Theorem asplss 14999

Description: The algebraic span of a set of vectors is a vector subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	|- A = (AlgSpan ` W )
aspval.v	|- V = ( Base ` W )
aspval.l	|- L = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
asplss	|- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> ( A ` S ) e. L )

Proof of Theorem asplss

Dummy variables t x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aspval.a	. . 3 |- A = (AlgSpan ` W )
2		aspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		aspval.l	. . 3 |- L = ( LSubSp ` W )
4	1, 2, 3	aspval 14998	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> ( A ` S ) = |^| { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } )
5		assalmod 14989	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> W e. LMod )
7		ssrab2 3333	. . . . 5 |- { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } C_ ( (SubRing ` W ) i^i L )
8		inss2 3452	. . . . 5 |- ( (SubRing ` W ) i^i L ) C_ L
9	7, 8	sstri 3257	. . . 4 |- { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } C_ L
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } C_ L )
11		sseq2 3272	. . . . 5 |- ( t = V -> ( S C_ t <-> S C_ V ) )
12		assaring 14990	. . . . . . . 8 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
13	2	subrgid 14514	. . . . . . . 8 |- ( W e. Ring -> V e. (SubRing ` W ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( W e. AssAlg -> V e. (SubRing ` W ) )
15	2, 3	lss1 14682	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> V e. L )
16	5, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( W e. AssAlg -> V e. L )
17	14, 16	elind 3414	. . . . . 6 |- ( W e. AssAlg -> V e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> V e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> S C_ V )
20	11, 18, 19	elrabd 2984	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> V e. { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } )
21		elex2 2838	. . . 4 |- ( V e. { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } -> E. x x e. { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> E. x x e. { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } )
23	3	lssintclm 14704	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } C_ L /\ E. x x e. { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } ) -> |^| { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } e. L )
24	6, 10, 22, 23	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> |^| { t e. ( (SubRing ` W ) i^i L ) | S C_ t } e. L )
25	4, 24	eqeltrd 2315	1 |- ( ( W e. AssAlg /\ S C_ V ) -> ( A ` S ) e. L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {crab 2532   i^i cin 3219   C_ wss 3220   |^|cint 3968   ` cfv 5375   Basecbs 13335   Ringcrg 14283  SubRingcsubrg 14508   LModclmod 14606   LSubSpclss 14672  AssAlgcasa 14979  AlgSpancasp 14980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-subrg 14510  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-assa 14982  df-asp 14983

This theorem is referenced by: (None)