Theorem assapropd 14997

Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
assapropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
assapropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
assapropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
assapropd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
assapropd.5	|- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
assapropd.6	|- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
assapropd.7	|- P = ( Base ` F )
assapropd.8	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
assapropd	|- ( ph -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) )

Distinct variable groups:   x, y, K   x, L, y   x, P, y   ph, x, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem assapropd

Dummy variables w r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 14989	. . . 4 |- ( K e. AssAlg -> K e. LMod )
2		assaring 14990	. . . 4 |- ( K e. AssAlg -> K e. Ring )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( K e. AssAlg -> ( K e. LMod /\ K e. Ring ) )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( K e. AssAlg -> ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) )
5		assalmod 14989	. . . 4 |- ( L e. AssAlg -> L e. LMod )
6		assapropd.1	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
7		assapropd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
8		assapropd.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
9		assapropd.5	. . . . 5 |- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
10		assapropd.6	. . . . 5 |- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
11		assapropd.7	. . . . 5 |- P = ( Base ` F )
12		assapropd.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	lmodpropd 14669	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )
14	5, 13	imbitrrid 156	. . 3 |- ( ph -> ( L e. AssAlg -> K e. LMod ) )
15		assaring 14990	. . . 4 |- ( L e. AssAlg -> L e. Ring )
16		assapropd.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
17	6, 7, 8, 16	ringpropd 14326	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
18	15, 17	imbitrrid 156	. . 3 |- ( ph -> ( L e. AssAlg -> K e. Ring ) )
19	14, 18	jcad 307	. 2 |- ( ph -> ( L e. AssAlg -> ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) )
20	13, 17	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring ) <-> ( L e. LMod /\ L e. Ring ) ) )
21	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring ) <-> ( L e. LMod /\ L e. Ring ) ) )
22		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ph )
23		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> K e. LMod )
24		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> r e. P )
25	9	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
26	11, 25	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
27	22, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
28	24, 27	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
29		simprrl 545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> z e. B )
30	22, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> B = ( Base ` K ) )
31	29, 30	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
32		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
33		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
34		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .s ` K ) = ( .s ` K )
35		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` (Scalar ` K ) ) = ( Base ` (Scalar ` K ) )
36	32, 33, 34, 35	lmodvscl 14624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. ( Base ` K ) )
37	23, 28, 31, 36	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. ( Base ` K ) )
38	37, 30	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. B )
39		simprrr 546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> w e. B )
40	16	oveqrspc2v 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( r ( .s ` K ) z ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` L ) w ) )
41	22, 38, 39, 40	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` L ) w ) )
42	12	oveqrspc2v 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ z e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) = ( r ( .s ` L ) z ) )
43	22, 24, 29, 42	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) = ( r ( .s ` L ) z ) )
44	43	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) )
45	41, 44	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) )
46		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
47		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> K e. Ring )
48	39, 30	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
49	32, 46, 47, 31, 48	ringcld 14305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
50	49, 30	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) e. B )
51	12	oveqrspc2v 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ ( z ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` K ) w ) ) )
52	22, 24, 50, 51	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` K ) w ) ) )
53	16	oveqrspc2v 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) = ( z ( .r ` L ) w ) )
54	22, 29, 39, 53	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) = ( z ( .r ` L ) w ) )
55	54	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) )
56	52, 55	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) )
57	45, 56	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) <-> ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) )
58	32, 33, 34, 35	lmodvscl 14624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
59	23, 28, 48, 58	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
60	59, 30	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. B )
61	16	oveqrspc2v 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( r ( .s ` K ) w ) e. B ) ) -> ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
62	22, 29, 60, 61	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
63	12	oveqrspc2v 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ w e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) = ( r ( .s ` L ) w ) )
64	22, 24, 39, 63	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) = ( r ( .s ` L ) w ) )
65	64	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
66	62, 65	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
67	66, 56	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) <-> ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) )
68	57, 67	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
69	68	anassrs 404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
70	69	2ralbidva 2572	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ r e. P ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
71	70	ralbidva 2546	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
72	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
73	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> B = ( Base ` K ) )
74	73	raleqdv 2755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
75	73, 74	raleqbidv 2765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
76	72, 75	raleqbidv 2765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
77	10	fveq2d 5697	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
78	11, 77	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
80	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> B = ( Base ` L ) )
81	80	raleqdv 2755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
82	80, 81	raleqbidv 2765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
83	79, 82	raleqbidv 2765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
84	71, 76, 83	3bitr3d 218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
85	21, 84	anbi12d 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( ( ( K e. LMod /\ K e. Ring ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( L e. LMod /\ L e. Ring ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
86	32, 33, 35, 34, 46	isassa 14985	. . . 4 |- ( K e. AssAlg <-> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
87		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
88		eqid 2238	. . . . 5 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
89		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` L ) ) = ( Base ` (Scalar ` L ) )
90		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .s ` L ) = ( .s ` L )
91		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
92	87, 88, 89, 90, 91	isassa 14985	. . . 4 |- ( L e. AssAlg <-> ( ( L e. LMod /\ L e. Ring ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
93	85, 86, 92	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) )
94	93	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring ) -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) ) )
95	4, 19, 94	pm5.21ndd 717	1 |- ( ph -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414   .rcmulr 13415  Scalarcsca 13417   .scvsca 13418   Ringcrg 14283   LModclmod 14606  AssAlgcasa 14979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-lmod 14608  df-assa 14982

This theorem is referenced by: (None)