Theorem limccoap 14832

Description: Composition of two limits. This theorem is only usable in the case where x # X implies R(x) # C so it is less general than might appear at first. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccoap.r	|- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. { w e. B | w # C } )
limccoap.s	|- ( ( ph /\ y e. { w e. B | w # C } ) -> S e. CC )
limccoap.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) )
limccoap.d	|- ( ph -> D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) )
limcco.1	|- ( y = R -> S = T )

Assertion

Ref	Expression
limccoap	|- ( ph -> D e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> T ) lim CC X ) )

Distinct variable groups:   w, A, x   w, B, x, y   w, C, x, y   x, D, y   w, R, y   x, S   y, T   w, X, x   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( y)   D( w)   R( x)   S( y, w)   T( x, w)   X( y)

Proof of Theorem limccoap

Dummy variables d e u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccoap.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) )
2		apsscn 8666	. . . . . 6 |- { w e. B | w # C } C_ CC
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> { w e. B | w # C } C_ CC )
4		limcrcl 14812	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) -> ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) : dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) --> CC /\ dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) C_ CC /\ C e. CC ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) : dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) --> CC /\ dom ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) C_ CC /\ C e. CC ) )
6	5	simp3d 1013	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
7		limccoap.s	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. { w e. B | w # C } ) -> S e. CC )
8	3, 6, 7	limcmpted 14817	. . . 4 |- ( ph -> ( D e. ( ( y e. { w e. B | w # C } |-> S ) lim CC C ) <-> ( D e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( D e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ph -> D e. CC )
11	9	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) )
12		breq2 4033	. . . . . . . . . 10 |- ( v = d -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < v <-> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
13	12	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( v = d -> ( ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) <-> ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) ) )
14	13	rexralbidv 2520	. . . . . . . 8 |- ( v = d -> ( E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) <-> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) ) )
15		limccoap.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) )
16		apsscn 8666	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w e. A | w # X } C_ CC
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { w e. A | w # X } C_ CC )
18		limcrcl 14812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) -> ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) : dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) C_ CC /\ X e. CC ) )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) : dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) C_ CC /\ X e. CC ) )
20	19	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. CC )
21		limccoap.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. { w e. B | w # C } )
22	2, 21	sselid 3177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. CC )
23	17, 20, 22	limcmpted 14817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> R ) lim CC X ) <-> ( C e. CC /\ A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) ) ) )
24	15, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) ) )
25	24	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> A. v e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < v ) )
27		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> d e. RR+ )
28	14, 26, 27	rspcdva 2869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
30		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ph )
31	30, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R e. { w e. B | w # C } )
32		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = R -> ( w # C <-> R # C ) )
33	32	elrab 2916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. { w e. B | w # C } <-> ( R e. B /\ R # C ) )
34	31, 33	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( R e. B /\ R # C ) )
35	34	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> R # C )
36		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = R -> ( y # C <-> R # C ) )
37		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = R -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
38	37	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = R -> ( ( abs ` ( y - C ) ) < d <-> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) )
39	36, 38	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = R -> ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) <-> ( R # C /\ ( abs ` ( R - C ) ) < d ) ) )
40		limcco.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = R -> S = T )
41	40	fvoveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = R -> ( abs ` ( S - D ) ) = ( abs ` ( T - D ) ) )
42	41	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = R -> ( ( abs ` ( S - D ) ) < e <-> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
43	39, 42	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = R -> ( ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) <-> ( ( R # C /\ ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
44		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) )
45	43, 44, 31	rspcdva 2869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( ( R # C /\ ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
46	35, 45	mpand 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < d -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
47	46	imim2d 54	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> ( ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
48	47	ralimdva 2561	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) /\ u e. RR+ ) -> ( A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
49	48	reximdva 2596	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) -> ( E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < d ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
50	29, 49	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
51	50	rexlimdva2 2614	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) -> E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
52	51	ralimdva 2561	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. { w e. B | w # C } ( ( y # C /\ ( abs ` ( y - C ) ) < d ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) )
53	11, 52	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) )
54	40	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( y = R -> ( S e. CC <-> T e. CC ) )
55	7	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. { w e. B | w # C } S e. CC )
56	55	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> A. y e. { w e. B | w # C } S e. CC )
57	54, 56, 21	rspcdva 2869	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. { w e. A | w # X } ) -> T e. CC )
58	17, 20, 57	limcmpted 14817	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> T ) lim CC X ) <-> ( D e. CC /\ A. e e. RR+ E. u e. RR+ A. x e. { w e. A | w # X } ( ( x # X /\ ( abs ` ( x - X ) ) < u ) -> ( abs ` ( T - D ) ) < e ) ) ) )
59	10, 53, 58	mpbir2and 946	1 |- ( ph -> D e. ( ( x e. { w e. A | w # X } |-> T ) lim CC X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   dom cdm 4659   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   < clt 8054   - cmin 8190   # cap 8600   RR+crp 9719   abscabs 11141   lim CC climc 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-mulcl 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fo 5260  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pm 6705  df-ap 8601  df-limced 14810

This theorem is referenced by:  dvcoapbr  14856