Theorem basmexd 13391

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
basmexd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
basmexd.m	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
basmexd	|- ( ph -> G e. _V )

Proof of Theorem basmexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13389	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5474	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmexd.m	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
5		basmexd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
6	4, 5	eleqtrd 2317	. . 3 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5722	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 418	. 2 |- ( ph -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2835	1 |- ( ph -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   Fn wfn 5367   ` cfv 5372   Basecbs 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336

This theorem is referenced by:  gzsumress  13689  grppropd  13799  grpsubval  13828  grpsubpropd2  13887