Theorem basmexd 12524

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
basmexd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
basmexd.m	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
basmexd	|- ( ph -> G e. _V )

Proof of Theorem basmexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12522	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5316	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmexd.m	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
5		basmexd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
6	4, 5	eleqtrd 2256	. . 3 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5549	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 |- ( ph -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2752	1 |- ( ph -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   dom cdm 4628   Rel wrel 4633   Fn wfn 5213   ` cfv 5218   Basecbs 12464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470

This theorem is referenced by:  grppropd  12898  grpsubval  12924  grpsubpropd2  12980