Theorem assamulgscmlem1 15150

Description: Lemma 1 for assamulgscm 15152 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	|- V = ( Base ` W )
assamulgscm.f	|- F = (Scalar ` W )
assamulgscm.b	|- B = ( Base ` F )
assamulgscm.s	|- .x. = ( .s ` W )
assamulgscm.g	|- G = (mulGrp ` F )
assamulgscm.p	|- .^ = (.g ` G )
assamulgscm.h	|- H = (mulGrp ` W )
assamulgscm.e	|- E = (.g ` H )

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem1	|- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( 0 E ( A .x. X ) ) = ( ( 0 .^ A ) .x. ( 0 E X ) ) )

Proof of Theorem assamulgscmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 15115	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
2		assaring 15116	. . . . 5 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
3		assamulgscm.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
4		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
5	3, 4	ringidcl 14432	. . . . 5 |- ( W e. Ring -> ( 1r ` W ) e. V )
6	2, 5	syl 14	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> ( 1r ` W ) e. V )
7		assamulgscm.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
8		assamulgscm.s	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
9		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
10	3, 7, 8, 9	lmodvs1 14762	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` W ) e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. ( 1r ` W ) ) = ( 1r ` W ) )
11	10	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` W ) e. V ) -> ( 1r ` W ) = ( ( 1r ` F ) .x. ( 1r ` W ) ) )
12	1, 6, 11	syl2anc 415	. . 3 |- ( W e. AssAlg -> ( 1r ` W ) = ( ( 1r ` F ) .x. ( 1r ` W ) ) )
13	12	adantl 277	. 2 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( 1r ` W ) = ( ( 1r ` F ) .x. ( 1r ` W ) ) )
14	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> W e. LMod )
15		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> A e. B )
16		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> X e. V )
17		assamulgscm.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
18	3, 7, 8, 17	lmodvscl 14750	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. B /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( A .x. X ) e. V )
20		assamulgscm.h	. . . . 5 |- H = (mulGrp ` W )
21	20, 3	mgpbas 14332	. . . 4 |- V = ( Base ` H )
22	20, 4	ringidval 14372	. . . 4 |- ( 1r ` W ) = ( 0g ` H )
23		assamulgscm.e	. . . 4 |- E = (.g ` H )
24	21, 22, 23	mulg0 13987	. . 3 |- ( ( A .x. X ) e. V -> ( 0 E ( A .x. X ) ) = ( 1r ` W ) )
25	19, 24	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( 0 E ( A .x. X ) ) = ( 1r ` W ) )
26		assamulgscm.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` F )
27	26, 17	mgpbas 14332	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
28	26, 9	ringidval 14372	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 0g ` G )
29		assamulgscm.p	. . . . 5 |- .^ = (.g ` G )
30	27, 28, 29	mulg0 13987	. . . 4 |- ( A e. B -> ( 0 .^ A ) = ( 1r ` F ) )
31	15, 30	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( 0 .^ A ) = ( 1r ` F ) )
32	21, 22, 23	mulg0 13987	. . . 4 |- ( X e. V -> ( 0 E X ) = ( 1r ` W ) )
33	16, 32	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( 0 E X ) = ( 1r ` W ) )
34	31, 33	oveq12d 6106	. 2 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( ( 0 .^ A ) .x. ( 0 E X ) ) = ( ( 1r ` F ) .x. ( 1r ` W ) ) )
35	13, 25, 34	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( 0 E ( A .x. X ) ) = ( ( 0 .^ A ) .x. ( 0 E X ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   Basecbs 13410  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494  ._gcmg 13981  mulGrpcmgp 14324   1rcur 14369   Ringcrg 14407   LModclmod 14732  AssAlgcasa 15105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734  df-assa 15108

This theorem is used by:  assamulgscm  15152