Theorem asclmulg 15027

Description: Apply group multiplication to the algebra scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmulg.a	|- A = (algSc ` W )
asclmulg.f	|- F = (Scalar ` W )
asclmulg.k	|- K = ( Base ` F )
asclmulg.m	|- .^ = (.g ` W )
asclmulg.t	|- .* = (.g ` F )

Assertion

Ref	Expression
asclmulg	|- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( A ` ( N .* X ) ) = ( N .^ ( A ` X ) ) )

Proof of Theorem asclmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 14989	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> W e. LMod )
3		simp3 1030	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> X e. K )
4		simp2 1029	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> N e. NN0 )
5		assaring 14990	. . . . 5 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
6		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
8	6, 7	ringidcl 14308	. . . . 5 |- ( W e. Ring -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
9	5, 8	syl 14	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
10	9	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
11		asclmulg.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
13		asclmulg.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
14		asclmulg.m	. . . 4 |- .^ = (.g ` W )
15		asclmulg.t	. . . 4 |- .* = (.g ` F )
16	6, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsmmulgdi 14643	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. K /\ N e. NN0 /\ ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) ) ) -> ( N .^ ( X ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) = ( ( N .* X ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
17	2, 3, 4, 10, 16	syl13anc 1280	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( N .^ ( X ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) = ( ( N .* X ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
18		asclmulg.a	. . . 4 |- A = (algSc ` W )
19	5	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> W e. Ring )
20	18, 11, 13, 12, 7, 3, 2, 19	asclvald 15005	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( A ` X ) = ( X ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
21	20	oveq2d 6095	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( N .^ ( A ` X ) ) = ( N .^ ( X ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
22	11	assasca 14991	. . . . . 6 |- ( W e. AssAlg -> F e. Ring )
23	22	ringgrpd 14292	. . . . 5 |- ( W e. AssAlg -> F e. Grp )
24	23	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> F e. Grp )
25	4	nn0zd 9749	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> N e. ZZ )
26	13, 15, 24, 25, 3	mulgcld 13930	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( N .* X ) e. K )
27	18, 11, 13, 12, 7, 26, 2, 19	asclvald 15005	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( A ` ( N .* X ) ) = ( ( N .* X ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
28	17, 21, 27	3eqtr4rd 2282	1 |- ( ( W e. AssAlg /\ N e. NN0 /\ X e. K ) -> ( A ` ( N .* X ) ) = ( N .^ ( A ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   NN0cn0 9546   Basecbs 13335  Scalarcsca 13417   .scvsca 13418   Grpcgrp 13788  ._gcmg 13905   1rcur 14245   Ringcrg 14283   LModclmod 14606  AssAlgcasa 14979  algSccascl 14981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-mulg 13906  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-lmod 14608  df-assa 14982  df-ascl 14984

This theorem is referenced by: (None)