Theorem assamulgscmlem2 15025

Description: Lemma for assamulgscm 15026 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	|- V = ( Base ` W )
assamulgscm.f	|- F = (Scalar ` W )
assamulgscm.b	|- B = ( Base ` F )
assamulgscm.s	|- .x. = ( .s ` W )
assamulgscm.g	|- G = (mulGrp ` F )
assamulgscm.p	|- .^ = (.g ` G )
assamulgscm.h	|- H = (mulGrp ` W )
assamulgscm.e	|- E = (.g ` H )

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem2	|- ( y e. NN0 -> ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) ) )

Proof of Theorem assamulgscmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 14990	. . . . . . . 8 |- ( W e. AssAlg -> W e. Ring )
2		assamulgscm.h	. . . . . . . . 9 |- H = (mulGrp ` W )
3	2	ringmgp 14289	. . . . . . . 8 |- ( W e. Ring -> H e. Mnd )
4	1, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( W e. AssAlg -> H e. Mnd )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> H e. Mnd )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> H e. Mnd )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> H e. Mnd )
8		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> y e. NN0 )
9		assalmod 14989	. . . . . . . 8 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> W e. LMod )
11		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> A e. B )
12		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> X e. V )
13		assamulgscm.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
14		assamulgscm.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
15		assamulgscm.s	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` W )
16		assamulgscm.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` F )
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 14624	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ A e. B /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( A .x. X ) e. V )
19	18	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( A .x. X ) e. V )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( A .x. X ) e. V )
21	2, 13	mgpbas 14208	. . . . 5 |- V = ( Base ` H )
22		assamulgscm.e	. . . . 5 |- E = (.g ` H )
23		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( .r ` W ) = ( .r ` W )
24	2, 23	mgpplusg 14205	. . . . 5 |- ( .r ` W ) = ( +g ` H )
25	21, 22, 24	mulgnn0p1 13919	. . . 4 |- ( ( H e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( A .x. X ) e. V ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) )
26	7, 8, 20, 25	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) )
27		oveq1 6086	. . . 4 |- ( ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) )
28		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> W e. AssAlg )
29		assamulgscm.g	. . . . . . . 8 |- G = (mulGrp ` F )
30	14	eqcomi 2242	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` W ) = F
31	30	fveq2i 5696	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` F )
32	29, 31	mgpbas 14208	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` G )
33		assamulgscm.p	. . . . . . 7 |- .^ = (.g ` G )
34	14	assasca 14991	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. AssAlg -> F e. Ring )
35	29	ringmgp 14289	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. Ring -> G e. Mnd )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( W e. AssAlg -> G e. Mnd )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> G e. Mnd )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> G e. Mnd )
39		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> y e. NN0 )
40	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. AssAlg -> B = ( Base ` F ) )
41	14	fveq2i 5696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
42	40, 41	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. AssAlg -> B = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
43	42	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. AssAlg -> ( A e. B <-> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
44	43	biimpcd 159	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. B -> ( W e. AssAlg -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. B /\ X e. V ) -> ( W e. AssAlg -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) )
46	45	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
47	46	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
48	32, 33, 38, 39, 47	mulgnn0cld 13929	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
49		simprlr 544	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> X e. V )
50	21, 22, 6, 39, 49	mulgnn0cld 13929	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( y E X ) e. V )
51		eqid 2238	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
52		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
53	13, 51, 52, 15, 23	assaass 14987	. . . . . 6 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( y E X ) e. V /\ ( A .x. X ) e. V ) ) -> ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) )
54	28, 48, 50, 19, 53	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) )
55	13, 51, 52, 15, 23	assaassr 14988	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( y E X ) e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) )
56	28, 47, 50, 49, 55	syl13anc 1280	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) )
57	56	oveq2d 6095	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) ) )
58	21, 22, 24	mulgnn0p1 13919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. V ) -> ( ( y + 1 ) E X ) = ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) )
59	6, 39, 49, 58	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) E X ) = ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) )
60	59	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) = ( ( y + 1 ) E X ) )
61	60	oveq2d 6095	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) = ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
62	61	oveq2d 6095	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) X ) ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) )
63	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> W e. LMod )
64		peano2nn0 9586	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN0 )
65	64	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )
66	21, 22, 6, 65, 49	mulgnn0cld 13929	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) E X ) e. V )
67		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
68	13, 51, 15, 52, 67	lmodvsass 14633	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( ( y + 1 ) E X ) e. V ) ) -> ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) )
69	68	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y .^ A ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ A e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( ( y + 1 ) E X ) e. V ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) = ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
70	63, 48, 47, 66, 69	syl13anc 1280	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( A .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) = ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
71	57, 62, 70	3eqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) .x. ( ( y E X ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) ) = ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
72		simprll 543	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> A e. B )
73	29, 16	mgpbas 14208	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
74		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
75	29, 74	mgpplusg 14205	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` F ) = ( +g ` G )
76	73, 33, 75	mulgnn0p1 13919	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ A e. B ) -> ( ( y + 1 ) .^ A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` F ) A ) )
77	38, 39, 72, 76	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` F ) A ) )
78	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> F = (Scalar ` W ) )
79	78	fveq2d 5697	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( .r ` F ) = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
80	79	oveqd 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) ( .r ` F ) A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) )
81	77, 80	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ A ) = ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) )
82	81	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) = ( ( y + 1 ) .^ A ) )
83	82	oveq1d 6094	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( ( y .^ A ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
84	54, 71, 83	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) -> ( ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
85	27, 84	sylan9eqr 2293	. . 3 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) ( .r ` W ) ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
86	26, 85	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) ) /\ ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) )
87	86	exp31 364	1 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( A e. B /\ X e. V ) /\ W e. AssAlg ) -> ( ( y E ( A .x. X ) ) = ( ( y .^ A ) .x. ( y E X ) ) -> ( ( y + 1 ) E ( A .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) .^ A ) .x. ( ( y + 1 ) E X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   1c1 8174   + caddc 8176   NN0cn0 9546   Basecbs 13335   .rcmulr 13415  Scalarcsca 13417   .scvsca 13418   Mndcmnd 13712  ._gcmg 13905  mulGrpcmgp 14200   Ringcrg 14283   LModclmod 14606  AssAlgcasa 14979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-minusg 13792  df-mulg 13906  df-mgp 14201  df-ring 14285  df-lmod 14608  df-assa 14982

This theorem is referenced by:  assamulgscm  15026