Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccoap Unicode version

Theorem limccoap 12805
 Description: Composition of two limits. This theorem is only usable in the case where # implies R(x) # so it is less general than might appear at first. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccoap.r # #
limccoap.s #
limccoap.c # lim
limccoap.d # lim
limcco.1
Assertion
Ref Expression
limccoap # lim
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem limccoap
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccoap.d . . . 4 # lim
2 apsscn 8402 . . . . . 6 #
32a1i 9 . . . . 5 #
4 limcrcl 12785 . . . . . . 7 # lim # # #
51, 4syl 14 . . . . . 6 # # #
65simp3d 995 . . . . 5
7 limccoap.s . . . . 5 #
83, 6, 7limcmpted 12790 . . . 4 # lim # #
91, 8mpbid 146 . . 3 # #
109simpld 111 . 2
119simprd 113 . . 3 # #
12 breq2 3928 . . . . . . . . . 10
1312imbi2d 229 . . . . . . . . 9 # #
1413rexralbidv 2459 . . . . . . . 8 # # # #
15 limccoap.c . . . . . . . . . . 11 # lim
16 apsscn 8402 . . . . . . . . . . . . 13 #
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 #
18 limcrcl 12785 . . . . . . . . . . . . . 14 # lim # # #
1915, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 # # #
2019simp3d 995 . . . . . . . . . . . 12
21 limccoap.r . . . . . . . . . . . . 13 # #
222, 21sseldi 3090 . . . . . . . . . . . 12 #
2317, 20, 22limcmpted 12790 . . . . . . . . . . 11 # lim # #
2415, 23mpbid 146 . . . . . . . . . 10 # #
2524simprd 113 . . . . . . . . 9 # #
2625ad2antrr 479 . . . . . . . 8 # #
27 simpr 109 . . . . . . . 8
2814, 26, 27rspcdva 2789 . . . . . . 7 # #
2928adantr 274 . . . . . 6 # # # #
30 simp-5l 532 . . . . . . . . . . . . 13 # # #
3130, 21sylancom 416 . . . . . . . . . . . 12 # # # #
32 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13 # #
3332elrab 2835 . . . . . . . . . . . 12 # #
3431, 33sylib 121 . . . . . . . . . . 11 # # # #
3534simprd 113 . . . . . . . . . 10 # # # #
36 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13 # #
37 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . . . . . 14
3837breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . 13
3936, 38anbi12d 464 . . . . . . . . . . . 12 # #
40 limcco.1 . . . . . . . . . . . . . 14
4140fvoveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13
4241breq1d 3934 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11 # #
44 simpllr 523 . . . . . . . . . . 11 # # # # #
4543, 44, 31rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10 # # # #
4635, 45mpand 425 . . . . . . . . 9 # # #
4746imim2d 54 . . . . . . . 8 # # # # #
4847ralimdva 2497 . . . . . . 7 # # # # # #
4948reximdva 2532 . . . . . 6 # # # # # #
5029, 49mpd 13 . . . . 5 # # # #
5150rexlimdva2 2550 . . . 4 # # # #
5251ralimdva 2497 . . 3 # # # #
5311, 52mpd 13 . 2 # #
5440eleq1d 2206 . . . 4
557ralrimiva 2503 . . . . 5 #
5655adantr 274 . . . 4 # #
5754, 56, 21rspcdva 2789 . . 3 #
5817, 20, 57limcmpted 12790 . 2 # lim # #
5910, 53, 58mpbir2and 928 1 # lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  crab 2418   wss 3066   class class class wbr 3924   cmpt 3984   cdm 4534  wf 5114  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611   clt 7793   cmin 7926   # cap 8336  crp 9434  cabs 10762   lim climc 12781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-mulcl 7711 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fo 5124  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pm 6538  df-ap 8337  df-limced 12783 This theorem is referenced by:  dvcoapbr  12829
 Copyright terms: Public domain W3C validator