Theorem basmexd 12892

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
basmexd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
basmexd.m	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
basmexd	|- ( ph -> G e. _V )

Proof of Theorem basmexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12890	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5372	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmexd.m	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
5		basmexd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
6	4, 5	eleqtrd 2284	. . 3 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5608	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 |- ( ph -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2785	1 |- ( ph -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   dom cdm 4675   Rel wrel 4680   Fn wfn 5266   ` cfv 5271   Basecbs 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838

This theorem is referenced by:  gsumress  13227  grppropd  13349  grpsubval  13378  grpsubpropd2  13437