Theorem assalmod 15006

Description: An associative algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assalmod	|- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )

Proof of Theorem assalmod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2238	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` W ) = ( .r ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 15002	. . 3 |- ( W e. AssAlg <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) ( ( ( z ( .s ` W ) x ) ( .r ` W ) y ) = ( z ( .s ` W ) ( x ( .r ` W ) y ) ) /\ ( x ( .r ` W ) ( z ( .s ` W ) y ) ) = ( z ( .s ` W ) ( x ( .r ` W ) y ) ) ) ) )
7	6	simplbi 274	. 2 |- ( W e. AssAlg -> ( W e. LMod /\ W e. Ring ) )
8	7	simpld 112	1 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   Ringcrg 14300   LModclmod 14623  AssAlgcasa 14996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-assa 14999

This theorem is used by:  assasca  15008  assa2ass  15009  assa2ass2  15010  issubassa3  15012  issubassa  15013  assapropd  15014  aspval  15015  asplss  15016  aspsubrg  15018  asclelbas  15026  asclmul1  15029  asclmul2  15030  ascldimul  15031  asclrhm  15033  rnascl  15034  issubassa2  15035  assamulgscmlem1  15041  assamulgscmlem2  15042  asclmulg  15044