Theorem assalmod 14989

Description: An associative algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assalmod	|- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )

Proof of Theorem assalmod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2238	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` W ) = ( .r ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 14985	. . 3 |- ( W e. AssAlg <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) ( ( ( z ( .s ` W ) x ) ( .r ` W ) y ) = ( z ( .s ` W ) ( x ( .r ` W ) y ) ) /\ ( x ( .r ` W ) ( z ( .s ` W ) y ) ) = ( z ( .s ` W ) ( x ( .r ` W ) y ) ) ) ) )
7	6	simplbi 274	. 2 |- ( W e. AssAlg -> ( W e. LMod /\ W e. Ring ) )
8	7	simpld 112	1 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   .rcmulr 13415  Scalarcsca 13417   .scvsca 13418   Ringcrg 14283   LModclmod 14606  AssAlgcasa 14979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-assa 14982

This theorem is referenced by:  assasca  14991  assa2ass  14992  assa2ass2  14993  issubassa3  14995  issubassa  14996  assapropd  14997  aspval  14998  asplss  14999  aspsubrg  15001  asclelbas  15009  asclmul1  15012  asclmul2  15013  ascldimul  15014  asclrhm  15016  rnascl  15017  issubassa2  15018  assamulgscmlem1  15024  assamulgscmlem2  15025  asclmulg  15027