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( y)   D( w)   R( x)   S( y, w)   T( x, w)   X( y)

Proof of Theorem limccoap

Dummy variables d e u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccoap.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) )
2		apsscn 8719	. . . . . 6 |- { w e. B | w # C } C_ CC
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> { w e. B | w # C } C_ CC )
4		limcrcl 15101	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) -> ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) : dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) --> CC /\ dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) C_ CC /\ C e. CC ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) : dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) --> CC /\ dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) C_ CC /\ C e. CC ) )
6	5	simp3d 1013	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
7		limccoap.s	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. { w e. B | w # C } ) -> S e. CC )
8	3, 6, 7	limcmpted 15106	. . . 4 |- ( ph -> ( D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) <-> ( D e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( D e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ph -> D e. CC )
11	9	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) )
12		breq2 4047	. . . . . . . . . 10 |- ( v = d -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < v <-> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
13	12	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( v = d -> ( ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) <-> ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) ) )
14	13	rexralbidv 2531	. . . . . . . 8 |- ( v = d -> ( E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) <-> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) ) )
15		limccoap.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) )
16		apsscn 8719	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w e. A | w # X } C_ CC
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { w e. A | w # X } C_ CC )
18		limcrcl 15101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) -> ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) : dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) C_ CC /\ X e. CC ) )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) : dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) C_ CC /\ X e. CC ) )
20	19	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. CC )
21		limccoap.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. { w e. B | w # C } )
22	2, 21	sselid 3190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. CC )
23	17, 20, 22	limcmpted 15106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) <-> ( C e. CC /\ A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) ) ) )
24	15, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) ) )
25	24	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) )
27		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> d e. RR+ )
28	14, 26, 27	rspcdva 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
30		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ph )
31	30, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. { w e. B | w # C } )
32		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = R -> ( w # C <-> R # C ) )
33	32	elrab 2928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. { w e. B | w # C } <-> ( R e. B /\ R # C ) )
34	31, 33	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( R e. B /\ R # C ) )
35	34	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R # C )
36		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = R -> ( y # C <-> R # C ) )
37		fvoveq1 5966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = R -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
38	37	breq1d 4053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = R -> ( ( abs ` ( y - C ) ) < d <-> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
39	36, 38	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = R -> ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) <-> ( R # C /\ ( abs ` ( R - C ) ) < d ) ) )
40		limcco.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = R -> S = T )
41	40	fvoveq1d 5965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = R -> ( abs ` ( S - D ) ) = ( abs ` ( T - D ) ) )
42	41	breq1d 4053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = R -> ( ( abs ` ( S - D ) ) < e <-> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
43	39, 42	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = R -> ( ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) <-> ( ( R # C /\ ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
44		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) )
45	43, 44, 31	rspcdva 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( ( R # C /\ ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
46	35, 45	mpand 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < d -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
47	46	imim2d 54	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
48	47	ralimdva 2572	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) -> ( A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
49	48	reximdva 2607	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) -> ( E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
50	29, 49	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
51	50	rexlimdva2 2625	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
52	51	ralimdva 2572	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
53	11, 52	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
54	40	eleq1d 2273	. . . 4 |- ( y = R -> ( S e. CC <-> T e. CC ) )
55	7	ralrimiva 2578	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. { w e. B | w # C } S e. CC )
56	55	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> A. y e. { w e. B | w # C } S e. CC )
57	54, 56, 21	rspcdva 2881	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> T e. CC )
58	17, 20, 57	limcmpted 15106	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> T ) lim CC X ) <-> ( D e. CC /\ A. e e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) ) )
59	10, 53, 58	mpbir2and 946	1 |- ( ph -> D e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> T ) lim CC X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   {crab 2487   C_ wss 3165   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   dom cdm 4674   -->wf 5266   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   < clt 8106   - cmin 8242   # cap 8653   RR+crp 9774   abscabs 11279   lim CC climc 15097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-mulcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fo 5276  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pm 6737  df-ap 8654  df-limced 15099

This theorem is referenced by:  dvcoapbr  15150