Theorem ascldimul 15031

Description: The algebra scalar lifting function distributes over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascldimul.a	|- A = (algSc ` W )
ascldimul.f	|- F = (Scalar ` W )
ascldimul.k	|- K = ( Base ` F )
ascldimul.t	|- .X. = ( .r ` W )
ascldimul.s	|- .x. = ( .r ` F )

Assertion

Ref	Expression
ascldimul	|- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( A ` ( R .x. S ) ) = ( ( A ` R ) .X. ( A ` S ) ) )

Proof of Theorem ascldimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 15006	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> W e. LMod )
3		simp2 1029	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> R e. K )
4		simp3 1030	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> S e. K )
5		assaring 15007	. . . . 5 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
6	5	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> W e. Ring )
7		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
8		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
9	7, 8	ringidcl 14325	. . . 4 |- ( W e. Ring -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
11		ascldimul.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
13		ascldimul.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
14		ascldimul.s	. . . 4 |- .x. = ( .r ` F )
15	7, 11, 12, 13, 14	lmodvsass 14650	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ S e. K /\ ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( R .x. S ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) = ( R ( .s ` W ) ( S ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
16	2, 3, 4, 10, 15	syl13anc 1280	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( ( R .x. S ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) = ( R ( .s ` W ) ( S ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
17		ascldimul.a	. . 3 |- A = (algSc ` W )
18	11	assasca 15008	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> F e. Ring )
19	13, 14	ringcl 14317	. . . 4 |- ( ( F e. Ring /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( R .x. S ) e. K )
20	18, 19	syl3an1 1311	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( R .x. S ) e. K )
21	17, 11, 13, 12, 8, 20, 2, 6	asclvald 15022	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( A ` ( R .x. S ) ) = ( ( R .x. S ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
22	17, 11, 5, 1, 13, 7	asclf 15024	. . . . . 6 |- ( W e. AssAlg -> A : K --> ( Base ` W ) )
23	22	ffvelcdmda 5843	. . . . 5 |- ( ( W e. AssAlg /\ S e. K ) -> ( A ` S ) e. ( Base ` W ) )
24	23	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( A ` S ) e. ( Base ` W ) )
25		ascldimul.t	. . . . 5 |- .X. = ( .r ` W )
26	17, 11, 13, 7, 25, 12	asclmul1 15029	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ ( A ` S ) e. ( Base ` W ) ) -> ( ( A ` R ) .X. ( A ` S ) ) = ( R ( .s ` W ) ( A ` S ) ) )
27	24, 26	syld3an3 1323	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( ( A ` R ) .X. ( A ` S ) ) = ( R ( .s ` W ) ( A ` S ) ) )
28	17, 11, 13, 12, 8, 4, 2, 6	asclvald 15022	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( A ` S ) = ( S ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
29	28	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( R ( .s ` W ) ( A ` S ) ) = ( R ( .s ` W ) ( S ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
30	27, 29	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( ( A ` R ) .X. ( A ` S ) ) = ( R ( .s ` W ) ( S ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
31	16, 21, 30	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( W e. AssAlg /\ R e. K /\ S e. K ) -> ( A ` ( R .x. S ) ) = ( ( A ` R ) .X. ( A ` S ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   1rcur 14262   Ringcrg 14300   LModclmod 14623  AssAlgcasa 14996  algSccascl 14998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302  df-lmod 14625  df-assa 14999  df-ascl 15001

This theorem is used by:  asclrhm  15033