Theorem asclmul2 15139

Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmul1.a	|- A = (algSc ` W )
asclmul1.f	|- F = (Scalar ` W )
asclmul1.k	|- K = ( Base ` F )
asclmul1.v	|- V = ( Base ` W )
asclmul1.t	|- .X. = ( .r ` W )
asclmul1.s	|- .x. = ( .s ` W )

Assertion

Ref	Expression
asclmul2	|- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( X .X. ( A ` R ) ) = ( R .x. X ) )

Proof of Theorem asclmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclmul1.a	. . . 4 |- A = (algSc ` W )
2		asclmul1.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		asclmul1.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
4		asclmul1.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
6		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> R e. K )
7		assalmod 15115	. . . . 5 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> W e. LMod )
9		assaring 15116	. . . . 5 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
10	9	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> W e. Ring )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10	asclvald 15131	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( A ` R ) = ( R .x. ( 1r ` W ) ) )
12	11	oveq2d 6104	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( X .X. ( A ` R ) ) = ( X .X. ( R .x. ( 1r ` W ) ) ) )
13		simp1 1028	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> W e. AssAlg )
14		simp3 1030	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
15		asclmul1.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
16	15, 5	ringidcl 14432	. . . 4 |- ( W e. Ring -> ( 1r ` W ) e. V )
17	10, 16	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( 1r ` W ) e. V )
18		asclmul1.t	. . . 4 |- .X. = ( .r ` W )
19	15, 2, 3, 4, 18	assaassr 15114	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( R e. K /\ X e. V /\ ( 1r ` W ) e. V ) ) -> ( X .X. ( R .x. ( 1r ` W ) ) ) = ( R .x. ( X .X. ( 1r ` W ) ) ) )
20	13, 6, 14, 17, 19	syl13anc 1280	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( X .X. ( R .x. ( 1r ` W ) ) ) = ( R .x. ( X .X. ( 1r ` W ) ) ) )
21	15, 18, 5	ringridm 14436	. . . 4 |- ( ( W e. Ring /\ X e. V ) -> ( X .X. ( 1r ` W ) ) = X )
22	10, 14, 21	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( X .X. ( 1r ` W ) ) = X )
23	22	oveq2d 6104	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. ( X .X. ( 1r ` W ) ) ) = ( R .x. X ) )
24	12, 20, 23	3eqtrd 2275	1 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( X .X. ( A ` R ) ) = ( R .x. X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   .rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   1rcur 14369   Ringcrg 14407   LModclmod 14732  AssAlgcasa 15105  algSccascl 15107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734  df-assa 15108  df-ascl 15110

This theorem is used by: (None)